王學先
2021年云南省初中數(shù)學學業(yè)水平考試壓軸題以二次函數(shù)為背景,設問和考查方式推陳出新、別具一格,重點考查代數(shù)的推理與證明,倡導“重視知識運用突出能力立意,導向教學革新落實核心素養(yǎng)”的壓軸題命題原則,公平公正地考查了學生的學習水平和思維品質,引導學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的語言表達數(shù)學世界,是一道優(yōu)秀的初中數(shù)學學業(yè)水平考試題.
一、試題重現(xiàn)
題目:已知拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過點(0,-2),當x<-4時,y隨x的增大而增大,當x>-4時,y隨x的增大而減小.設r是拋物線y=-2x2+bx+c與x軸的交點(交點也稱公共點)的橫坐標,m=.
(1)求b、c的值;
(2)求證:r4-2r2+1=60r2;
(3)以下結論:m<1,m=1,m>1,你認為哪個正確?請證明你認為正確的那個結論.
二、特色解讀
1. 題型創(chuàng)新,立意鮮明
本道壓軸題第(1)問考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,通過觀察二次函數(shù)的增減性,分析得出函數(shù)的對稱軸為直線x=-4,再把點(0,-2)代入拋物線即可得到關于b,c的二元一次方程組,從而順利求解b,c,考查了學生的基礎知識和基本技能;第(2)問是本題的一大亮點和創(chuàng)新點,考查函數(shù)與方程的關系和恒等式證明,設問不走尋常路,通過恒等式的證明考查了學生分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了推理論證和計算能力的和諧統(tǒng)一;第(3)問是本題的點睛之筆,先猜想后論證,重點考查兩數(shù)大小的比較,可采用“作差法”“作商法”和“放縮法”,突出了對學生綜合能力的考查.
2. 別出機杼,拾級而上
本道壓軸題的每一個設問都別出心裁,三個小問題也是按分層推進的要求設計,可以說是按“先求出二次函數(shù)的解析式,再根據(jù)拋物線與x軸的交點的橫坐標為r得出方程,進而為第二個問題的解決創(chuàng)造了必備條件,最后要充分運用第二個問題的證明結論進行推論才能很好地解決第三個問題”這樣一個主線來設計的.問題設計獨辟蹊徑,布局獨特不落俗套,做到了環(huán)環(huán)相扣,引導學生的思維拾級而上.此道壓軸題關注學生探究的全過程,關注主干知識的應用過程,關注學生學習的過程和結果,體現(xiàn)了數(shù)學學科的育人價值,發(fā)展了學生的數(shù)學思維.
3. 解法多樣,凸顯本質
本道壓軸題突出考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)的圖象和性質、二次函數(shù)與一元二次方程的關系、一元二次方程的解法、分式的化簡和求值、等式的性質、不等式的性質、完全平方公式和平方差公式、兩數(shù)大小比較等知識點,這些都是初中數(shù)學的核心知識.試題解法多樣,涉及“數(shù)形結合”“函數(shù)與方程”“整體代換”“轉化化歸”“分類討論”等思想,運用到“配方法”“待定系數(shù)法”“換元法”“構造法”“逆向思維法”等.這些初中數(shù)學中的重要思想方法,在這一道試題中就能體現(xiàn)得淋漓盡致.試題設置的每一個問題的解法都是豐富多樣的,突出考查了學生分析問題解決問題的基本方法,讓學生體驗解決問題方法的多樣性,發(fā)展創(chuàng)新意識.同時,試題既關注了后進生、中等生和尖子生,也具有很好的區(qū)分度,著重考查了學生的觀察能力、分析能力、計算能力、轉化能力、推理能力等.在這些能力交織碰撞的同時,“直觀想象”“數(shù)學運算”“邏輯推理”等核心素養(yǎng)落實落地,凸顯了初中數(shù)學教學的本質,對初中數(shù)學教學和復習備考都有很強的指導意義,是一道不折不扣的優(yōu)秀初中數(shù)學學業(yè)水平考試壓軸題,稱之為“最美云南初中數(shù)學學業(yè)水平考試壓軸題”再合適不過.
