陳詩雨 寶音賀西

(清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084)

引言

在許多航天任務(wù)中，航天器需要對目標天體進行環(huán)繞、著陸或?qū)δ繕撕教炱靼轱w，使得航天器與目標相對于中心天體的位置、速度近似一致，這種情形統(tǒng)稱為與目標交會.在深空探測中，航天器在單次任務(wù)中交會多個目標能獲得更多的科學(xué)回報.然而與地心軌道相比，日心軌道速度較大，相應(yīng)地，在深空中與目標交會需要更大的速度增量和更多的推進劑，這對航天器的變軌能力提出了極高的要求.因此，20世紀的深空探測任務(wù)大都采用飛越而非交會的形式，以利用有限的推進劑實現(xiàn)對多個目標的探測.例如，“旅行者”1號、2號探測器飛越探測了太陽系各個大行星，“伽利略”號探測器在前往木星的途中飛越了金星、小行星51 Gaspra和243 Ida[1].進入21世紀，電推進技術(shù)的興起促進了多目標交會任務(wù)的實現(xiàn).電推進具有推力小且作用時間長的特點，故又稱為連續(xù)小推力.電推進發(fā)動機比沖通常比傳統(tǒng)的化學(xué)推進發(fā)動機高一個數(shù)量級，因此能顯著地節(jié)省燃料.得益于電推進技術(shù)， “黎明號”探測器先后對小行星Vesta和Ceres進行了繞飛，這也是目前唯一成功的多小行星交會任務(wù)[2].若將探測器返回地球并著陸視為與地球的一次交會，則采樣返回任務(wù)也屬于多目標交會任務(wù).近年來頻繁開展的小行星采樣返回任務(wù)中，電推進技術(shù)亦被廣泛地應(yīng)用，例如“隼鳥”1號、2號小行星探測器[3,4]和我國將于2024年發(fā)射的小行星探測器[5]均采用電推進技術(shù).可以預(yù)見，隨著電推進或更先進的推進技術(shù)愈發(fā)成熟，未來的深空探測任務(wù)將越來越多地采用多目標交會的形式以獲取更大的收益.

在近地空間在軌服務(wù)領(lǐng)域，包括空間碎片清除和在軌加注等，多目標交會也有廣闊的應(yīng)用前景.近地軌道空間碎片的持續(xù)增長正威脅未來空間活動的安全，因此空間碎片清除是近年來的一大研究熱點.為了節(jié)省任務(wù)成本，應(yīng)使一顆航天器清除盡可能多的目標碎片.目前已提出了幾種單航天器清除多目標的解決方案，例如航天器依次捕獲數(shù)個目標并將它們彈射使其降軌[6]，或分別在每個目標上附著一個降軌設(shè)備[7]等.這些方案都需要航天器依次交會各個目標碎片，本質(zhì)上都是多目標交會任務(wù).空間碎片清除目前尚停留在理論研究階段，而在軌加注已有工程應(yīng)用經(jīng)驗.2007年，美國的“軌道快車”任務(wù)成功實施，驗證了自主交會對接、在軌加注等在軌服務(wù)的關(guān)鍵技術(shù).在該任務(wù)的應(yīng)用場景中，服務(wù)航天器利用其自身的燃料或者從近地停泊軌道的倉庫內(nèi)獲取燃料，與目標航天器依次交會并對其進行服務(wù)，是典型的多目標交會任務(wù)[8].

總之，在未來小行星探測、在軌服務(wù)等領(lǐng)域中將大量開展多目標交會任務(wù)，而軌跡優(yōu)化是開展此類任務(wù)要解決的首要問題.多目標交會軌跡優(yōu)化問題中優(yōu)化變量眾多，其中既有交會時刻等連續(xù)變量，也有交會目標等離散變量，且涉及的約束復(fù)雜，求解極其困難，因此是航天動力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一.國際空間軌道設(shè)計大賽(Global Trajectory Optimization Competition, GTOC)為多目標交會軌跡優(yōu)化的研究起了重要的推動作用.該賽事由歐洲航天局先進概念組的Dario Izzo博士發(fā)起，每一到兩年舉辦一屆，參賽隊伍來自各國的航天機構(gòu)和高校，可謂國際航天動力學(xué)領(lǐng)域一大盛會.每屆GTOC主辦方都會提出一個解空間極大的軌跡優(yōu)化問題，各參賽隊伍在不到一個月的時間內(nèi)提交結(jié)果，由當(dāng)屆冠軍主辦下一屆比賽.迄今為止，GTOC已舉辦了10屆，表1中列出了其中5屆比賽中提出的多目標交會問題，涵蓋了多小行星探測、空間碎片清除等任務(wù)[9].部分問題涉及多航天器協(xié)同的任務(wù)規(guī)劃，進一步增大了解空間，難以找到全局最優(yōu)解.在求解此類問題時，往往將原本復(fù)雜的離散-連續(xù)混合變量優(yōu)化問題分解為全局優(yōu)化和局部優(yōu)化兩部分[9].所謂全局優(yōu)化指搜索最優(yōu)的交會目標、序列及時刻，是一個包含連續(xù)變量的組合優(yōu)化問題；局部優(yōu)化指交會序列確定后，對每段目標-目標轉(zhuǎn)移軌跡單獨進行優(yōu)化或?qū)Χ喽无D(zhuǎn)移軌跡進行整體優(yōu)化.

