徐 蕾，李可妤，郭嘉鈺，鐘 鳴

(南京師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院物理系，江蘇 南京 210000)

散斑現(xiàn)象普遍存在于光學(xué)成像過程中，其攜帶了光束和光束所通過的物體的許多信息，因此被廣泛應(yīng)用于光學(xué)領(lǐng)域[1-3].

當(dāng)一束激光打到粗糙表面上時(shí)，反射光會(huì)干涉成像，形成明暗不同的斑點(diǎn)，這樣的圖案便是散斑.而即使保持所有的儀器靜止，我們依舊會(huì)發(fā)現(xiàn)，散斑在“漂移”.對(duì)于這一現(xiàn)象的研究有利于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)散斑，從而提高散斑成像的精度，具有現(xiàn)實(shí)意義.

經(jīng)過我們的分析，激光束照射的位置總體不會(huì)發(fā)生改變，而散斑之所以看起來在漂移，實(shí)質(zhì)上是反射光干涉后的光強(qiáng)分布發(fā)生了動(dòng)態(tài)變化，在視覺上就表現(xiàn)為“漂移”，類似于顯示屏通過交替點(diǎn)亮LED產(chǎn)生滾動(dòng)字幕的效果.為了進(jìn)一步研究這種現(xiàn)象，本文將通過多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)來尋找散斑漂移的主要因素，并且會(huì)根據(jù)這些因素進(jìn)行仿真模擬來重現(xiàn)散斑的動(dòng)態(tài)變化.

1 分析方法與實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1.1 分析方法

我們通過相機(jī)拍攝記錄下散斑從產(chǎn)生到漂移穩(wěn)定的過程，將其導(dǎo)入軟件中進(jìn)行分析.分析過程涉及以下兩個(gè)概念.

相關(guān)系數(shù)γ可以有效比較兩幅散斑圖像間的相關(guān)性，其表達(dá)式為[4,5]

(1)

其中，pj=Ij(xi,yi)-〈Ij(xi,yi)〉，I1(xi,yi)為t=0時(shí)刻的散斑圖案位于(x,y)坐標(biāo)上的光強(qiáng)，I2(xi,yi)為t>0時(shí)刻的散斑圖案位于坐標(biāo)(x,y)上的光強(qiáng).

為了比較不同時(shí)刻一個(gè)散斑漂移的快慢，我們定義了相關(guān)系數(shù)的變化率，其表達(dá)式為

(2)

為了減小時(shí)間間隔帶來的影響，我們將每20個(gè)時(shí)間間隔，取一次變化率的平均值，v的平均值越大，表示散斑變化得越快，即“漂移”得越快.而當(dāng)v的標(biāo)準(zhǔn)差趨于0時(shí)，說明變化率維持穩(wěn)定，即散斑的“漂移”維持穩(wěn)定.

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.攝像機(jī)幀率為30 fps,選取波長為635 nm的紅色激光筆，粗糙表面為卡紙與磨砂紙(較薄).另外，使用焦距為10 cm的凸透鏡以放大光路，方便拍攝.攝像機(jī)、激光筆、凸透鏡、粗糙表面四者皆固定于光具座上，調(diào)節(jié)至一條直線.在黑暗的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行拍攝，確保激光筆是唯一的光源.我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中調(diào)節(jié)各儀器間的距離，使得在表面上成像的散斑大小直徑為6 mm左右.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

1.3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與數(shù)據(jù)分析

激光具有能量，由于激光加熱而產(chǎn)生的一系列熱效應(yīng)很可能會(huì)造成干涉結(jié)果的變化，使肉眼看到“漂移”的現(xiàn)象.以下設(shè)想了2種可能：空氣受熱膨脹，導(dǎo)致折射率變化；粗糙表面受熱膨脹.兩者在不同程度上都將造成光程差的變化.下面將通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證上述猜想.

