林 芹 陳豫眉 （西華師范大學，四川 南充 637000）

著名數學教育家波利亞認為：“掌握數學就意味著要善于解題”.然而，善于解題并不意味著一味地使用自身熟悉的、做過的題型去“套”.這種只滿足于解出答案，不對問題所蘊含的思想、方法進行歸納的學習方式已經無法滿足學生內在發(fā)展的需要.因此，教師在教學中應該有意識地培養(yǎng)學生運用數學思想方法去分析問題和解決問題的能力，提高數學素養(yǎng).

整體思想作為數學思想中的重要思想，旨在從已有問題的整體性質出發(fā)，認真觀察問題的整體結構，對其進行恰當的分析與改造，把握住問題的整體結構特征，運用“集成”的眼光，將其中的某部分看成一個整體，挖掘式子或圖形之間的內在聯(lián)系，再對它們進行有目的、有意識的整體處理，使得原有式子或圖形的結構變得更加清晰明了，容易解決.圖形與幾何問題較為重視推理過程，整體思想非常符合這一要求，它能將學生的思維過程有效地融合在一起，而又不至于太過分散.這種以整體的眼光看待問題、解決問題的方法，在解決圖形與幾何問題中發(fā)揮著不可替代的作用.

1 整體思想在求解圖形面積中的應用

通過觀察歸納，不難發(fā)現(xiàn)中小學階段在求解圖形面積的相關問題是有共通之處的.求解平面不規(guī)則圖形的面積問題的解題關鍵其實就在于需將原有的不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形求解，既能考查學生的讀圖、識圖能力，又能考查學生的數學轉化思想與思維的靈活性.而數學的整體思想恰好在這一類求解圖形面積問題中發(fā)揮著不可替代的作用，在求解此類問題時，常常需要學生運用整體的眼光去看待原有的不規(guī)則圖形，即從原有圖形的局部結構特征入手，與其所學的規(guī)則圖形關聯(lián)起來，達到解決問題的目的.

如圖1⊙⊙⊙兩兩不相交且半徑都是0.5 cm求圖中陰影部分的面積結果保留π

圖1

本題若依據常規(guī)思路，我們會考慮分別計算各陰影部分的面積，再求和.但是，經過觀察我們發(fā)現(xiàn)，盡管上述圖形的陰影部分是規(guī)則圖形扇形，但我們不知道每個扇形所對圓心角的度數，故無法順利求解出每個扇形的面積.然而，若用整體的眼光去看待問題，由于三個扇形的半徑均為0.5 cm，那么自然可以將三個陰影部分轉換成一個半徑為0.5 cm 的半圓，既打通了思維上的阻礙，還簡化了計算的過程.

如圖2在Rt△中∠＝90°＝4＝2分別以為直徑畫半圓求圖中陰影部分的面積結果保留π

圖2

本題若依據常規(guī)思路，我們首先考慮分別計算各陰影部分的面積，再求和.但是，經過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，上述圖形的陰影部分均為不規(guī)則圖形，無法根據標準圖形面積的計算公式直接計算.那么，我們可以轉換思路，嘗試利用差值思想，結合其他標準圖形解決問題.然而，經觀察思考發(fā)現(xiàn)其他圖形中仍包含未知的不規(guī)則圖形，也無法順利解決問題.因此，先不考慮結論，我們先從已知的可利用的條件入手.將各部分陰影面積分別用，，，，來表示，再利用已知條件，建立三個等式：

如圖3矩形被兩條對角線分成了四個小三角形已知四個小三角形的周長和為86 cm一條對角線長為13 cm求矩形的面積.

圖3

本題若依據常規(guī)思路，為求解矩形的面積，則需知道矩形的長和寬.但經過觀察思考可以發(fā)現(xiàn)，由于已知條件不足，根本無法求解矩形相應的邊長.然而，若運用整體思想，根據矩形面積公式＝·，只需求解出·的值.由題可知+++＝86-2（+）＝86-4×13＝34，可以得到+＝17.再將上述式子兩邊同時平方，可得+2·+＝289.又因為+＝13＝169，所以·＝60.

如圖4兩個正方形有一個公共頂點已知大小正方形的邊長分別為求△的面積用的代數式表示

圖4

圖5

通過觀察上述問題，我們不難發(fā)現(xiàn)利用整體思想在求解圖形面積問題中的關鍵是善于用“集成”的眼光.在求解此類問題的過程中，若拘泥于常規(guī)思路或解法，常常會發(fā)現(xiàn)無法運用現(xiàn)有的知識進行求解，即容易走入“死胡同”.但是，如若我們認真思考，從整體上去發(fā)掘解決問題的關鍵，把握圖形的整體結構特征，便能使原有的問題化繁為簡、化難為易，達到柳暗花明、豁然開朗的效果.

2 整體思想在幾何問題中的應用

幾何問題，說到底也就是圖形問題，旨在研究圖形的性質.這就要求學生能夠分辨出題目所給出的信息，且能夠洞察隱藏在已知圖形下的與解決問題相關的另一“子圖形”，再利用“局部”或“全局”的整體性，將二者恰當地結合起來，使得原來無從下手的問題，變得簡單，解決問題的思路也變得清晰明了.

如 圖6求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝________.

圖6

由圖可知，∠1+∠2 ＝180°-∠，而∠＝∠，故∠1+∠2＝180°-∠①.同理∠3+∠4 ＝180°-∠②，∠5+∠6 ＝180°-∠③.由①+②+③可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 ＝3×180°-∠-∠-∠而現(xiàn)在若想單獨求解∠、∠、∠的度數，將會無計可施.但是，根據題意可知，需要求解的是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的值.因此，我們不必拘泥于單個角的度數，應當從整體的角度入手，把握角與角之間的內在聯(lián)系.∠、∠、∠是△的三個內角，根據三角形的內角和定理，可知∠+∠+∠＝180°.因此，我們只需將上述式子看成一個整體，就可得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝3×180°-（∠+∠+∠）＝3×180°-180°＝360°.

如圖7已知在△中∠＝50°分別是∠和∠的平分線求∠的度數.

圖7

如圖8在平行四邊形中∠＝70°∠＝∠并且平分∠求∠的度數.

圖8

根據圖8 可知，∠＝∠+∠但想要求解∠的度數，無須分別求解兩個角的度數，只需要運用整體思想，將∠和∠看成一個整體.根據題意可以發(fā)現(xiàn)，∠＝∠，又因為平分∠，∠＝70°.故可以得到∠＝∠+∠+∠+∠＝2（∠+∠）＝70°，即∠＝∠+∠＝35°.

圖9

圖10

綜上所述，在求解某些圖形與幾何問題時，不要執(zhí)拗于計算出某部分具體的值.應當從已有問題的整體出發(fā)，認真觀察圖形與幾何的整體結構，運用“集成”的眼光，嘗試將部分圖形與幾何看成一個整體，建立起局部與整體的聯(lián)系，對它們進行有目的、有意識的整體處理，使原有圖形與幾何的結構變得清晰明了，使問題變得易于解決.