表1 GTOC中的多目標交會問題

在優(yōu)化交會序列時需不斷計算相應(yīng)的優(yōu)化指標，而指標和每段轉(zhuǎn)移消耗的速度增量或時間等相關(guān).對于動力學(xué)模型較簡單的情況，例如二體模型下的脈沖轉(zhuǎn)移，可直接在序列搜索的外層循環(huán)中調(diào)用局部優(yōu)化算法求解每段轉(zhuǎn)移的最優(yōu)軌跡及其代價[10,11].然而當(dāng)動力學(xué)模型較復(fù)雜時，例如考慮J2攝動或航天器采用連續(xù)小推力，僅優(yōu)化單段轉(zhuǎn)移軌跡就需耗費較多計算時間，在序列搜索時反復(fù)調(diào)用軌跡優(yōu)化算法的計算代價難以接受.因此需簡化模型，快速地估計轉(zhuǎn)移消耗的最優(yōu)代價.

綜上，多目標交會軌跡的優(yōu)化問題可分為三個子問題：轉(zhuǎn)移代價估計、交會序列優(yōu)化和轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化.三者的關(guān)系：對轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化中的模型簡化后得到轉(zhuǎn)移代價估計方法；估計的轉(zhuǎn)移代價在交會序列優(yōu)化中用于計算指標；對于優(yōu)化后的交會序列，再精細地優(yōu)化各段目標-目標轉(zhuǎn)移軌跡.前人針對這三個子問題已做了大量研究，本文對這些研究工作進行總結(jié).

1 轉(zhuǎn)移代價估計方法

為提高序列優(yōu)化的計算效率，轉(zhuǎn)移代價估計的計算耗時必須短.同時，估計的轉(zhuǎn)移代價決定了交會序列指標的評估，進而影響最優(yōu)序列的選取.因此估計結(jié)果應(yīng)盡可能接近軌跡優(yōu)化的結(jié)果，以期能準確地評估序列的指標.常用的估計方法可分為數(shù)據(jù)庫法、機器學(xué)習(xí)法和解析法三類.

1.1 數(shù)據(jù)庫法

數(shù)據(jù)庫法的思路：首先離線生成一個數(shù)據(jù)庫儲存所有可行轉(zhuǎn)移的信息，每個可行轉(zhuǎn)移的代價由軌跡優(yōu)化算法給出，在序列優(yōu)化中通過在線查詢數(shù)據(jù)庫得到所需的轉(zhuǎn)移代價.從而避免了在線進行復(fù)雜的軌跡優(yōu)化計算，同時又能保證估計的轉(zhuǎn)移代價與優(yōu)化結(jié)果之間誤差較小.Cerf[12]在生成數(shù)據(jù)庫時將轉(zhuǎn)移的初始時刻和轉(zhuǎn)移時間在一定區(qū)間內(nèi)離散，并通過線性插值得到給定轉(zhuǎn)移的速度增量，時間離散步長越小，數(shù)據(jù)庫包含的可行轉(zhuǎn)移越多，插值估計的速度增量也越準確.Bang和Ahn[13,14]、Petrov和Noomen[15]將數(shù)據(jù)庫中的轉(zhuǎn)移拼接成可行的交會序列，搜索空間的大小由數(shù)據(jù)庫中包含的可行轉(zhuǎn)移的數(shù)量決定.可見，數(shù)據(jù)庫中可行轉(zhuǎn)移的數(shù)量越多，最終的優(yōu)化效果越好，但生成數(shù)據(jù)庫消耗的計算時間也越長.文獻[12]中生成40320個可行轉(zhuǎn)移耗時112 h，文獻[14]中生成23926個可行轉(zhuǎn)移耗時37 h.在第9屆GTOC中，冠軍JPL生成了包含2.9×108個轉(zhuǎn)移的數(shù)據(jù)庫[16]，這對硬件的計算能力和內(nèi)存提出了極高的要求.

