李旭龍 張忠 魏莎,3? 丁虎,3 陳立群,3

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)(2. 北京強度環(huán)境研究所 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室，北京 100076)(3. 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

引言

近年來，隨著航空航天、船舶和機械等工程領(lǐng)域的迅速發(fā)展，柱殼結(jié)構(gòu)得到了廣泛應(yīng)用.目前圓柱殼、球殼、加筋圓柱殼等[1, 2]結(jié)構(gòu)的振動特性已有諸多相關(guān)研究工作，但對于工程中常見的對接圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性的研究較少.對接圓柱殼結(jié)構(gòu)是一種常見的簡化對接結(jié)構(gòu).此類結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)是對其結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性分析的基礎(chǔ)，是新型航天飛行器等工程結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化的重要參數(shù)之一.因此，分析對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性具有十分重要的意義.

為獲取該類組合結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，許多學(xué)者展開了研究.吳仕昊等[3]基于Reissner薄殼經(jīng)典理論，采用區(qū)域分解法分析了圓錐殼-柱殼-殼組合結(jié)構(gòu)在不同邊界條件下的自由振動特性.張帥等[4]提出了一種改進傅立葉級數(shù)的半解析方法，分析比較了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)變化對錐柱球組合殼自由振動的影響.但由于理論分析所得結(jié)果多為近似值，日益復(fù)雜的組合幾何構(gòu)型較難滿足精度要求；有限元仿真分析則由于結(jié)構(gòu)阻尼、連接剛度等參數(shù)較難確定，計算結(jié)果的可靠性難以保證.

實驗?zāi)B(tài)分析方法為上述問題提供了解決途徑.王松松等[5]采用實驗?zāi)B(tài)分析方法得到了不同折疊狀態(tài)下Z形機翼的模態(tài)參數(shù)，為機翼結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了參考依據(jù).焦標強等[6]基于PolyMAX模態(tài)參數(shù)識別法成功獲取了軸裝式制動盤的模態(tài)參數(shù)，為該類結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計建立了基礎(chǔ).王民等[7]結(jié)合實驗測試和有限元仿真分析了機床主軸頭的模態(tài)特性，提出增加背板可有效進行結(jié)構(gòu)減震.

本文以對接圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對象，基于ABAQUS有限元軟件及LMS Test. Lab測試軟件建立了有限元模型與實驗?zāi)Ｐ?，并分別進行計算與實驗?zāi)B(tài)分析.實驗?zāi)B(tài)分析過程中，針對自由邊界的實驗實現(xiàn)、分析結(jié)果的正確性進行了討論，并將其與計算模態(tài)分析結(jié)果進行對比，驗證了計算模態(tài)分析結(jié)果的正確性.通過上述分析過程得到的對接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振型特征，可為工程領(lǐng)域中對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計提供參考依據(jù).

1 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析原理

模態(tài)分析利用耦合物理坐標系統(tǒng)與無耦合模態(tài)坐標系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立系統(tǒng)物理參數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過測量結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)以獲取振動系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù).根據(jù)材料結(jié)構(gòu)特性和振動理論，對接圓柱殼結(jié)構(gòu)可采用多自由度系統(tǒng)進行描述，其動力學(xué)微分方程可描述為[8, 9]

(1)

本文主要分析對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的固有特性，方程(1)的特征方程為

K+iωC-ω2M=0

(2)

其中ω為特征頻率.

通過求解方程(2)即可得到固有頻率(特征值)以及振型(對應(yīng)的特征向量).同時，可將方程(1)進行拉普拉斯變換，通過變量變換將方程從時域轉(zhuǎn)換到頻域，方程形式如下

(Ms2+Cs+K)X(s)=F(s)

(3)

式(3)可簡寫如下

Z(s)X(s)=F(s)

(4)

其中Z(s)為系統(tǒng)在s域上的阻抗矩陣，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可表示為

(5)

其中adjZ(s)和detZ(s)分別為Z的伴隨矩陣和行列式.將式(5)按照極點展開

(6)

2 PolyMAX方法的基本原理

比利時LMS公司基于最小二乘復(fù)指數(shù)方法開發(fā)了一種全新的頻域分析方法，改進了最小二乘復(fù)指數(shù)方法在處理模態(tài)密集且頻率較高系統(tǒng)時易產(chǎn)生虛假模態(tài)、極點穩(wěn)態(tài)圖混亂、模態(tài)定階困難等不足.這種模態(tài)參數(shù)辨識方法即為PolyMAX方法，也稱最小二乘復(fù)頻域方法(Polyreference Least-Squares Complex Frequency-domain Method)[10]，它采用SVD方法避免了留數(shù)的分解，使得密集空間分離且在強阻尼、模態(tài)密集情況下仍具有較好的實用性，結(jié)果的客觀性更好.