三、解法賞析
題目的第(1)問是經(jīng)典的利用二次函數(shù)圖形和性質求待定系數(shù)問題,關鍵在于學生能夠理解對稱軸的描述,讀懂對稱軸就是x=-4.一種解法是把圖形與y軸交點坐標,以及對稱軸公式代入計算,比較常規(guī);還有一種解法可利用拋物線自身圖形對稱特點,找出隱藏條件后,再利用待定系數(shù)法求解.
我們重點看第(2)(3)問:
(2)證明:∵b=-16,c=-2,∴y=-2x2+bx+c=-2x2-16x-2,∵r是拋物線y=-2x2-16x-2與x軸交點的橫坐標,∴r是方程-2x2-16x-2=0的解.∴-2r2-16r-2=0,即得r2+8r+1=0(r2=-8r-1或-r2=8r+1).
【解法1】左邊r4-2r2+1=(r2)2-2r2+1=(-8r-1)2-2r2+1=62r2+16r+2=62r2+2(8r+1)=62r2-2r2=60r2=右邊,所以r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是先利用r4=(r2)2降次轉化,再利用-r2=8r+1或r2=-8r-1進行整體代換,運算后證明結論.
【解法2】左邊=r4-2r2+1=(r2)2-2r2+1=(-8r-1)2-2r2+1=64r2-2r2+16r+2=64r2-2(r2-8r-1)=64r2-4r2=60r2=右邊,所以r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是先同時用r4=(r2)2和r2=-8r-1進行降次轉化,最后用r2=-8r-1作整體代換,運算后證明結論.
【解法3】左邊=r4-2r2+1=(r2-1)2=(-8r2-1-1)2=(-8r-2)2=64r2+32r+4=64r2+4(8r+1)=64r2-4r2=60r2=右邊,所以r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是先將要證明結論的左邊轉化為完全平方差的形式,再用r2=-8r-1代入運算,最后用-r2=8r+1作整體代換,運算后證明結論.
【解法4】左邊=r4-2r2+1=r4+1-2r2=r4+2r2+1-4r2=(r2+1)2-4r2=(-8r-1+1)2-4r2=64r2-4r2=60r2=右邊,所以r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是先將要證明結論的左邊利用完全平方和公式進行轉化,再用r2+1=-8r代入運算,運算后證明結論.
【解法5】左邊=r4-2r2+1=(r2)2-2r2+1=(-8r-1)2-2(-8r-1)+1=64r2+16r+1+16r+3=64(-8r-1)+32r+4=-480r-60,右邊=60r2=60(-8r-1)=-480r-60,所以左邊=右邊,即r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是利用r4=(r2)2或r2=-8r-1將要證明結論的兩邊都降次,降至不能再降為止,通過兩邊化簡計算后得到相同的式子來證明結論成立.
上面的五種解法都是通過“整體代換思想”實現(xiàn)降次,把等式的左邊通過降次轉化成等式的右邊,或者將兩邊的式子都降次轉化成相同的式子.這五種解法均體現(xiàn)了轉化思想和整體思想,落實了運算能力和推理能力的培養(yǎng)目標.
【解法6】方程r2+8r+1=0中,顯然r≠0,所以有=0,化簡得r+=-8,兩邊進行平方運算得(r+)2=(-8)2,即r2+2+=64,r2+=62,故r4+1=62r2,等式兩邊同時減2r2,最終得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質”將方程r2+8r+1=0化成r+=-8,再將等式兩邊同時進行了平方運算得r2+=62,又利用“等式的性質”得r4+1=62r2,最后再次利用“等式的性質”證明r4-2r2+1=60r2成立.
【解法7】方程r2+8r+1=0中,顯然r≠0,所以=0,化簡得r+=-8,所以(r-)2=(r+)2-4=(-8)2-4=60,所以(r-)2=60,即r2-2+=60,去分母后得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質”將方程r2+8r+1=0化成r+=-8,再通過完全平方公式的一個推論:(a-b)2=(a+b)2-4ab,轉化出(r-)2=60,進而得到r2-2+=60,去分母后直接證明r4-2r2+1=60r2成立.