1.2 機器學(xué)習(xí)法

近年來一些學(xué)者嘗試將機器學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于轉(zhuǎn)移代價的估計.首先使用局部優(yōu)化算法優(yōu)化大量轉(zhuǎn)移軌跡，生成數(shù)據(jù)集，然后利用數(shù)據(jù)集訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最后用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計轉(zhuǎn)移代價.Hennes等[17]和Mereta等[18]使用機器學(xué)習(xí)估計近地小行星間小推力轉(zhuǎn)移的航天器剩余質(zhì)量，估計精度顯著高于Lambert轉(zhuǎn)移近似.Zhu和Luo[19,20]、Li等[21]使用機器學(xué)習(xí)估計了小行星間小推力轉(zhuǎn)移以及空間碎片間多脈沖轉(zhuǎn)移的速度增量，估計結(jié)果的平均相對誤差分別約為0.5%和4%.Song和Gong[22]研究了太陽帆航天器交會多個小行星的場景，使用機器學(xué)習(xí)估計了最短轉(zhuǎn)移時間.采用機器學(xué)習(xí)方法估計轉(zhuǎn)移代價，只需生成包含上萬個轉(zhuǎn)移樣本的數(shù)據(jù)集即可得到較高的估計精度，但生成數(shù)據(jù)集并訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍需耗費數(shù)十小時.而且如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用場景與訓(xùn)練時的場景不同，則估計精度可能大幅下降，需重新生成數(shù)據(jù)集進行訓(xùn)練.

1.3 解析法

要節(jié)省離線生成數(shù)據(jù)庫或數(shù)據(jù)集的時間，并使得轉(zhuǎn)移代價估計方法適用于不同但相似的場景，較為傳統(tǒng)的思路是對該類場景的轉(zhuǎn)移軌跡進行解析近似.早在1961年，Edelbaum[23]就已針對近圓軌道的多圈轉(zhuǎn)移場景(假設(shè)半長軸、傾角改變量很小)，推導(dǎo)了脈沖和連續(xù)小推力轉(zhuǎn)移的速度增量估計公式.Alfano和Thorne[24]針對共面圓軌道間的連續(xù)推力轉(zhuǎn)移，給出了最短轉(zhuǎn)移時間的解析估計方法.Kechichian[25]基于Edelbaum的方法和最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了非共面圓軌道間小推力轉(zhuǎn)移的最短轉(zhuǎn)移時間估計公式.Kluever[26]在Kechichian工作的基礎(chǔ)上考慮了地球陰影區(qū)的影響.Casalino和Colasurdo[27]對Edelbaum的小推力速度增量估計方法做了改進，考慮了推力方向和大小的最優(yōu)控制，并推廣到推力大小和比沖可變的情況.針對一圈以內(nèi)的共面近圓軌道小推力轉(zhuǎn)移軌跡，Casalino[28]基于Edelbaum的方法提出了最優(yōu)速度增量半解析估計方法，相對誤差不超過10%.Gatto[29]將Casalino的工作推廣到了非共面轉(zhuǎn)移的情形.Li等[30]在Edelbaum的小推力速度增量估計公式的基礎(chǔ)上考慮了J2攝動，引入升交點赤經(jīng)漂移帶來的速度增量.Shen[31]推導(dǎo)了J2攝動下圓軌道間的小推力速度增量估計公式，考慮了開機-滑行-開機三段式轉(zhuǎn)移，估計結(jié)果的相對誤差僅為4%.此外，還有學(xué)者應(yīng)用基于形狀的方法，將連續(xù)推力交會軌跡近似為指數(shù)正弦或逆多項式曲線，解析計算速度增量[32-34].可見，許多學(xué)者研究了小推力交會軌跡的速度增量估計方法.對于脈沖轉(zhuǎn)移，尤其是考慮J2攝動的速度增量估計，目前研究較少.Shen等[35]和Li等[36]利用升交點赤經(jīng)的自然漂移，選擇航天器與目標升交點赤經(jīng)之差最小的時刻作為交會時刻，應(yīng)用Edelbaum的公式估計調(diào)整軌道半長軸、偏心率、傾角所需的脈沖大小.Luo等[37]基于Gauss變分方程給出了調(diào)整軌道半長軸、偏心率、傾角、升交點赤經(jīng)所需的速度增量估計公式.但這些脈沖速度增量估計方法的平均相對誤差都在20%左右[20]，精度較差.Shen和Casalino[38]提出一種解析估計方法，考慮了升交點赤經(jīng)漂移率的調(diào)整，充分利用軌道面進動來降低速度增量，使得估計的最優(yōu)速度增量更接近實際值，平均相對誤差低于10%.Chen和Baoyin[39]提出了一種解析估計方法，將脈沖轉(zhuǎn)移速度增量的求解近似為求解一系列線性方程組，仿真結(jié)果表明此方法得到的速度增量估計值平均相對誤差低于4%.Riggi和D’Amico[40]、Huang等[41]提出了半解析的脈沖轉(zhuǎn)移速度增量估計方法，能達到更高的估計精度，但都需要迭代求解非線性方程，計算量遠大于解析法.總之，目前解析或半解析的速度增量估計方法很難兼顧估計精度和計算效率.

