李祖斌，趙 欣，宋 峰

(1. 南開大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071；2. 天津工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，天津 300387)

靜電學(xué)中，導(dǎo)體在靜電場中的性質(zhì)是比較重要的一個知識點(diǎn)，涉及了導(dǎo)體在靜電場中的靜電平衡現(xiàn)象以及兩類空腔導(dǎo)體的靜電屏蔽等內(nèi)容. 如圖1所示，在外靜電場E0中的均勻?qū)w(以金屬導(dǎo)體為例)，其內(nèi)部的自由電子在電場力作用下做定向運(yùn)動，使得電子在導(dǎo)體一側(cè)聚集帶負(fù)電，而在另一側(cè)失去電子而帶正電.這些感應(yīng)電荷的重新分布在導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生了與外加電場相反的附加電場E′.當(dāng)導(dǎo)體內(nèi)部總場強(qiáng)E總=E0+E′=0時，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，就達(dá)到了靜電平衡狀態(tài).而靜電屏蔽正是利用了靜電平衡的特性，使用空腔導(dǎo)體或外表面接地的空腔導(dǎo)體，使得外部電場不能影響空腔之內(nèi)或內(nèi)部電場不會影響空腔之外，從而實(shí)現(xiàn)了靜電屏蔽效果.

圖1 靜電平衡的原理

以上內(nèi)容是大學(xué)物理電磁學(xué)中的基本教學(xué)內(nèi)容[1]，本文就不再贅述了.這里想討論的問題是：靜電平衡或者靜電屏蔽是一直能實(shí)現(xiàn)的么？它們是否在某些情況下可以被打破，它們的極限在哪里？

1 靜電平衡的極限

靜電平衡的關(guān)鍵是導(dǎo)體內(nèi)存在大量自由電荷，這些自由電荷能夠移動到導(dǎo)體表面形成附加電場從而抵消外加電場的作用.但自由電荷并不是無窮多的，終究是有限的，如果外加電場足夠大，使得全部自由電荷都移動到導(dǎo)體邊緣也無法抵消時，導(dǎo)體內(nèi)部的總電場也就不可能為零了，靜電平衡也就被打破了.那么，這樣的外加電場要多大才能破壞靜電平衡呢？

關(guān)于靜電平衡的極限問題有些文獻(xiàn)已經(jīng)給出了一些討論.文獻(xiàn)[2]中以金屬球?yàn)槟Ｐ陀懻摿怂须娮佣家苿拥角虮砻鏁r能達(dá)到靜電平衡的最大場強(qiáng)；文獻(xiàn)[3]中采用了金屬導(dǎo)線連接的平行金屬板模型，討論了臨界厚度與外加電場之間的關(guān)系.不過，兩篇文獻(xiàn)都沒有討論隨著外加電場增強(qiáng)，自由電荷的具體分布情況，以及靜電屏蔽被打破的具體過程和臨界界限。

這里我們將以長方體形金屬導(dǎo)體為研究對象，施加均勻的垂直于導(dǎo)體某個面的電場，此時可以認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)自由電子的定向運(yùn)動是均勻的，自由電子在外場作用下的重新分布也是可以預(yù)測的. 這樣，我們可以逐漸增強(qiáng)外加電場，分析自由電子的分布情況；并討論隨著外加電場的增強(qiáng)，靜電平衡在某個臨界場強(qiáng)開始被打破,直到靜電平衡被完全打破的極限狀態(tài)的變化過程. 同時我們也將以金屬外殼為模型討論靜電屏蔽的極限問題.

1.1 簡化模型及臨界場強(qiáng)

假設(shè)有一個長方體金屬導(dǎo)體，外加電場垂直于導(dǎo)體左右端面，如圖1所示. 靜電平衡時，導(dǎo)體左右端面出現(xiàn)感應(yīng)電荷. 根據(jù)靜電平衡條件，感應(yīng)電荷只在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)部凈電荷量處處為零. 從結(jié)果看，可以簡單的認(rèn)為右端面損失了自由電子帶正電，而左端面獲得了等量的電子帶負(fù)電.

如果增大外加電場，為保持靜電平衡狀態(tài)，右端面會繼續(xù)失去自由電子，左端面會出現(xiàn)更多電子的積累，以保證附加電場能夠與外加電場抵消. 當(dāng)外加電場增加到某個臨界場強(qiáng)時，使得右端面表層原子的自由電子全部損失，全部移動到左端面. 如果再繼續(xù)增加外加場強(qiáng)，右端面表層就沒有更多的自由電子可以移動了，但此時導(dǎo)體內(nèi)部并未達(dá)到靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子還會繼續(xù)定向移動，左端面將繼續(xù)積累電子，直到導(dǎo)體內(nèi)部電場為零自由電子不再繼續(xù)移動為止. 而此時，為補(bǔ)充移動到左端面的自由電子，導(dǎo)體內(nèi)部必然會有一部分失去了自由電子而帶正電. 而這部分導(dǎo)體只能在導(dǎo)體最右側(cè)靠近右端面附近. 此時正電荷將不僅僅存在于右端面，也會存在于導(dǎo)體右側(cè).

