邵 云

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

本文將應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理詳細(xì)地求解出3類柔軟鏈條的運(yùn)動(dòng)，一則顯示出該方法的優(yōu)勢(shì)[1-4]，二則揭示出這3種運(yùn)動(dòng)各自的細(xì)節(jié)特點(diǎn)，以供讀者參考．

1 光滑桌面上一團(tuán)靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運(yùn)動(dòng)

例1：如圖1所示，有一段柔軟的鏈條長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ，被放置在有一小孔的光滑桌面上．設(shè)開(kāi)始時(shí)(t=0)鏈條一端由小孔稍稍伸下，其余部分堆在小孔周圍.現(xiàn)由于某種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開(kāi)始下落，試求鏈條下落的速度與距離的關(guān)系．

圖1 一團(tuán)靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運(yùn)動(dòng)

解析：建立Oy坐標(biāo)軸如圖1中所示．設(shè)上、下兩段鏈條的質(zhì)量分別為m2和m1，并設(shè)t時(shí)刻下段鏈條的長(zhǎng)度為y，速度為v，則在t時(shí)刻，有

m2=λ(l-y)

(1)

m1=λy

(2)

設(shè)上段鏈條不包括小孔口開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的那一小節(jié)，則它處于受力平衡狀態(tài)．現(xiàn)將上、下兩段鏈條視為一個(gè)系統(tǒng)，則不難看出，系統(tǒng)在豎直方向所受的合外力為FG1=m1g，總動(dòng)量為m1v．于是，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，則有

(3)

將式(2)代入式(3)，約簡(jiǎn)后在圖1中y軸正方向進(jìn)行投影，則得分量方程為

(4)

再將式(4)兩邊同乘以ydy，得

(5)

(6)

其中已將yv整體視作一變量．式(6)經(jīng)計(jì)算整理后即得

(7)

此即鏈條下落的速度與距離的關(guān)系式．

將式(7)兩邊分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再利用式(7)本身便得

(8)

可見(jiàn)下落段鏈條的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是一個(gè)加速度為g/3的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

2 光滑桌面上柔軟直鏈條沿桌邊逐節(jié)下滑的運(yùn)動(dòng)

例2：如圖2所示，有一段柔軟的鏈條長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ，被拉直放置在一光滑的桌面上．設(shè)開(kāi)始時(shí)(t=0)鏈條的一端稍稍伸出桌子邊緣，現(xiàn)由于某種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開(kāi)始下落，試求鏈條下落的速度與距離的關(guān)系．(注：不考慮鏈條在桌子邊緣的離心運(yùn)動(dòng)[3]).

圖2 柔軟直鏈條沿桌邊的逐節(jié)下滑運(yùn)動(dòng)

解析：對(duì)于如本例這種鏈狀質(zhì)點(diǎn)系沿固定切向(τ)的約束運(yùn)動(dòng)，其上任意質(zhì)點(diǎn)mi沿切向的動(dòng)力學(xué)方程可以寫成

(9)

(10)

式(10)可稱為“鏈狀質(zhì)點(diǎn)系沿切向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程”．

(11)

將式(11)兩邊同乘以dy并整理得

(12)

再結(jié)合初始條件，對(duì)式(12)兩邊進(jìn)行定積分得

(13)

解得

(14)

此即鏈條下落的速度v隨距離y的變化關(guān)系．易見(jiàn)鏈條下落的加速度為

(15)

這表明鏈條在做一加速度隨距離(或位移)均勻遞增的變加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鏈條完全脫離桌面時(shí)，加速度達(dá)到最大值g．

3 恒力逐節(jié)豎直拉起一大團(tuán)靜止柔軟細(xì)鏈條的運(yùn)動(dòng)

3.1 問(wèn)題的提出及初步的研究

例3：如圖3所示，有一大團(tuán)柔軟的細(xì)鏈條疊放在水平地面上，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ．現(xiàn)以恒力F將鏈條一端豎直提起，試求鏈條接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)．

圖3 恒力逐節(jié)拉起一大團(tuán)靜止柔軟細(xì)鏈條的運(yùn)動(dòng)

解析：將整段鏈條視為一個(gè)系統(tǒng)，因地面靜止鏈條部分處在瞬間平衡狀態(tài)，故系統(tǒng)所受合外力為F+λyg，系統(tǒng)的總動(dòng)量為λyv．于是，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，沿圖3中y軸正方向有

(16)

根據(jù)初始條件對(duì)式(16)進(jìn)行積分可解得

(17)

此即鏈條在首次(其后會(huì)有反復(fù)振蕩)上升過(guò)程中的速度v上1與位移y的關(guān)系．將式(17)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并利用式(17)本身，便得加速度:

(18)

可見(jiàn)鏈條在首次上升過(guò)程中做一加速度為-g/3的勻減速直線運(yùn)動(dòng)．

從式(17)又可見(jiàn)，當(dāng)鏈條上升的速度v上1=0,也即

(19)

時(shí)，鏈條上升至第一個(gè)最高點(diǎn)．此外，由式(16)結(jié)合式(17)或式(18)可得

(20)

對(duì)比式(16)、(20)可以發(fā)現(xiàn)，上升段鏈條的靜力平衡點(diǎn)處在

(21)

處，此處yv達(dá)到極大值，將式(21)代入式(17)即得此極大值為

(22)