1.4 小結(jié)

上述三類轉(zhuǎn)移代價估計方法中，數(shù)據(jù)庫法和機器學(xué)習(xí)法適用的范圍較廣，只要能生成精確轉(zhuǎn)移的數(shù)據(jù)庫就能應(yīng)用這兩類方法，而精確轉(zhuǎn)移軌跡的數(shù)值求解方法已經(jīng)相對比較成熟.解析法需要對精確轉(zhuǎn)移軌跡進行解析近似，針對不同的轉(zhuǎn)移模型需要推導(dǎo)不同的解析近似公式，因此適用范圍較窄.從計算效率上看，數(shù)據(jù)庫法和機器學(xué)習(xí)法在線估計轉(zhuǎn)移代價時具有較高的計算效率，但事先離線生成數(shù)據(jù)庫需耗費大量時間，且應(yīng)用場景發(fā)生變化時需重新生成數(shù)據(jù)庫；解析法無須生成數(shù)據(jù)庫，其在線估計轉(zhuǎn)移代價的計算效率取決于計算過程的復(fù)雜程度.從估計結(jié)果的精度上看，數(shù)據(jù)庫法和機器學(xué)習(xí)法通常能獲得較高的精度；解析法的估計精度取決于解析近似模型與精確模型的相近程度，兩者越相近則精度越高，但計算效率會隨之下降.由此可見，針對復(fù)雜轉(zhuǎn)移模型，例如在考慮J2攝動等攝動力的情況下，如何提高解析法的估計精度同時保證較高的計算效率是值得研究的方向.

2 交會序列優(yōu)化方法

多目標交會序列優(yōu)化是一個包含離散-連續(xù)混合變量的優(yōu)化問題．離散變量包括目標的選取、交會順序，連續(xù)變量主要為交會每個目標的時刻或每段目標-目標轉(zhuǎn)移的時間等.由于交會、飛越、引力輔助等不同探測形式的序列優(yōu)化問題本質(zhì)上相同，因此本文將相關(guān)的研究一并總結(jié).無論是深空中多天體探測的序列優(yōu)化，還是近地軌道多空間碎片清除，或是多目標在軌加注的序列優(yōu)化，所使用的優(yōu)化方法都是相通的，主要可分為樹搜索算法和隨機啟發(fā)式算法兩類.

2.1 樹搜索算法

樹搜索算法從根節(jié)點開始，選擇當(dāng)前可交會的目標作為下一級節(jié)點，形成搜索樹的一個分支.逐級擴展搜索樹分支，直到無可交會的目標時搜索結(jié)束，從而得到一條交會序列.樹搜索算法通常包括深度優(yōu)先和廣度優(yōu)先兩種策略，其原理如圖1所示.深度優(yōu)先策略著重于快速生成可行序列，搜索樹的每一級都選擇最優(yōu)節(jié)點向下擴展直到搜索結(jié)束，然后向上回溯搜索其他分支；廣度優(yōu)先策略在搜索樹的每一級窮盡所有可行的分支，本質(zhì)上屬于窮舉算法.Barbee等[57]采用深度優(yōu)先策略，提出了一種最鄰近序列搜索方法，在離散的時間網(wǎng)格內(nèi)搜索最優(yōu)轉(zhuǎn)移窗口，并選擇速度增量最小的目標進行轉(zhuǎn)移，此方法被成功應(yīng)用于第4屆GTOC的多小行星飛越問題[57]和多碎片清除問題[67]的求解.Braun等[68]用廣度優(yōu)先策略求解了多碎片清除問題，從15個最有價值的碎片中窮舉4到5個目標組成的交會序列.