1.3.1 散斑漂移的特征

對(duì)一個(gè)散斑進(jìn)行600 s的拍攝，在500 s處使用小風(fēng)扇在遠(yuǎn)離表面處吹風(fēng)，使得激光經(jīng)過的空氣產(chǎn)生流動(dòng)，而表面不受到這一流動(dòng)的干擾，其相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)的變化率隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖2所示.圖2(a)描述的是相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化，黑點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)中實(shí)際采集到的數(shù)據(jù)，黑線則是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理后得到的連續(xù)曲線(后面的分析如果沒有特殊聲明，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果都經(jīng)過了平滑處理).圖2(b)描述的是漂移速率以及漂移的穩(wěn)定性(漂移速率的標(biāo)準(zhǔn)差)隨時(shí)間的變化.

相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化

從圖2(a)不難發(fā)現(xiàn)，在最初的10 s內(nèi)，散斑的相關(guān)系數(shù)不斷下降(至0.93左右)，而后開始呈現(xiàn)上下震蕩，震蕩幅度逐漸減小.600 s后，相關(guān)系數(shù)仍保持一定微小的震蕩.圖2(b)顯示漂移速率與漂移的穩(wěn)定性先下降(大約持續(xù)10 s)后震蕩，隨著時(shí)間推移，漂移速率維持在一個(gè)較為穩(wěn)定的值(0.002 7左右)，漂移速率的標(biāo)準(zhǔn)差基本為0，也就是說散斑的漂移由快至慢，由不穩(wěn)定至穩(wěn)定，最終散斑處于動(dòng)態(tài)平衡.實(shí)際上，在大約180 s后，肉眼很難再觀察到散斑的漂移，但通過軟件分析，散斑依舊處于漂移狀態(tài).

值得注意的是，當(dāng)我們?cè)?00 s時(shí)給空氣一個(gè)擾動(dòng)后，接下來的100 s內(nèi)，散斑并沒有出現(xiàn)劇烈的變化.從而認(rèn)為空氣的熱效應(yīng)并非是散斑漂移的主要因素.我們?cè)谕瑯拥膶?shí)驗(yàn)條件下，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，其相關(guān)系數(shù)的變化，漂移速率的變化在宏觀上是一致的(主要表現(xiàn)為變化的趨勢(shì)，達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定所需的大致時(shí)間，達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí)的相關(guān)系數(shù)以及漂移速率的大小等)，下面重點(diǎn)關(guān)注的便是散斑漂移時(shí)的宏觀性質(zhì).

1.3.2 研究粗糙表面的顏色的影響

我們分別選取了同一款品牌的黑色和紅色卡紙作為粗糙表面進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.

圖3 不同顏色粗糙表面產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化

圖3顯示黑色卡紙產(chǎn)生的散斑漂移得更快，達(dá)到穩(wěn)定需要的時(shí)間也更長.這是因?yàn)閷?duì)于相同功率的激光，黑色卡紙相較于紅色卡紙而言，對(duì)光的吸收率明顯更大，因此黑色卡紙接收到的能量更多，表面膨脹更快，光線的相位差變化更快，最終造成干涉的結(jié)果——明暗變化更快[6,7].同時(shí)，由于黑色卡紙吸收更多熱量，黑色卡紙最后溫度變化更大，其形變程度更大，導(dǎo)致散斑基本穩(wěn)定的時(shí)候，相關(guān)系數(shù)變化更大.而黑色卡紙吸熱膨脹的過程持續(xù)更久，因此散斑達(dá)到穩(wěn)定需要的時(shí)間也更長.

這就使得我們確認(rèn)了導(dǎo)致散斑變化的一個(gè)主要因素——粗糙表面的熱效應(yīng).

1.3.3 研究表面粗糙程度的影響

選擇粗糙程度不同，材質(zhì)相同的磨砂紙進(jìn)行實(shí)驗(yàn).以cw(國產(chǎn)砂紙的粒度，粒度是指顆粒的大小)來描述粗糙程度的大小.

