張紅梅，王文婷，史詩潔

（深圳技術大學 大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學院，廣東 深圳 518118）

引言

數(shù)學基礎理論是現(xiàn)代科技發(fā)展的基石，在高等教育中占有非常重要的地位。在應用型大學中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門重要的數(shù)學應用類課程。應用型大學的辦學宗旨是培養(yǎng)應用型和創(chuàng)新型人才，在應用型大學中開設高等數(shù)學類課程，可以使學生將課堂學習的理論知識用于實際應用，即對實際問題進行數(shù)學建模，進而解決問題。這正是數(shù)學建模的研究內(nèi)容。在高等數(shù)學中，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是應用型極強的一門數(shù)學課程。但由于課程中涉及大量的“微積分”和“線性代數(shù)”等課程基礎知識，理論性較強，對于工科生來說難度較大，一直以來被認為是工科高等數(shù)學中最難的一門課程。因此，如何將課程內(nèi)容使學生容易接受并應用于實際，是一個重要的問題。筆者在從事“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學過程中，對課程的教學方法進行了長期探索，取得了一定的效果。本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的部分理論知識為例，總結(jié)在課堂教學時，如何利用基礎理論知識表示和解釋身邊的實際問題，將數(shù)學建模的思想融入課程。本文將從以下兩個方面展開：教學內(nèi)容的趣味性和教學內(nèi)容的實用性。

一、教學內(nèi)容的趣味性

興趣是最好的老師。對于數(shù)學類枯燥的課程，更需要激發(fā)學生的興趣，以提升教學效果。在高等教育中，相對于其他數(shù)學類課程，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”應用范圍更廣泛，因此，有更多與我們生活息息相關的例子可供課堂教學使用。

（一）舉例知識點：等可能概型

在學習等可能概型這部分內(nèi)容時，首先提出兩個學生感興趣的問題：在茫茫人海中，想遇到與自己同月同日生的人，概率有多大？

趁學生對這兩個話題產(chǎn)生感興趣時，引入概率理論：等可能概型。給出等可能概型的計算公式：

為解決提出的問題，需要首先引入下面這個簡單的摸球例子。

例1 將n只球隨機地放入（≥）個盒子中，試求每個盒子至多有一只球的概率。

解：記A為每個盒子至多有一只球的事件，則

對上述問題進行引申：個人中至少有兩人生日相同的概率。可視為將個人（球）隨機放入365個日期（盒子）中。為了計算兩人生日相同的概率，可以通過計算其逆事件的概率簡化問題。首先計算n個人的生日各不相同的概率為

則個人中至少有兩人生日相同的概率為

通過計算可知，取=23時，概率為0.5；取=100，可求得概率約為1。這也說明，“百里挑一”這句成語原來是有理論依據(jù)的呀！

（二）舉例知識點：條件概率

在條件概率部分，除了條件概率這個知識點本身，還涉及與條件概率導出的幾個相關公式：乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。這幾個公式雖然均可由條件概率公式經(jīng)相應的變形導出，但其在外形上相差很大，且都比較復雜。所以這幾個公式如果直接向?qū)W生灌輸，很難被理解和接受。興趣是最好的老師，如果能通過學生感興趣的事物引入這部分的理論和應用，定會使相應的理論容易被接受，并加深印象。所以在學習這部分理論時，首先通過一個熟悉的綜藝節(jié)目引出問題。

例2 三門問題。在舞臺中間有三扇門，其中兩扇門后面寫的是“羊”，一扇門后面寫的是“車”。參與者有兩次選擇機會，最終選中的物品將歸其所有。當參與者選中一扇門后，主持人打開另外兩扇門中的一扇，結(jié)果是“羊”。問：參與者是否會選擇換門？

解題思路 不妨設1 號門后面是“車”，2 號和3 號門后面是“羊”。那么只有以下三種情況：（1）參與者選擇了1號門，主持人打開的是2號門；（2）參與者選擇了2號門，主持人打開的是3號門；（3）參與者選擇了3號門，主持人打開的是2號門。

可以發(fā)現(xiàn)，在這個例子中，并未利用深奧的概率知識，只需常識即可得出結(jié)論。但是接下來引入與此例原理類似的問題——三囚犯問題，則需利用以上理論：條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。

憑直覺，大部分人會選擇答案a，但這個答案是錯誤的。為什么？等這部分理論學完，答案自然水落石出，這就吸引學生繼續(xù)聽下去。這部分涉及以下知識點。

【定義1】設、是兩事件，若()＞0，則

稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。

將以上公式變形，可得

()=()(|)