圖1 樹搜索算法示意圖(左：深度優(yōu)先，右：廣度優(yōu)先)[69]

上述兩種搜索策略存在各自的局限性：深度優(yōu)先策略的搜索空間小，極可能遺漏最優(yōu)解；廣度優(yōu)先策略搜索空間大，但受限于計算資源，當(dāng)交會目標過多時，無法窮盡所有分支.因此大多數(shù)情況下，采用樹搜索算法時會用一種折中的策略：擴展搜索樹的每一級分支前對該級所有可選分支進行評估，僅挑選其中一部分分支向下擴展.集束搜索法和分支定界法即采用這一搜索策略，其被廣泛應(yīng)用于多天體探測和多碎片清除序列的搜索中.Izzo等[51]基于集束搜索，提出了一種懶人樹搜索算法，使用該算法求解第6屆GTOC中的伽利略衛(wèi)星借力序列優(yōu)化問題，得到了比當(dāng)屆冠軍更好的結(jié)果.Izzo等[61]還研究了第7屆GTOC中的主帶小行星交會問題，提出了一種多目標集束搜索算法優(yōu)化交會序列.Di Carlo等[63]將分支定界法與差分進化算法結(jié)合，優(yōu)化了主帶小行星交會序列和交會時刻.Peloni等[65]使用了分支定界法優(yōu)化了太陽帆航天器的多小行星交會序列.Cerf[69]研究了從11個碎片中清除5個的問題，使用分支定界法搜索了交會序列.Casalino和Pastrone[70]、Olympio和Frouvelle[71]從大量碎片中選出4到5個進行清除，同樣使用分支定界法搜索了交會序列.Li等[30]、Barea等[75]分別采用集束搜索和分支定界算法求解了類似的問題.Madakat等[78]分別采用多智能體協(xié)同搜索算法和分支定界法對5個碎片的交會序列進行了優(yōu)化.Bérend和Olive[84]采用雙層優(yōu)化思路，頂層使用分支定界法求解時變旅行商問題，底層優(yōu)化多脈沖交會軌跡.

集束搜索法和分支定界法都是確定性的樹搜索算法，即根據(jù)其剪枝策略保留的每一級分支是確定的，從而最終的搜索結(jié)果也是確定的，因此可能遺漏最優(yōu)解.一種改進的思路是在選擇每一級的分支時加入隨機因素，從而增大搜索空間.具有代表性的是集束蟻群算法，該算法將蟻群算法中的信息素引入集束搜索中，使得較優(yōu)的分支在剪枝時有更大的概率被保留下來，同時也不排除保留其他分支的可能性.Sim?es等[60]使用集束蟻群算法，研究了第5屆GTOC中的小行星探測序列優(yōu)化問題，得到了比確定性集束搜索更優(yōu)的結(jié)果.Li和Baoyin[62]參考集束蟻群算法，提出一種集束進化精英算法，引入精英群體指導(dǎo)信息素的更新，進一步提升了集束搜索的性能.此外，蒙特卡洛樹搜索也是一種典型的引入隨機性的樹搜索算法.Hennes和Izzo[52]使用蒙特卡洛樹搜索研究多天體借力問題，得到了“卡西尼-惠更斯”號的借力序列.Fan等[64]研究了小推力多目標交會問題，用傅里葉級數(shù)近似小推力轉(zhuǎn)移軌跡，并用蒙特卡洛樹搜索優(yōu)化交會序列.Song和Gong[22]使用蒙特卡洛樹搜索優(yōu)化了太陽帆航天器的多小行星交會序列.

2.2 隨機啟發(fā)式算法

隨機啟發(fā)式算法由于其隨機特性，相對于確定性的算法具有更好的全局尋優(yōu)能力.目前應(yīng)用于序列優(yōu)化的隨機啟發(fā)式算法主要有兩類：進化類算法和群智能算法.

