張德根，汪明珠

(皖西學(xué)院 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，安徽 六安 237000)

線圈的電感系數(shù)主要取決于自身的匝數(shù)、繞制方式、有無(wú)磁芯及磁芯的材料等，通常用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定.對(duì)于線圈電感系數(shù)的理論計(jì)算已有多篇論文進(jìn)行報(bào)道，江俊勤[1,2]研究了橢球形密繞線圈和圓臺(tái)形密繞螺線管的自感系數(shù)，劉世明[3]用矢勢(shì)求解了似穩(wěn)電路中“三維導(dǎo)體”的自感系數(shù)，葛宇宏等[4]計(jì)算了有限長(zhǎng)多層直螺線管的自感系數(shù)，丁健[5]給出了有限長(zhǎng)密繞圓柱形螺線管自感系數(shù)的精確表達(dá)式，劉修泉等[6]對(duì)空心線圈電感進(jìn)行了計(jì)算與實(shí)驗(yàn)分析.多層密繞矩形截面圓線圈是電磁學(xué)理論中常用的線圈模型，其電感系數(shù)[7]通常簡(jiǎn)化為單匝線圈近似處理，并在求解計(jì)算過(guò)程中使用第一、二類橢圓積分等特殊函數(shù)，存在著數(shù)學(xué)計(jì)算公式復(fù)雜、計(jì)算量大等相關(guān)問題.考慮到多層密繞矩形截面圓線圈繞組的實(shí)際尺寸與繞制方式，對(duì)于其電感系數(shù)的計(jì)算有必要進(jìn)一步探討.

1 線圈模型

如圖1所示的多層密繞矩形截面圓線圈，假設(shè)圓線圈的平均半徑R為10 cm，線圈導(dǎo)線的半徑a為0.3 mm，共10層密繞，每層10匝，共100匝線圈.把整個(gè)圓線圈看成是100個(gè)獨(dú)立的單匝圓線圈平行同軸緊密排列，整個(gè)線圈截面為0.6 cm×0.6 cm的正方形.以圓線圈的中心軸線為坐標(biāo)軸，幾何中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，用字母Aim表示線圈繞組中第i層的第m個(gè)線圈，其半徑rim=0.096 7+0.000 6i，其圓心在軸線的位置坐標(biāo)為oim=0.000 6m-0.003 3，單位為m.

圖1 矩形截面圓線圈及其截面示意圖

2 計(jì)算方法

2.1 兩平行同軸圓線圈的互感系數(shù)

如圖2所示，兩平行同軸圓線圈L1和L2的半徑為r1、r2，兩圓線圈之間的距離為d，根據(jù)諾依曼公式，兩平行同軸圓線圈的互感系數(shù)為

圖2 兩平行同軸圓線圈

(1)

其中r12為圓線圈上兩微元dl1與dl2之間的距離，利用坐標(biāo)變換，式(1)可化簡(jiǎn)為[6]

(2)

2.2 單個(gè)圓線圈的自感系數(shù)

單個(gè)線圈的自感為其內(nèi)自感與外自感之和，即

L自=L內(nèi)+L外

(3)

圖3 單個(gè)圓線圈平面示意圖

(4)

(5)

2.3 數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)于上述互感與自感的積分計(jì)算式(2)、(5)，利用Mathematica軟件的NIntegrate數(shù)值積分函數(shù)，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔，可以直接得到計(jì)算結(jié)果.上述的多層密繞矩形截面圓線圈模型，對(duì)其包含的100個(gè)單匝圓線圈自感以及任意兩個(gè)圓線圈互感分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

數(shù)值計(jì)算前首先判斷任意選取的兩個(gè)圓線圈Aim與Ajn是否為同一個(gè)圓線圈.若(m-n)2+(i-j)2=0，即m=n、i=j，此時(shí)Aim與Ajn為同一個(gè)線圈，則計(jì)算該圓線圈Aim的自感.此時(shí)R=0.096 7+0.000 6i，代入式(5)計(jì)算單匝圓線圈的自感系數(shù)，即

LAim自=LAim內(nèi)+LAim外

(6)

若(m-n)2+(i-j)2≠0，則Aim與Ajn不是同一個(gè)圓線圈，則計(jì)算圓線圈Aim與Ajn的互感系數(shù). 利用積分表達(dá)式(2)，其中r1=0.096 7+0.000 6i，r2=0.096 7+0.000 6j，d=0.000 6(m-n).利用四重循環(huán)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，變量i、j、m和n分別從1依次增加至10，每次自增1，總共循環(huán)計(jì)算10 000次，即可得到單匝圓線圈的自感以及任意兩個(gè)圓線圈的互感，計(jì)算流程如圖4所示.

圖4 計(jì)算流程圖

3 計(jì)算結(jié)果

通過(guò)上述計(jì)算方法得到了100個(gè)自感系數(shù)值和9 900個(gè)互感系數(shù)值，總共10 000個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù).將循環(huán)計(jì)算輸出的數(shù)據(jù)累計(jì)求和，從而得到整個(gè)圓線圈電感系數(shù)為4.65 mH.對(duì)于與上述計(jì)算模型相同的實(shí)際圓線圈，利用勝利VC6243型數(shù)字電感表進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如圖5所示，得到實(shí)際線圈的電感為4.66 mH.理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值十分接近，相對(duì)誤差僅為0.22%.

圖5 圓線圈電感系數(shù)測(cè)量實(shí)物圖

由于單匝圓線圈的自感系數(shù)取決于自身半徑，而整個(gè)線圈繞組中每一層線圈半徑相等，因此每一層中的10個(gè)單匝圓線圈自感系數(shù)都相等. 表1給出了每層單匝圓線圈自感系數(shù)的計(jì)算值，其中第10層中的10個(gè)圓線圈自感系數(shù)最大，大小為7.943 6×10-7H，第1層的10個(gè)圓線圈自感系數(shù)最小，大小為7.4593×10-7H.根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可知自感系數(shù)與圓線圈的半徑近似成線性關(guān)系，并且任意一個(gè)單匝圓線圈的自感均大于任意兩個(gè)圓線圈的互感. 表2給出9 900個(gè)互感系數(shù)計(jì)算值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.其中第10層中任意兩個(gè)相鄰的圓線圈互感最大，大小為6.739 4×10-7H.第1層與第10層且相距最遠(yuǎn)的兩個(gè)圓線圈互感最小，即A1,1與A10,10，A1,10與A10,1，大小為3.336 4×10-7H.

表1 每層單匝圓線圈自感系數(shù)

表2 任意兩個(gè)圓線圈互感系數(shù)計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

本文對(duì)矩形截面圓線圈的電感系數(shù)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，求解計(jì)算過(guò)程中沒有使用比較繁瑣的第一、二類橢圓積分等特殊函數(shù)，也沒有通過(guò)編程來(lái)計(jì)算雙重積分值，而是直接利用Mathematica軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能，求解過(guò)程簡(jiǎn)潔，同時(shí)對(duì)實(shí)際圓線圈進(jìn)行定量測(cè)量，理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值相符合.通過(guò)對(duì)矩形截面圓線圈電感系數(shù)的分析與計(jì)算，加深了電感系數(shù)概念的理解，同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)電感線圈提供了理論參考.