當(dāng)鏈條首次到達(dá)最高點(diǎn)后開(kāi)始下落時(shí)，式(16)將不再成立．這是因?yàn)樗查g落地的極小段鏈條會(huì)對(duì)地面有一個(gè)類似于上文“拖拽力”的變質(zhì)量沖力λv2，因而地面對(duì)鏈條的支持力也將額外增加λv2，式(16)需要修改成

(23)

(24)

(25)

它迥然不同于首次上升時(shí)的加速度-g/3．

根據(jù)首次下落過(guò)程的初始條件，從式(25)積分可得鏈條首次下落時(shí)的速度與位置的關(guān)系為

(26)

將式(19)代入式(26)即得

(27)

令式(27)中的v下1=0，即可數(shù)值解得鏈條(端點(diǎn))首次下落的最低點(diǎn)坐標(biāo)為

(28)

(29)

3.2 鏈條的第2次振蕩

對(duì)于鏈條的第二次上升過(guò)程，在考慮到相應(yīng)的初始條件后，對(duì)式(16)進(jìn)行變換并積分可得

(30)

由此解得鏈條第二次上升的速度為

(31)

聯(lián)立式(16)、(31)即求得加速度為

(32)

令式(31)中的v上2=0，即解得鏈條第二次上升的最大高度為

(33)

(34)

將式(34)代回式(31)，即求得鏈條第二次上升時(shí)的最大速度為

(35)

不難驗(yàn)證，若令式(31)—(35)中的y1min→0，則它們將還原成上文首次上升時(shí)的結(jié)果．

對(duì)于鏈條的第二次下落過(guò)程，由于其動(dòng)力學(xué)方程依然服從式(25)，因此下落速度與位置的關(guān)系應(yīng)與式(26)類似，為

(36)

(37)

3.3 鏈條運(yùn)動(dòng)的完整描述

(38)

(39)

式(38)、(39)分別是以第n+1次上升、下落運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)的，它們都是隱函數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，且都是積分方程，需要數(shù)值計(jì)算．因此，要獲得鏈條完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是頗費(fèi)周折的．

(40)

(41)

諸參量的具體數(shù)據(jù)詳見(jiàn)表1，其中均選擇了歸一化的單位．根據(jù)表1，可作出鏈條振蕩的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間的變化圖4，以及鏈條在各段振蕩過(guò)程中的最大速度變化圖5．圖4中的時(shí)間t為累計(jì)時(shí)間．

表1 鏈條各次振蕩的幾個(gè)主要的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量

圖4 鏈條振蕩的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間的變化

圖5 鏈條在各段振蕩過(guò)程中的最大速度變化情況

4 總結(jié)與說(shuō)明

本文通過(guò)3個(gè)典型的例題，闡述了應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理來(lái)求解柔軟鏈條運(yùn)動(dòng)的具體方法．從結(jié)果看，該方法物理思想凸出，計(jì)算過(guò)程也較為簡(jiǎn)潔．

從加速度的觀點(diǎn)看，光滑桌面上一團(tuán)靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運(yùn)動(dòng)是一個(gè)加速度為g/3的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；光滑桌面上柔軟直鏈條沿桌邊逐節(jié)下滑的運(yùn)動(dòng)則是一個(gè)加速度隨位移均勻遞增的變加速運(yùn)動(dòng)；而恒力逐節(jié)豎直拉起一大團(tuán)靜止柔軟細(xì)鏈條的運(yùn)動(dòng)則是一個(gè)振幅不斷衰減的上下振蕩，其中上、下運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程存在差別，導(dǎo)致鏈條的上、下振蕩并不對(duì)稱，無(wú)論幅度、時(shí)間還是最大速度等，參見(jiàn)表1．本文第3節(jié)又顯示，在同一次上下振蕩中，鏈條上升的幅度和最大速度分別總是大于下降的幅度和最大速度，但是上升和下落的時(shí)間τ上n與τ下n在變化趨勢(shì)上恰相反，兩者之間存在著一個(gè)等值的交匯點(diǎn)(見(jiàn)表1)；不過(guò)，τ上n與τ下n之和即所謂的振蕩“周期”，除首次振蕩外卻幾乎是一常量，這就意味著鏈條幾乎在做等“周期”的振蕩．

本文的式(31)—式(37)都是通用的表達(dá)式，它們對(duì)包括首次在內(nèi)的任意一次振蕩皆適用．因此本文第3節(jié)能夠運(yùn)用Excel軟件，通過(guò)迭代的方法求出各次振蕩的主要特征參量，以此呈現(xiàn)該鏈條大致的振蕩圖像．再次聲明，由于從隱函數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程式(38)、(39)數(shù)值積分，分別求出第n+1次上升、下落運(yùn)動(dòng)的y-t曲線，再逐段合并拼得鏈條完整的y-t曲線，這其中的程序頗為繁瑣復(fù)雜，因此本文省略了該項(xiàng)工作，轉(zhuǎn)而采用運(yùn)動(dòng)特征參量來(lái)描述該鏈條的振蕩運(yùn)動(dòng)，如此或可使其運(yùn)動(dòng)特征更加鮮明．

最后，順便說(shuō)一下，與例1、3不同，例2中鏈條的各節(jié)之間不存在非彈性碰撞，因此其系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的．此外，例2中所推導(dǎo)采用的“鏈狀質(zhì)點(diǎn)系沿切向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程”式(10)，其實(shí)是切向的自然坐標(biāo)軸上牛頓第二定律分量式的必然結(jié)果，事實(shí)上它在基礎(chǔ)力學(xué)的實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常被采用[3]，并非罕見(jiàn)．