進化類算法受生物進化的原理啟發(fā)，將一組可行解抽象為一個種群，通過染色體交叉、變異等機制改變種群個體的適應(yīng)度，然后淘汰適應(yīng)度較差的個體，從而使得種群得到進化.此類算法主要包括遺傳算法、查分進化算法等.Vavrina[42]研究了多行星借力的小推力軌跡優(yōu)化問題，首次將遺傳算法作為外層循環(huán)搜索借力序列.Gad和Abdelkhalik[45]提出一種隱藏基因遺傳算法，可在優(yōu)化借力序列的同時優(yōu)化借力次數(shù)，進而提出種群大小可變的遺傳算法[46]，可同時優(yōu)化借力次數(shù)、借力序列、深空機動次數(shù)以及發(fā)射時刻、到達時刻等連續(xù)變量.Darani和Abdelkhalik[47]對隱藏基因遺傳算法做了改進，引入等位基因概念并提出了新的進化機制.Englander等[48]同樣使用遺傳算法優(yōu)化脈沖軌跡的借力序列，引入空值基因?qū)崿F(xiàn)優(yōu)化借力次數(shù)的效果，之后又將此方法應(yīng)用于小推力軌跡的借力序列優(yōu)化中[49].Napier等[11]應(yīng)用非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)同時優(yōu)化了多個航天器的借力序列.Morimoto等[55]提出開展多近地小行星交會或飛越的采樣返回任務(wù)，并使用遺傳算法優(yōu)化了小行星的探測序列和探測時刻.Conway等[56]將遺傳算法和分支定界結(jié)合，求解了從8顆目標小行星中選擇3顆進行飛越的序列優(yōu)化問題，分別使用了遺傳算法結(jié)合非線性規(guī)劃(nonlinear programming, NLP)以及分支定界結(jié)合遺傳算法兩種優(yōu)化框架對任務(wù)進行了優(yōu)化.Zhang等[58]在混合編碼遺傳算法的基礎(chǔ)上增強了對連續(xù)變量的搜索能力，在多小行星交會序列優(yōu)化問題中該算法的結(jié)果優(yōu)于雙層遺傳算法.在多碎片清除問題中，Murakami和Hokamoto[66]研究了從5個碎片中清除3個的問題，使用遺傳算法優(yōu)化了目標選擇和交會序列.Liu等[73]研究了多目標優(yōu)化問題，使用遺傳算法優(yōu)化碎片交會序列，使得清除的碎片面積最大，同時消耗的速度增量最小.Li等[76]提出了進化精英算法用于優(yōu)化碎片清除序列，并進一步提出了混合進化精英算法，可同時優(yōu)化連續(xù)變量.Izzo等[81]提出了帶逆轉(zhuǎn)算子的遺傳算法，用于求解多碎片清除的旅行商問題，并與最鄰近搜索、樹搜索算法做了對比.Federici等[83]將碎片清除抽象為時變旅行商問題，將時間等連續(xù)變量離散化，如圖2所示，然后用遺傳算法和差分進化算法優(yōu)化交會序列和交會時刻.針對多目標在軌加注問題，Zhang等[87]使用混合編碼遺傳算法優(yōu)化了考慮時間窗口約束的多目標在軌加注序列.都柄曉[88]提出了多島遺傳算法，求解了基于合作交會的在軌加注序列優(yōu)化問題.Zhu等[90]將聚類算法與遺傳算法結(jié)合，優(yōu)化了多目標在軌加注的交會序列.

圖2 離散時間下5目標交會序列示例[83]

群智能算法受生物群體行為的啟發(fā)，利用群體中個體的經(jīng)驗指導(dǎo)群體行為，最終使群體行為逐漸收斂到最優(yōu)解上.此類算法主要包括蟻群算法、粒子群算法等.Stuart等[59]使用蟻群算法優(yōu)化特洛伊小行星探測序列，提出將時間域離散，并行更新時間域上相鄰轉(zhuǎn)移對應(yīng)的信息素.針對多天體借力問題，華鵬[44]使用粒子群算法優(yōu)化了發(fā)射窗口和借力序列.Ceriotti和Vasile[43]將蟻群算法的信息素機制引入到序列搜索中，得到了比遺傳算法更優(yōu)的結(jié)果.Vasile等[50]提出了一種類似于蟻群算法的絨泡菌算法優(yōu)化借力序列，該算法只需調(diào)試少量的參數(shù)即可達到優(yōu)異的性能.在多碎片清除問題中，Di Carlo等[72]研究了兩種碎片清除方案，在碎片集合中選取盡可能多的碎片進行清除，使用絨泡菌算法優(yōu)化交會序列.Zhang等[74]在蟻群算法中引入2-優(yōu)化、嵌入、交換三種局部搜索操作，使用該算法從碎片云中清除多個目標并優(yōu)化了交會序列，使得清除的碎片面積最大.Shen等[35]使用蟻群算法從155個碎片中清除4個，優(yōu)化交會序列使得航天器燃料消耗最小.Zuiani和Vasile[77]采用多智能體協(xié)同搜索算法對5顆碎片的交會序列進行了優(yōu)化.Jing等[79]、Stuart[80]等分別使用多目標粒子群算法和蟻群算法對多航天器清除多顆碎片的交會序列進行了優(yōu)化.在第9屆GTOC中，主辦方提出了多航天器清除123個太陽同步軌道碎片的問題，要求發(fā)射盡可能少的航天器、以最少的燃料清除所有目標[85].該屆競賽的前三名均使用了蟻群算法優(yōu)化碎片清除序列[16,37,86].針對在軌加注問題，Zhang等[91]、Li和Xu[92]使用蟻群算法優(yōu)化多航天器多目標在軌加注的交會序列.歐陽琦等[93]使用多目標粒子群算法求解了相似的問題.