實測得到的頻響函數(shù)模型可表達如下

(7)

采用最小二乘復(fù)頻域法求解模態(tài)振型時，其極點-留數(shù)模型的擬合函數(shù)為

(8)

其中，φr為模態(tài)振型;LR和UR分別為上下殘余項;*為復(fù)共軛矩陣.

3 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的計算模態(tài)分析

3.1 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元建模

本節(jié)基于ABAQUS有限元軟件對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)模型進行了有限元建模、網(wǎng)格劃分以及動力學(xué)特性分析.已知對接圓柱殼結(jié)構(gòu)整體采用6061鋁合金進行加工制作，密度為27500 kg/m3，彈性模量為71 Gpa，泊松比為0.33，所采用的邊界條件為自由邊界.圖1為對接圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖，基本參數(shù)如表1所示.

表1 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

圖1 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖

有限元分析過程中，網(wǎng)格及單元設(shè)置的合理性對于分析結(jié)果的準確性影響最大且最為直接.為準確表征對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的連接形式，于螺栓孔中心處建立節(jié)點并用MPC約束將其與孔周的節(jié)點連接起來，隨后采用RBE2單元進行螺栓的模擬.在對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分時，法蘭盤部分采用八結(jié)點線性六面體單元進行掃略生成，筒壁部分采用四節(jié)點四面體單元自適應(yīng)生成，共計18060個單元，建立的模型網(wǎng)格如圖2所示.

圖2 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型

3.2 計算模態(tài)分析結(jié)果

通過對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)進行計算模態(tài)分析，可得到結(jié)構(gòu)的各階固有頻率和模態(tài)振型，如圖3所示.

圖3 前8階有限元模態(tài)分析結(jié)果

從圖中可以發(fā)現(xiàn)對接圓柱殼結(jié)構(gòu)周向半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)的增加而呈增加趨勢，表現(xiàn)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動特性.同時，由于結(jié)構(gòu)為螺栓對接形式，部分階模態(tài)振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的非對稱振動，該振動特性可為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的動力學(xué)設(shè)計提供參考依據(jù).

4 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的實驗?zāi)B(tài)分析

4.1 實驗方案

為驗證有限元模型及模態(tài)分析結(jié)果的正確性，本節(jié)對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)進行實驗?zāi)B(tài)分析.實驗過程采用單點激勵多點響應(yīng)形式，利用沖擊力錘施加脈沖激勵，通過力傳感器信號和拾振點處的三軸加速度傳感器信號反饋給數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，結(jié)合輸入和輸出信號進行曲線擬合，從而識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù).

在實驗?zāi)B(tài)測試過程中，所用到的儀器設(shè)備包括:LMS Sadas Mobile(SCM04)多通道數(shù)據(jù)采集器、B&K三軸加速度傳感器(Type:4529-B-001)、B&K 8206-002 型沖擊錘和LMS Test. Lab數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)，實驗?zāi)B(tài)測試系統(tǒng)如圖4所示.

圖4 實驗?zāi)B(tài)測試系統(tǒng)示意圖

為準確描述試驗件的幾何特征，本節(jié)在LMS Test. Lab軟件中的Geometry模塊建立了一個由多個測點組成的結(jié)構(gòu)模型.對于整體結(jié)構(gòu)將其沿周向進行8等分，其中圓柱殼部分按照實際尺寸沿軸向進行了10等分(間隔10cm)并將等分點設(shè)為測點，法蘭盤部分則根據(jù)實際尺寸在特征點進行測點的設(shè)置，共劃分112個測點.拾振點的選取應(yīng)避開關(guān)注模態(tài)的節(jié)點位置以得到完整的各階模態(tài)結(jié)果，實際共布置拾振點8個，采取非對稱的布置方式.圖5為對接圓柱殼結(jié)構(gòu)拾振點位置示意圖.

圖5 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)拾振點位置

4.2 邊界條件的實驗實現(xiàn)

約束邊界往往需特制夾具進行實現(xiàn)且夾具的優(yōu)劣會對結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性產(chǎn)生較大的影響.基于此，試驗過程中采用自由邊界進行模態(tài)測試.目前模擬自由邊界的方式主要有：彈性繩懸掛、海綿墊支撐、橡膠墊支撐等，本文根據(jù)試驗件幾何結(jié)構(gòu)的特殊性，采用了彈性繩懸掛的方式.同時，為避免邊界條件對測試結(jié)果的影響，進行了多種懸掛方式的探討，如圖6所示.

圖6 試驗件的懸掛方式

通過上述多角度的比較與分析，可得出以下兩點結(jié)論：(1)非貫穿懸掛方式較大地影響了激勵-響應(yīng)過程，從而使得部分頻率響應(yīng)函數(shù)在模態(tài)較為密集處出現(xiàn)混亂；(2)針對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)，若需獲取較高質(zhì)量頻響函數(shù)，貫穿懸掛方式更利于數(shù)據(jù)采集與分析.