根據(jù)以上分析，當(dāng)外加場強(qiáng)大于這個臨界場強(qiáng)時，靜電平衡開始被打破. 此時，導(dǎo)體內(nèi)部會有正電荷的積累，此部分導(dǎo)體中總電場不再為零. 但導(dǎo)體其他部分仍保持靜電平衡狀態(tài)，內(nèi)部場強(qiáng)仍為零.

先來看一下這個臨界場強(qiáng)會有多大. 設(shè)導(dǎo)體端面面積為S，厚度為t，此金屬每個原子外層的自由電子數(shù)為n，金屬密度為ρ，摩爾質(zhì)量為M. 假設(shè)導(dǎo)體中原子均勻排列，設(shè)金屬原子半徑為r. 當(dāng)外加場強(qiáng)為臨界場強(qiáng)時，處于右端面的第一層原子完全失去自由電子，則此部分自由電子總數(shù)為

(1)

此時左右端面積累的正負(fù)電荷量為

(2)

假設(shè)金屬導(dǎo)體S>>t2，忽略邊緣效應(yīng)，可以將端面看作無限大帶電平板，則由兩端面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的附加電場場強(qiáng)大小為

(3)

其方向與外加電場相反. 靜電平衡下，此臨界外加場強(qiáng)的大小就等于附加場強(qiáng)的大小，即

(4)

考慮常見的金屬導(dǎo)體，以銅為例，則n=2,ρ=8.96g/cm3，M=63.5 g/mol，r=0.128 nm，代入數(shù)據(jù)，可得E臨界=E′=7.86×1011V/m. 若厚度t=0.001 m，可知此時外加電場施加在導(dǎo)體兩側(cè)的電壓為U=E臨界t=7.86×108V. 也就是說，對于1 mm厚的銅板，靜電平衡狀態(tài)可以抵抗7億伏特量級的電壓，而基于靜電平衡的靜電屏蔽必然也會屏蔽同等量級的電壓. 這遠(yuǎn)大于目前自然界(閃電瞬間電壓最大可達(dá)億伏特量級)或人類能達(dá)到的程度(百萬伏特量級).

而想要形成這樣的臨界狀態(tài)，所需要的能量為(假設(shè)S=1 m2)

(5)

這雖然不是特別大的能量，但是要注意這僅僅只是表面的一層原子完全失去自由電子達(dá)到靜電平衡所需的能量，而金屬中的自由電子的數(shù)量是十分巨大的.

1.2 極限場強(qiáng)

盡管打破臨界的靜電平衡的就已經(jīng)需要如此大的電勢差，現(xiàn)實(shí)中很難達(dá)到，但是我們還是可以繼續(xù)討論一下，如果繼續(xù)增大外加場強(qiáng)會怎樣？

隨著外加場強(qiáng)繼續(xù)增大，導(dǎo)體中失去自由電子的部分會逐漸增加，直到導(dǎo)體中所有的自由電子都被移動到導(dǎo)體的左端面，而此時導(dǎo)體內(nèi)部的原子全部變成帶正電的陽離子，均勻的分布在導(dǎo)體中，如圖2所示.

圖2 自由電子全部移動到左端的極限狀態(tài)

以左端面為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建坐標(biāo)系，忽略邊緣效應(yīng)，可將正電荷分布看作很多無限大的薄板的疊加.所以，這種電荷分布產(chǎn)生的在導(dǎo)體內(nèi)部的附加電場分布為

(6)

附加電場

此時，導(dǎo)體中所有自由電子都在左端面，導(dǎo)體內(nèi)部不再有自由電子的定向運(yùn)動，但導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)并不為零，靜電平衡被完全打破，更無法實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽.

(7)

比1.1節(jié)中臨界狀態(tài)的能量大了13個數(shù)量級，約等于每天太陽照射到地球的能量(約1.5×1022J).

與1.1節(jié)中臨界狀態(tài)相比，導(dǎo)體達(dá)到極限狀態(tài)所需要的電勢差和能量都達(dá)到了一個巨大的量級，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人類或自然界能達(dá)到的程度. 其實(shí)，如此巨大的差別就來自于自由電子數(shù)的多少. 打破臨界狀態(tài)只需要移動表面一層原子的自由電子，而極限狀態(tài)則是1 mm厚度的導(dǎo)體的所有自由電子. 自由電子數(shù)的巨大差異反映在結(jié)果的巨大差異上.