除了上述兩類算法外，其他智能優(yōu)化算法如模擬退火算法[12,82,89]、列生成算法[14]等也被應(yīng)用于多碎片清除和多目標在軌加注等交會序列優(yōu)化問題中.

2.3 小結(jié)

本節(jié)概述了交會序列優(yōu)化問題中使用的樹搜索算法和隨機啟發(fā)式算法.樹搜索算法中較常用的是集束搜索法和分支定界法，兩者均為確定性的算法，搜索空間較小，往往會遺漏最優(yōu)解.在確定性樹搜索算法中引入隨機因素，例如集束蟻群算法、集束進化精英算法等，可有效增大算法的搜索空間，提高其全局尋優(yōu)能力.然而，目前的樹搜索算法只能優(yōu)化交會序列，缺乏對交會時刻等連續(xù)變量的優(yōu)化能力.隨機啟發(fā)式算法中較常用的是遺傳算法和蟻群算法.在求解離散-連續(xù)混合變量優(yōu)化問題時，遺傳算法可通過引入混合編碼、隱藏基因等方式實現(xiàn)對連續(xù)變量的優(yōu)化；而蟻群算法對連續(xù)變量的優(yōu)化能力較弱，一般需要將時間等連續(xù)變量離散后轉(zhuǎn)化為組合優(yōu)化問題進行求解.因此，未來需進一步改進樹搜索算法和蟻群算法，使其在搜索交會序列的同時能對交會時刻等連續(xù)變量進行優(yōu)化.

3 轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化方法

確定交會序列后需對航天器依次交會各目標的軌跡進行優(yōu)化，指標通常為燃料消耗或轉(zhuǎn)移時間.若將每段轉(zhuǎn)移軌跡分別進行優(yōu)化，前人已做了大量相關(guān)的研究.Shirazi等[94]對單段脈沖或小推力轉(zhuǎn)移的軌跡優(yōu)化方法做了詳細、系統(tǒng)的總結(jié)，因此本節(jié)不再贅述，而是考慮對多段轉(zhuǎn)移軌跡整體同時進行優(yōu)化，總結(jié)相關(guān)的研究工作.

航天器的推進系統(tǒng)主要包括化學(xué)推進和電推進，其機動方式可分別抽象為脈沖和連續(xù)小推力，對應(yīng)著不同的軌跡優(yōu)化方法.脈沖機動可視為給航天器施加了瞬間的沖量，使其速度發(fā)生突變.優(yōu)化脈沖轉(zhuǎn)移軌跡時，通常以機動次數(shù)、施加脈沖的時刻、脈沖矢量的各分量作為優(yōu)化變量，求解一個參數(shù)優(yōu)化問題.而連續(xù)小推力持續(xù)施加在航天器上，其推力大小、方向隨時間連續(xù)變化，相應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題是典型的最優(yōu)控制問題.

3.1 多段脈沖轉(zhuǎn)移軌跡整體優(yōu)化

Federici等[95]使用遺傳算法優(yōu)化了多段脈沖轉(zhuǎn)移軌跡，但每段轉(zhuǎn)移軌跡僅簡單考慮為雙脈沖轉(zhuǎn)移，因此只需優(yōu)化與各目標交會的時刻.關(guān)于多脈沖、多目標交會軌跡整體優(yōu)化的研究較少，但許多學(xué)者研究了多次深空機動、多行星引力輔助的轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化方法，差分進化算法[96-98]、粒子群算法[99-101]等算法在該問題的求解中展現(xiàn)出優(yōu)異的性能.多脈沖、多目標交會軌跡的整體優(yōu)化與帶深空機動的多行星引力輔助軌跡優(yōu)化類似，都是參數(shù)優(yōu)化問題，且優(yōu)化變量中都包含脈沖時刻、脈沖矢量等，因此可采用相似的方法進行求解.