解法6和解法7都很好地利用了式子的化簡和運算,特別是完全平方公式的運用,在證明過程中很好地體現(xiàn)了轉化化歸思想,培養(yǎng)了學生的應用意識和創(chuàng)新意識,落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法8】由方程r2+8r+1=0可得r2+2r+1+6r=0和r2-2r+1+10r=0,所以得(r+1)2=-6r和(r-1)2=-10r,綜上可得(r+1)2(r-1)2=60r2,化簡可得(r2-1)2=60r2,展開后得證r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質”和“完全平方公式”,把r2+8r+1=0先處理得到(r+1)2=-6r和(r-1)2=
-10r,再將兩個等式左右兩邊分別相乘得到(r+1)2(r-1)2=60r2,即(r2-1)2=60r2,最后證明r4-2r2+1=60r2成立.
【解法9】因為r2+8r+1=0,所以(r2+8r+1)(r2-8r+1)=0×(r2-8r+1),(r2+1)2-64r2=0,化簡得r4+2r2+1-64r2=0,整理可得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質”,構造平方差公式,把r2+8r+1=0兩邊同時乘以式子r2-8r+1,再利用平方差公式計算得到(r2+1)2-64r2=0,又用完全平方公式計算整理最后證明r4-2r2+1=60r2成立.
解法8和解法9都很好地利用了式子的化簡和運算,特別是充分利用完全平方公式、平方差公式.在證明過程中體現(xiàn)轉化化歸思想和構造法思想,培養(yǎng)了學生的應用意識和創(chuàng)新意識,落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法10】因為r2+8r+1=0,解得r1=-4+,r2=-4-.當r1=-4+時,得到r1-=-4,(r1-)2=16,所以r12-2r1+15=16,整理得r12-1=2r1;當r2=-4-時,得到r2+=-4,(r2+)2=16,所以r22+2r2+15=16,整理得r22-1=-2r2.綜上可得(r2-1)2=(±2r)2,展開可得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是通過方程解出兩根,依據(jù)要證明的恒等式的等價轉化的式子是(r2-1)2=60r2,故只需分類將兩根變形運算后,得出r2-1=±2r,再對等式兩邊平方運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.
【解法11】因為r2+8r+1=0,解得r1=-4+,r2=-4-.當r1=-4+時,得r12-1=30-8,2r1=2(-4+)=30-8,所以r12-1=2r1;同理當r2=-4-時,r22-1=-2r2,綜上可得(r2-1)2=(±2r)2,所以(r2-1)2=60r2,展開可得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】此解法的思路是依據(jù)要證明的恒等式的等價轉化的式子是(r2-1)2=60r2,再進一步等價轉化得到r2-1=
±2r,通過方程解出兩根,再分類運算出兩邊的數(shù)值,通過數(shù)值相等后得出(r2-1)2=(±2r)2,運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.
解法10、解法11都很好地利用了方程求解出的兩根,把r4-2r2+1=60r2降次成r2-1=±2r.解法10是直接由方程的根進行變形運算得到r2-1=±2r;解法11是直接由方程的根的數(shù)值代入運算來證明r2-1=±2r成立,再通過等式的變形運算證明結果.在證明過程中體現(xiàn)轉化化歸思想和構造法思想,培養(yǎng)了學生的應用意識和創(chuàng)新意識,落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法12】因為r2+8r+1=0,解得r1=-4+,r2=-4-.當r1=-4+時,〔(-5+)(-3+)〕2=1860-480,60r12=60(-4+)2=1860-480,所以〔(r1-1)(r1+1)〕2=60r12;同理當r2=-4-時,〔(r2-1)(r2+1)〕2=60r22,綜上可得〔(r-1)(r+1)〕2=60r2.所以(r2-1)2=60r2,展開可得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】本解法的思路是先把r4-2r2+1=60r2等價轉化成〔(r-1)(r+1)〕2=60r2.通過方程解出兩根,分類代入后得到左右兩邊的式子計算出具體數(shù)值,最后利用數(shù)值相等得到〔(r-1)(r+1)〕2=60r2,運用平方差和完全平方和公式運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.