上述公式稱為乘法公式。

【定義2】設試驗的樣本空間為，為的事件，，，…，為的一個劃分，且(B)＞0(i=1，2，…，n)，則

稱為全概率公式。

【定義3】設試驗的樣本空間為，為的事件，，，...，為的一個劃分，且()＞0，(B)＞0，則

稱為貝葉斯公式。

通過調(diào)用SQLite的C-API函數(shù)，實現(xiàn)了實時動力學仿真平臺與SQLite模型數(shù)據(jù)庫的連接，并且使用準備查詢的方式，實現(xiàn)平臺對模型數(shù)據(jù)庫信息的讀取和調(diào)用，為實現(xiàn)虛擬環(huán)境下模型的自動裝配和實時動力學仿真奠定了基礎，為實時動力學仿真提供了新思路。

依據(jù)以上理論，下面給出三囚犯問題的分析。設、、分別代表三囚犯被赦免的事件，為看守對說會被處死的事件。

已知()=()=()=1/3，求(|)：在看守說會被處死的條件下，被赦免的概率。這是一個條件概率問題，條件就是看守和說了會被處死這件事。

首先，按條件概率公式，有

其次，按全概率公式，有

其中，(|)：在被赦免的條件下，看守說被處死的概率。由于被赦免，看守可以說，也可以說被處死，因此概率為1/2；(|)：在被赦免的條件下，看守說被處死的概率，這是矛盾事件，因此概率為0；(|)：在被赦免的條件下，看守說B被處死的概率，由于被赦免，而且一定會處死，所以概率為1。

再代回條件概率公式（1），得

同理可得(|)=2/3。

也就是說，在詢問了看守后，被赦免的概率沒有提高，但是被赦免的概率卻提高了！為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？1/2為什么不對？吸引學生思考。然后再給出原因和推理。

二、教學內(nèi)容的實用性

（一）舉例知識點：隨機事件

在講隨機事件知識點時，受新冠肺炎疫情影響，采用網(wǎng)絡方式授課，所以以當時熟知的事件為例，學生很自然就接受了。

（二）舉例知識點：數(shù)學期望

在學習數(shù)字特征的數(shù)學期望知識點時，恰逢所在市區(qū)組織全員核檢，工作量巨大。為了提高效率，不再采取一人一試劑盒的單檢方式，而是十人一試劑盒的混檢方式。向?qū)W生提出問題：采用混檢的方式有什么理論依據(jù)？引出下面的例題。

例4 對某群體（個人，很大）做疾病普查，可用兩種方式：（1）將個人的血分別檢測；（2）每個人一組混檢，若混合血樣呈陰性，不做處理；若呈陽性，再對k個人的血樣分別檢測。假設每人的樣本呈陽性的概率為。試證明當較小時，選取適當?shù)?，按第二種方法可以大大提高檢測的效率。

解題思路 本題目考查該群體檢測次數(shù)的期望值，即每人平均檢測次數(shù)之和的期望。由已知，各人檢測結(jié)果呈陰性的概率為=1-，則個人混合結(jié)果呈陰性的概率為q，呈陽性的概率為1-q（結(jié)合十人一組的核酸混檢方式，這幾個概率很容易理解）。設人一組時，組內(nèi)每人檢測的次數(shù)為隨機變量，顯然其分布律為

得的數(shù)學期望，即每個人需要檢測的平均次數(shù)為

則個人需化驗的平均次數(shù)為

在這個例子中有大量的公式，如果不結(jié)合實際問題，學生會很排斥。當結(jié)合身邊的實際問題進行解釋時，學生就很自然地接受和理解了。

（三）舉例知識點：假設檢驗

假設檢驗是依據(jù)某種準則，利用樣本的信息檢驗關于總體的假設是否正確，然后作出決策：接受還是拒絕。在假設檢驗的過程中，容易犯兩類錯誤：（1）棄真錯誤；（2）取偽錯誤。顯著性假設檢驗就是為了控制第1類錯誤而進行的假設和檢驗。只對犯第1類錯誤的概率加以控制而不考慮犯第2類錯誤的概率的檢驗，稱為顯著性檢驗。

在講授這部分內(nèi)容時，為了使學生理解兩類錯誤和顯著性檢驗，以常見的醫(yī)學檢測為例進行說明。在常規(guī)的體檢或疾病篩查時，往往需要對患者的生物樣本進行檢測，在檢測過程中可能會產(chǎn)生兩類錯誤：（1）假陰性；（2）假陽性。對于這兩類錯誤，控制假陰率的重要性遠遠高于控制假陽率，所以我們將重點放在控制第1類錯誤上，做顯著性假設檢驗。

三、結(jié)論

本文以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的部分知識點為例，闡述了從學生的興趣點和實際應用兩個角度切入課堂教學的實施路徑，將數(shù)學建模的思想融入課堂教學中。經(jīng)過兩個學期的實際教學試驗，結(jié)果證明文中方法的效果比較顯著。