3.2 多段小推力轉(zhuǎn)移軌跡整體優(yōu)化

對于多段小推力轉(zhuǎn)移軌跡的整體優(yōu)化問題，黃岸毅等[102]使用間接法進行求解，推導(dǎo)了中途交會和飛越的一階必要條件，優(yōu)化了與12個主帶小行星交會的小推力軌跡.

唐高[103]提出了協(xié)態(tài)變量轉(zhuǎn)換法，首先單獨優(yōu)化每段轉(zhuǎn)移軌跡，然后引入縮放因子對各段轉(zhuǎn)移的初始協(xié)態(tài)進行縮放，在不改變控制律的同時使質(zhì)量協(xié)態(tài)在中途交會點連續(xù)，如圖 3所示，從而使得內(nèi)點約束中的橫截條件自然滿足.該方法可有效猜測每段轉(zhuǎn)移的初始協(xié)態(tài)，提升了多段轉(zhuǎn)移軌跡整體優(yōu)化的求解效率.然而，該方法要求縮放因子為正數(shù)，當(dāng)某段轉(zhuǎn)移的初始質(zhì)量協(xié)態(tài)大于1，會出現(xiàn)縮放因子為負數(shù)的情況，此時該方法不適用.此外，該方法不能為打靶變量中的中途交會時刻提供初值.Chen等[104]改進了協(xié)態(tài)變量轉(zhuǎn)換法，取消了其縮放因子必須為正數(shù)的限制，擴展了適用范圍，并在此基礎(chǔ)上引入同倫法降低燃料最優(yōu)問題的求解難度，但依然不能解決中途交會時刻的初值猜測問題.

圖3 質(zhì)量協(xié)態(tài)λm、開關(guān)函數(shù)ρ、控制變量u在協(xié)態(tài)變量轉(zhuǎn)換前后隨時間的變化曲線(上：轉(zhuǎn)換前，下：轉(zhuǎn)換后[103])

3.3 小結(jié)

針對多段轉(zhuǎn)移軌跡的整體優(yōu)化，目前研究較少.其中脈沖轉(zhuǎn)移軌跡的優(yōu)化大多采用隨機啟發(fā)式算法求解參數(shù)優(yōu)化問題，但無法保證解滿足最優(yōu)一階必要條件.采用間接法優(yōu)化小推力轉(zhuǎn)移軌跡時，需推導(dǎo)一階必要條件，從而將原問題構(gòu)造為多點邊值問題，然后通過打靶法求解，但如何有效猜測打靶變量的初值目前仍未完全解決，尤其是中途交會時刻的猜測還需進一步研究.

4 結(jié)論

本文從轉(zhuǎn)移代價估計、交會序列優(yōu)化、轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化三個方面對多目標交會軌跡優(yōu)化方法的研究現(xiàn)狀進行了綜述.轉(zhuǎn)移代價估計中，數(shù)據(jù)庫法和機器學(xué)習(xí)法的估計精度取決于數(shù)據(jù)庫或訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所用數(shù)據(jù)集的大小，且針對不同問題需生成不同的數(shù)據(jù)庫或數(shù)據(jù)集.解析法的估計精度取決于模型的簡化程度，與原問題模型越接近，精度越高，但計算更耗時.針對不同的復(fù)雜動力學(xué)模型，仍需研究精度高、計算快的轉(zhuǎn)移代價解析估計方法.交會序列優(yōu)化中，集束搜索算法、分支定界法等樹搜索算法和蟻群算法、遺傳算法等隨機啟發(fā)式算法得到了廣泛應(yīng)用.目前的研究大多專注于解決單純的組合優(yōu)化問題，對于涉及交會時刻等連續(xù)變量的問題，還需研究更加高效的優(yōu)化算法.轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化中，多段軌跡整體優(yōu)化的方法目前研究較少.針對多段脈沖軌跡的整體優(yōu)化，需探究滿足最優(yōu)一階必要條件的求解方法；針對多段小推力軌跡的整體優(yōu)化，需進一步發(fā)展打靶變量的初值猜測方法，尤其是中途交會時刻的猜測方法.