圖4描述了不同粗糙程度磨砂紙產(chǎn)生的散斑的相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系.顯而易見的，這些相關(guān)系數(shù)的變化沒有很大差別.回顧實(shí)驗(yàn)條件，被選取的表面磨砂紙與卡紙較為薄大，而激光只照射到非常小的一塊區(qū)域，表面切向膨脹不易，因此法向膨脹占據(jù)了主導(dǎo)地位.由于散斑是無數(shù)光波的疊加，理論上通過大量統(tǒng)計(jì)后，不論粗糙程度的大小如何，其最終造成的干涉條件的變化是等效的.這樣就能很好解釋我們圖4中呈現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.由此可見，在我們的實(shí)驗(yàn)條件下，粗糙程度只是漂移的一個(gè)次要因素.

圖4 不同粗糙程度下散斑相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系

1.3.4 激光筆功率的影響

使用兩片偏振片來改變激光筆的功率.偏振片平面與激光光束垂直，θ為兩片偏振片的夾角，當(dāng)θ=0時(shí)，激光筆的功率是最大的.結(jié)果如圖5所示.

圖5 不同激光筆功率產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化

從圖5中明顯可見功率大的激光產(chǎn)生的散斑漂移更快，需要更長時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定.這樣的結(jié)果不難理解，功率大的激光能讓粗糙表面更快發(fā)生形變，這里就不做過多贅述.

值得一提的是，在經(jīng)過上述實(shí)驗(yàn)條件的變換后，散斑漂移的特征基本不變，都是由快至慢，由不穩(wěn)定至穩(wěn)定.因此實(shí)驗(yàn)1.3.1中對(duì)散斑漂移特征的描述具有普適性.

2 數(shù)值模擬

經(jīng)過上面一系列實(shí)驗(yàn)，我們得出散斑漂移的主要原因?yàn)椋杭す饧訜帷砻媸軣崤蛎洝辔桓淖儭缮娼Y(jié)果改變(明暗變化)→宏觀“漂移”.

為了再現(xiàn)這一現(xiàn)象，下面將通過數(shù)值計(jì)算來模擬這個(gè)動(dòng)態(tài)過程.

2.1 散斑的形成

散斑是無規(guī)則散射體的相互疊加.為了模擬一個(gè)散斑，首先需要隨機(jī)生成一個(gè)粗糙表面矩陣s(即隨機(jī)生成數(shù)的矩陣).

其次，通過式(3)、式(4)得到散斑振幅大小.其中o(x0,y0)是由于粗糙表面反射造成的相位差，由式(5)表示.像平面任意一個(gè)點(diǎn)A(x,y)的振幅是激光束經(jīng)過表面發(fā)射后振幅A0(x0,y0)不同比重的疊加，這一比重通過h(x,y)描述，h(x,y)的形式由式(6)表示.

A(x,y)=?A0(x0,y0)h(x0,y0,x,y)dx0dy0

(3)

A0(x0,y0)=E0(x0,y0)exp(o(x0,y0)i)

(4)

(5)

(6)

其中，a為有效光斑的半徑大小.z為像屏與光斑的距離，λ為激光束的波長.而E(x,y)為激光的復(fù)振幅，我們將激光看成高斯光束，那么，E(x,y)的振幅呈高斯分布.J1為一階貝塞爾函數(shù)[8-10]最終，模擬散斑的相對(duì)光強(qiáng)為振幅的模.

在對(duì)實(shí)驗(yàn)中拍攝的視頻進(jìn)行圖像處理時(shí)，灰度值即為光強(qiáng)，而設(shè)備對(duì)灰度值的存儲(chǔ)范圍有限(0～255)，因此我們?cè)谀M散斑時(shí)，對(duì)散斑光強(qiáng)大小進(jìn)行了上限處理，當(dāng)光強(qiáng)大于x(某一值)時(shí)，光強(qiáng)取為x.

生成散斑后，我們將模擬的散斑與實(shí)驗(yàn)中的散斑進(jìn)行光強(qiáng)的對(duì)比，結(jié)果如圖6所示.

實(shí)驗(yàn)中拍攝到的散斑

實(shí)驗(yàn)與模擬的散斑存在著一些差別.主要來源于以下幾點(diǎn):在實(shí)驗(yàn)中，表面有7～9本底灰度值，這是無法避免的.而在數(shù)值模擬中，表面的本底灰度值為0.在拍攝過程中，由于攝像機(jī)分辨率原因，采集到的散斑相對(duì)于模擬的散斑模糊.但模擬總體上已經(jīng)再現(xiàn)了散斑.