表2為不同懸掛方式下固有頻率的對比結(jié)果，其絕對差值最小為0.13 Hz、最大為2.12 Hz，相對誤差最小為0.04%、最大為0.67%.結(jié)果表明不同懸掛方式對于模態(tài)測試結(jié)果的影響較小，兩組結(jié)果中固有頻率吻合度較高.為進一步探討懸掛方式的具體影響，本文分析比較了不同懸掛方式下利用PolyMAX方法計算得到的極點穩(wěn)態(tài)圖，以模態(tài)較為密集的頻段600～700 Hz、850～950 Hz為例，如圖7所示.通過對比密集頻段處的極點穩(wěn)態(tài)圖可知，貫穿懸掛方式能夠得到一系列穩(wěn)定的物理極點從而獲取真實的模態(tài)參數(shù)信息，而非貫穿懸掛方式在SUM曲線(頻響函數(shù)的集總函數(shù)曲線)的峰值頻率處易出現(xiàn)“v”點，即不穩(wěn)定點.

圖7 不同懸掛方式下極點穩(wěn)態(tài)圖

表2 不同懸掛方式下系統(tǒng)的固有頻率

4.3 實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果及對比

基于上述研究，本文采用貫穿懸掛方式對對接圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界進行模擬，并沿用上述實驗過程進行模態(tài)測試實驗.實驗中，依次對112個測點進行徑向激勵并對對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)進行5次有效值平均，計算得到前8階固有頻率及阻尼比.表3為對接圓柱殼結(jié)構(gòu)前8階模態(tài)參數(shù)匯總，其中，m、n分別表示模態(tài)的軸向波數(shù)和周向半波數(shù).

表3 對接圓柱殼結(jié)構(gòu)前8階模態(tài)參數(shù)

模態(tài)置信因子(MAC)是振型向量之間的點積，用以評價兩個模態(tài)振型的相關(guān)性，可表示為

(9)

其中φi、φj為模態(tài)振型向量.MAC矩陣提供了一種模態(tài)相似度的評判依據(jù)，當(dāng)模態(tài)置信度矩陣非對角線元素越小，各階計算模態(tài)振型的獨立性則越好，圖8為此次實驗?zāi)B(tài)測試的MAC值.從圖中結(jié)果可以看出，MAC矩陣對角線上元素均接近于1，非對角線上元素均接近于0，各階模態(tài)振型相互獨立.MAC矩陣表明，實驗?zāi)B(tài)測試結(jié)果準確可靠，基于PolyMAX模態(tài)參數(shù)識別方法能夠有效識別復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).

圖8 實驗?zāi)B(tài)分析的MAC矩陣

根據(jù)模態(tài)振型一致原則，將實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計算模態(tài)分析結(jié)果進行對比，如表4所示.通過表4可以發(fā)現(xiàn)，實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計算模態(tài)分析結(jié)果具有較小的相對誤差，其中最大相對誤差為5.24%，滿足精度要求.綜上，實驗?zāi)B(tài)測試結(jié)果驗證了有限元建模及模態(tài)分析的正確性.

表4 實驗?zāi)B(tài)結(jié)果與有限元結(jié)果對比

5 結(jié)論

本文采用ABAQUS有限元軟件建立了對接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型，并進行了計算模態(tài)分析.采用LMS數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)進行了多種懸掛方式下的對接圓柱殼結(jié)構(gòu)實驗?zāi)B(tài)測試，并基于最小二乘復(fù)頻域法進行了實驗?zāi)B(tài)分析.通過上述模態(tài)分析過程及結(jié)果，可得以下結(jié)論：

(1)實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計算模態(tài)分析結(jié)果具有較好的一致性，前者驗證了有限元模型及模態(tài)分析結(jié)果的正確性，所建立模型可廣泛運用于對接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)振動分析.

(2)貫穿懸掛方式對于對接圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界條件的實驗實現(xiàn)更優(yōu).通過該種懸掛方式，可獲取較高質(zhì)量的頻響函數(shù)，從而獲取真實的模態(tài)振型及其他模態(tài)振動參數(shù).

(3)通過對接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的分類討論，發(fā)現(xiàn)其周向的半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著頻率的增加而呈增加趨勢，表現(xiàn)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動特性.但由于結(jié)構(gòu)為對接形式，模態(tài)振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的非對稱振動，該特性可為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的動力學(xué)設(shè)計提供參考依據(jù).

(4)模態(tài)振型MAC矩陣表明，實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果準確可靠，基于PolyMAX方法可準確識別模態(tài)參數(shù).