【解法13】因為r2+8r+1=0,解得r1=-4+,r2=-4-,所以r12=31-8,r22=31+8.當r12=31-8時,(r12-1)2=(30-8)2=1860-480,60r12=60(31-8)=1860-480,所以(r12-1)2=60r12;同理當r22=31+8時,(r22-1)2=60r22,綜上可得(r2-1)2=60r2,展開可得r4-2r2+1=60r2.
【賞析】本解法的思路是先把r4-2r2+1=60r2等價轉化成(r2-1)2=60r2.通過方程解出兩根,分類代入后得到左右兩邊的式子計算出具體數(shù)值,最后利用數(shù)值相等得到(r2-1)2=60r2,運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.
解法12和解法13都很好地利用了方程求解出的兩根,把r4-2r2+1=60r2分別降次變形成〔(r-1)(r+1)〕2=60r2、(r2-1)2=60r2,利用數(shù)值的運算得到了等式,再通過等式的變形運算證明結果.在證明過程中體現(xiàn)了轉化化歸思想和構造法思想,培養(yǎng)了學生的應用意識和創(chuàng)新意識,落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
(3)【解法1】m>1,理由如下:由(2)可知r4-2r2+1=60r2,則r7-2r5+r3=60r5,顯然r7-62r5+r3=0,所以,m-1=-1==,又由(2)可知r1=-4+,r2=-4-,所以r<0,則r9<0,60r5<0,所以r9+60r5-1<0,>0,那么m-1>0,所以m>1.同樣也可以先證明1-m<0,再得到m>1.
【賞析】本解法的思路是通過“作差法”比較大小,即兩個數(shù)的大小可以通過它們的差來判斷:如果兩個數(shù)a和b比較大小,那么當a>b時,一定有a-b>0;當a=b時,一定有a-b=0;當a<b時,一定有a-b<0.反過來也成立,當a-b>0時,一定有a>b;當a-b=0時,一定有a=b;當a-b<0時,一定有a<b.本解法側重考查學生的觀察能力和計算能力,體現(xiàn)轉化的思想,落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法2】m>1,理由如下:由(2)可知r4-2r2+1=60r2,則r7-2r5+r3=60r5,顯然r7-62r5+r3=0,所以m===1+.又由(2)可知r1=-4+,r2=-4-,所以r<0,則r9<0,60r5<0,r9+60r5-1<0,所以>0,m>1.
【賞析】本解法的思路是利用整體代換和分式的基本性質對式子進行化簡,利用“分離常數(shù)法”將分式化簡,得到m=1+,然后再證明>0,即可證明m>1.本解法側重考查學生的計算能力和推理能力,體現(xiàn)轉化的思想,落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法3】m>1,理由如下:由解法(2)可知r4-2r2+1=60r2,r7-2r5+r3=r3(r4-2r2+1)=r3·60r2=60r5,進一步得到m===1+.又因為拋物線的對稱軸為直線x=-4,且拋物線與x軸的交點的橫坐標r<0,則r9+60r5-1<0,所以>0,m>1.
【賞析】本解法的思路與解法2相同,利用“分離常數(shù)法”將分式化簡,只是判斷r的正負性是基于二次函數(shù)圖象,體現(xiàn)轉化的思想和數(shù)形結合的思想.本解法著重考查了學生的觀察能力、分析能力和推理能力,落實了幾何直觀、運算能力和推理能力的培養(yǎng)目標.
【解法4】m>1,理由如下:==,又由(2)可知r1=-4+,r2=-4-,所以r<0,r9+60r5-1+r<r9+60r5-1,r9+60r5-1<0,所以=>1,m>1.
【解法5】m>1,理由如下:==,又由(2)可知r1=-4+,r2=-4-,所以r<0,所以r9+60r5-1+r<r9+60r5-1,r9+60r5-1+r<0,故=<1,又因r9+60r5-1+r<0,r9+60r5-1<0,所以>0,即m>0,所以m>1.