2.2 散斑的動(dòng)態(tài)變化

由于激光束照射表面，導(dǎo)致表面的溫度變化.在這一步中，考慮模型理想化的幾個(gè)點(diǎn)：1) 只考慮激光對(duì)表面的加熱，表面厚度非常小，膨脹時(shí)，以法向膨脹為主；2) 表面的吸光率是恒定的；3) 激光功率是恒定的；4) 光斑邊緣的溫度是恒定的室溫.

列出熱導(dǎo)公式

(7)

其中，k為熱導(dǎo)率，C為表面的比熱容，ρ為表面的密度，q為激光對(duì)表面的加熱功率，有

(8)

r為傳播軸線相交于z的的高斯光束等相面上的光斑半徑，α為表面的吸光率，ω為高斯光束等相面上的光斑半徑，E0為光心處的振幅.

由于熱膨脹導(dǎo)致的相位改變?yōu)?/p>

(9)

β為表面的線性熱膨脹系數(shù),d為表面的厚度.這樣的相位變化最終導(dǎo)致散斑形成過程中式(5)的變化.將式(5)與式(9)疊加，便形成新的表面.合成新的散斑.

得到表面隨時(shí)間的變化后，用不同時(shí)刻的表面生成散斑，計(jì)算這些散斑的相關(guān)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)漂移這一動(dòng)態(tài)的模擬.由于相關(guān)參數(shù)的精確測量是難以實(shí)現(xiàn)的，因此本次模擬參數(shù)有著如下所述的參考范圍(僅適合本文中所描述的實(shí)驗(yàn)情況)：表面的熱導(dǎo)率約為0.07～0.12 W/(m·K)，表面的比熱容約為1.7×103～2.1×103J/(kg·K)，表面的密度約為0.85×103～0.9×103kg/m3，激光筆的最大功率約為0.95～1.0 W，表面的吸光率約為0.8～0.85，表面的線性熱膨脹系數(shù)約為8×10-6～9×10-6K-1，室溫為283.1 K，激光直徑為6 mm，表面厚度為0.08 mm，激光波長為635 nm.通過不斷調(diào)整模擬的參數(shù)，雖然無法完全再現(xiàn)真實(shí)的散斑漂移，但是能在趨勢(shì)以及數(shù)量級(jí)上盡可能貼近實(shí)驗(yàn).圖7呈現(xiàn)了模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比.

圖7 模擬與實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的散斑相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系

模擬與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果有一定的吻合度.不同的是，當(dāng)模擬足夠時(shí)長時(shí)，表面會(huì)到達(dá)熱平衡，此時(shí)，散斑的相關(guān)系數(shù)不再會(huì)改變.但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，空氣的流動(dòng)、浮塵、激光光強(qiáng)的衰減、表面的徑向膨脹等眾多因素，都將導(dǎo)致散斑無法達(dá)到絕對(duì)的平衡.因此，相關(guān)系數(shù)會(huì)震蕩.

3 總結(jié)

肉眼觀察到的散斑漂移現(xiàn)象的本質(zhì)是散斑定點(diǎn)光強(qiáng)的明暗變化，宏觀表現(xiàn)為漂移.我們通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，造成散斑漂移的最主要因素是激光的能量導(dǎo)致了粗糙表面的膨脹，而表面升溫過程升高由快至慢，因此其相關(guān)系數(shù)的變化率(漂移速率)也是由快至慢，而后期，肉眼幾乎看不到散斑的變化，散斑達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定.

考慮到表面膨脹為散斑漂移的主要因素，我們構(gòu)建了完善的模型，得到散斑動(dòng)態(tài)變化的數(shù)值模擬.雖然這一模型忽略了很多次要因素，但是模擬下來的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)較為貼合.可以對(duì)此借鑒，進(jìn)行進(jìn)一步研究.