由1.1和1.2的結(jié)果可以知道，靜電平衡是有極限的，這源自于自由電子數(shù)量的有限. 但是，在實(shí)際應(yīng)用中，靜電平衡以及基于靜電平衡的靜電屏蔽效應(yīng)其實(shí)是很難打破的，因?yàn)橹灰倭康淖杂呻娮訁⑴c(較薄的外層金屬導(dǎo)體)，就需要施加遠(yuǎn)大于自然界和人類能達(dá)到的電場強(qiáng)度和電勢差才能突破靜電屏蔽的極限.

1.3 過渡階段

當(dāng)然，從1.1節(jié)討論的臨界狀態(tài)到1.2節(jié)的極限狀態(tài)，還有一個過渡階段. 此時，外加場強(qiáng)介于臨界場強(qiáng)和極限場強(qiáng)之間.在此階段，靠近右端面的部分導(dǎo)體失去自由電子帶正電荷(這部分自由電子全部移動到左端面)，此區(qū)域總電場不為零；靠近左端面的部分導(dǎo)體仍保持電中性，總電場為零. 其總電場分布如圖4所示.

圖4 過渡階段總電場分布

由此可知，如果是具有一定厚度的金屬導(dǎo)體，當(dāng)外加場強(qiáng)超過臨界場強(qiáng)時，雖然靜電平衡部分被打破，但是仍有一部分區(qū)域(圖4中總電場為零的部分)是可以實(shí)現(xiàn)靜電平衡的，而這部分金屬中也就仍然可以實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽.

2 靜電屏蔽的極限

由以上討論可知，靜電平衡是有極限的，是由導(dǎo)體內(nèi)部自由電荷的多少決定的. 那么，基于靜電平衡原理的導(dǎo)體空腔的靜電屏蔽效應(yīng)必然也是有極限的. 下面我們用一個簡易的模型，來討論一下靜電屏蔽的極限是多少. 實(shí)際生活中，電子儀器為了防止外界電場的干擾常常用鐵質(zhì)外殼包裹. 為模擬這種情況，假設(shè)有一個邊長為a=0.5 m的立方體鐵質(zhì)空腔(第一類靜電屏蔽空腔)，厚度均勻?yàn)閠=0.001 m，如圖5所示.

圖5 鐵質(zhì)導(dǎo)體空腔

鐵的密度為ρ=7.86g/cm3，摩爾質(zhì)量為M=55.8 g/mol，原子半徑r=0.127 nm，利用1.1節(jié)討論的方法，可以算出達(dá)到臨界狀態(tài)時的外加電場強(qiáng)度的大小為

(8)

外加電場在鐵殼兩端的電勢差為

U=E臨界a=5.85×1011V

(9)

這是非常大的場強(qiáng)和電勢差，達(dá)到了五千億伏特量級，需要非常強(qiáng)的電場才能破壞靜電屏蔽的效果.即便是自然界最強(qiáng)大的閃電也是無法突破這一極限的. 而如果考慮1.3節(jié)中的過渡階段，如果鐵殼某一面的鐵板中自由電子被完全移動，在鐵殼內(nèi)部仍然可以實(shí)現(xiàn)屏蔽，而此時能屏蔽的電場強(qiáng)度或電勢差將增大106～107量級. 這就是一層原子中的自由電子和1 mm金屬中自由電子數(shù)量導(dǎo)致的差異.

3 討論

由上述計算和分析可見，靜電平衡以及基于靜電平衡的靜電屏蔽都是有極限的，這是由導(dǎo)體中的自由電子的多少決定的. 當(dāng)然，要想突破這種極限需要施加在導(dǎo)體上的電場強(qiáng)度是非常強(qiáng)的，所需要的能量仍然是非常大的，遠(yuǎn)超出了自然界放電現(xiàn)象的強(qiáng)度和現(xiàn)階段人類能夠達(dá)到的程度. 所以，在實(shí)際使用中并不需要擔(dān)心這種靜電屏蔽效果會被打破.

根據(jù)本文的計算結(jié)果，實(shí)際應(yīng)用中，靜電屏蔽的外殼可以不必做的很大很厚，完全可以用很薄的金屬外殼就可以實(shí)現(xiàn)足夠的靜電屏蔽效果.當(dāng)然我們還需要注意的是，靜電屏蔽和電磁波屏蔽是不同的[4]，雖然它們都可以通過金屬外殼來實(shí)現(xiàn). 而現(xiàn)實(shí)中的屏蔽通常既需要靜電屏蔽也需要電磁屏蔽. 所以在實(shí)際使用中，還要結(jié)合電磁屏蔽的具體要求來設(shè)計金屬外殼的厚度.