【賞析】解法4和解法5的思路都是通過“作商法”比較大小,如果比較兩個正數(shù)a和b的大小,那么當>1時,則一定有a>b;當=1時,一定有a=b;當<1時,一定有a<b.如果比較兩個負數(shù)a和b的大小,那么當>1時,則一定有a<b;當=1時,一定有a=b;當<1時,一定有a>b.核心在于觀察出r9+60r5-1+r<r9+60r5-1+r<0,從而利用不等式的性質可順利求解,兩種解法都側重考查學生的觀察能力、推理能力和運算能力,體現(xiàn)轉化思想,落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
【解法6】m>1,理由如下:由(2)可知r4-2r2+1=60r2,則r7-2r5+r3=60r5,所以m==,同解法1,可知r9+60r5-1<0,通過作差法得r9+60r5-1+r-(r9+60r5-1)=r<0,從而r9+60r5-1+r<r9+60r5-1,再通過作商法得m=>1,所以m>1.
【賞析】本解法的思路是綜合運用“作差法”和“作商法”來比較兩數(shù)的大小,核心在于觀察出分子和分母的大小關系和正負性,即r9+60r5-1+r<r9+60r5-1<0,從而作商后順利證明m>1.本解法側重考查學生的觀察能力、思維能力,體現(xiàn)轉化思想,落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標.
四、教學啟示
二次函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領域的重點內(nèi)容,二次函數(shù)綜合問題內(nèi)涵豐富,蘊含的數(shù)學思想方法集中,是初中數(shù)學教學的重難點,能充分體現(xiàn)學生運用數(shù)學思想方法分析問題和解決問題的能力,因而成為廣大師生關注的熱點問題,也是歷年初中數(shù)學學業(yè)水平考試命題的熱點.這道試題的出現(xiàn),對我們的數(shù)學解題教學提出了更高的要求,今后我們在教學中要做到以下幾點:
1.教師要做一個有心人,鉆研教材、題型,點滴積累,才能讓學生在“悟”中提高數(shù)學能力,形成解題的綜合能力;同時教師在平時的教學過程中,要以提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)為根本,注重培養(yǎng)學生的探索能力和求知欲望,及時引導學生反思、總結.
2.二次函數(shù)的圖象及性質是解決二次函數(shù)綜合題的基礎知識,要讓學生學會畫二次函數(shù)的圖象,觀察并借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質,并用函數(shù)的性質解決相關問題,二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系,把二次函數(shù)與坐標軸的交點問題轉化為一元二次方程問題,在教學中注重滲透數(shù)形結合思想.
3.在證明等式恒成立時,可用的基本方法有比較法、綜合法、分析法、反證法等幾種方法.綜合法特點是由因導果,從已知條件逐步推出結論;分析法是指從需證的等式出發(fā),分析這個等式成立的條件,進而轉化為判定那個條件是否具備,特點是執(zhí)果索因.在平時教學中,幾種方法都應該介紹,可一題多解和多題一解,促進學生解題策略的形成,但是要注意學生書寫格式的規(guī)范.
4.一方面注重專題訓練,進行有針對性的新題型訓練,讓學生熟悉主干知識之間是如何整合的,加強基本模型的訓練,如何尋找解決問題的策略;另一方面注重變式訓練,教師要注重引導學生通過一題多解、一題多變、多題歸一等變式訓練,注重數(shù)學思想方法的滲透和解題策略的指導,切實提高初中數(shù)學學業(yè)水平考試復習效率,鞏固和深化學生對所學知識的理解,增強學生思維的靈活性、變通性、選擇性和獨創(chuàng)性,幫助學生從題海中跳出來,切實提高課堂教學效率.
5.努力提高學生的運算能力.第一是要讓學生掌握核心概念,明晰算理,理解運算本質;第二是培養(yǎng)學生良好的計算習慣;第三是進行科學系統(tǒng)的強化訓練,有效提高學生的計算速度;第四是通過總結簡化運算的規(guī)律和技巧,進而提高學生的運算合理性;第五是加強學生在計算過程中思維靈活性的訓練;為了有效提高學生的運算能力就必須進行針對性訓練,特別是訓練要有目的性、系統(tǒng)性、典型性,加強科學系統(tǒng)的推理訓練,提高運算速度,讓學生養(yǎng)成檢查的習慣,提高運算過程的思維監(jiān)控能力,減免運算中的失誤與偏頗,提高運算的準確度,使學生在提高運算能力的同時又不失學習數(shù)學的樂趣.
◇責任編輯 邱 艷◇