黃麗芹 王在華

(陸軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，南京 211101)

引言

時滯系統(tǒng)廣泛存在于工程技術(shù)領(lǐng)域，穩(wěn)定性是動力學(xué)分析與控制設(shè)計中的基本問題. 例如，倒立擺作為人體直立姿態(tài)平衡的動力學(xué)模型是本質(zhì)不穩(wěn)定的，必須施加恰當(dāng)?shù)目刂剖蛊浞€(wěn)定在給定的平衡態(tài)，當(dāng)反饋控制環(huán)節(jié)存在時滯時，就需要研究反饋時滯對倒立擺控制系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性. 時滯系統(tǒng)平衡點的(局部)漸近穩(wěn)定性可由其線性化系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定性所確定. 當(dāng)線性化系統(tǒng)的特征根皆具有負(fù)實部時，該系統(tǒng)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.由于時滯系統(tǒng)是無窮維系統(tǒng)，有無窮多個特征根，因而時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是一個不平凡的問題[1, 2].

時滯常常導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差，甚至失穩(wěn).例如，老年人隨著年齡增加，可出現(xiàn)大腦神經(jīng)、肌肉神經(jīng)的反應(yīng)滯后，從而容易導(dǎo)致摔倒. 因此，時滯常被視為不利因素.但人們也可以主動利用時滯，使得時滯有利于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.例如，對質(zhì)量-彈簧-阻尼振動系統(tǒng)施加時滯位移正反饋控制，在一定時滯范圍內(nèi)增加時滯量，可改善系統(tǒng)穩(wěn)定性，時滯越大，穩(wěn)定性越好[3]. 因此，在時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，有必要確定在什么條件下，時滯增加使得穩(wěn)定性變差，在什么條件下，時滯增加可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文僅考察滯后型線性時滯系統(tǒng)，其微分方程可表示為

(1)

其中，x∈n,A,B∈n×n，τ>0為時滯. 令x=eλtc為方程(1)的非零解，則常數(shù)λ必滿足關(guān)于c的齊次線性方程組eλt(λI-A-e-λτB)c=0，它有非零解，從而系數(shù)行列式必為零，即

|λI-A-e-λτB|=0

(2)

方程(2)稱為時滯微分方程(1)的特征方程，其左端函數(shù)稱為特征函數(shù)，記為f(λ)，它的零點稱為特征根.時滯微分方程(1)的零解漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)其特征方程(2)的所有根都具有負(fù)實部.記R(λ)為復(fù)數(shù)λ的實部，σ為最大實部特征根的實部，即

(3)

那么，方程(1)的零解漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)σ<0. 當(dāng)σ<0時，在相同初始條件下，σ越小，時滯系統(tǒng)的非零解收斂到零解的速度越快．因此，對取值連續(xù)依賴τ的函數(shù)σ=σ(τ)，需要確定σ=σ(τ)在什么情況下遞減，在什么情況下遞增，在哪些點取極小值或最小值.

為了突出時滯的作用，以下將特征函數(shù)f(λ)改記為f(λ,τ). 如果存在τ0>0和實數(shù)或復(fù)數(shù)λ0以及正整數(shù)m(≥2)使得

(4)

則稱λ0是一個m重特征根. 最近的研究工作表明，可利用參數(shù)延拓法得到σ=σ(τ)隨時滯變化的曲線，當(dāng)σ=σ(τ)在給定區(qū)間內(nèi)某點τ0取最小值時，最大實部特征根λ0=σ(τ0)是實數(shù)，且為重根. 在τ0附近，m重特征根有m個不同的特征根分支，皆滿足λ(τ0)=λ0. 由隱函數(shù)存在定理可知，此時重特征根λ不可能展開為τ-τ0的Taylor級數(shù)，而需要利用Puiseux級數(shù)，m重特征根正好有m個Puiseux級數(shù)分別表示m個特征根分支.

Puiseux級數(shù)是Taylor級數(shù)的推廣. 一般地，將一個函數(shù)g(x)展開為x=x0處的Puiseux級數(shù)，就是要尋找ξ和系數(shù)c0,c1,c2,…，使得如下等式成立

(5)

當(dāng)ξ=1時，Puiseux級數(shù)退化為Taylor級數(shù)，各系數(shù)ck與導(dǎo)數(shù)有關(guān)系式ck=g(k)(x0)/k!. Puiseux級數(shù)中的ξ通常是分?jǐn)?shù)，因而又被稱為分?jǐn)?shù)冪級數(shù)，沒有類似Taylor級數(shù)情形的簡單公式來計算各系數(shù)，待定系數(shù)法是常用計算方法. 利用數(shù)學(xué)通用軟件Maple的集成命令，可完成Puiseux級數(shù)的常規(guī)計算.

采用Puiseux級數(shù)求時滯系統(tǒng)m重特征根的各個分支時，首先將特征函數(shù)f(λ,τ)近似表示為(λ0,τ0)處的某個階次的Taylor展開式，得到一個多項式方程，再將Puiseux級數(shù)展開式代入此多項式方程，比較同次冪系數(shù)，即可依次求得各系數(shù)ck. 利用Puiseux級數(shù)，便可確定在一定條件下，σ=σ(τ0)在給定的時滯范圍內(nèi)取最小值[4]. 實際上，Puiseux級數(shù)在多項式方程和時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中已有許多應(yīng)用[5]. 例如，Lloyd討論了機械臂運動學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，運用Puiseux級數(shù)展開，證實了非冗余串行機器人的平滑空間路徑總是可以在具有有限重根運動奇點附近平滑地重新參數(shù)化[6]；馮二寶在其博士論文中詳細討論了具有有限精度或者數(shù)據(jù)受到小擾動情況下多項式方程組的交點、拐點、奇異點的數(shù)值計算方法，其中包括Puiseux級數(shù)展開的數(shù)值算法[7]；Chen等人提出用Puiseux級數(shù)研究時滯系統(tǒng)特征根在臨界虛根附近的漸近行為[8]；Li等人利用Puiseux級數(shù)提出一種新的掃頻方法研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9]；蔡迢陽在其博士論文中研究線性時不變含比例時滯系統(tǒng)中多重純虛特征根的漸近行為對穩(wěn)定性的影響時，利用不同根軌跡的Puiseux級數(shù)展開[10]來進行穩(wěn)定性分析[11]. 有關(guān)Puiseux級數(shù)的進一步介紹與應(yīng)用可參考文獻[12].

由于Puiseux級數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程中沒有介紹，因而不被廣大科技工作者所熟悉，在實際應(yīng)用中可能造成誤解或誤用. 本文首先指出，在時滯系統(tǒng)重特征根分析中，如果將式(5)中的ξ也當(dāng)作待定常數(shù)，則有可能得到相互矛盾的結(jié)論而無法求得重特征根的Puiseux級數(shù)中的系數(shù). 進而解釋了矛盾現(xiàn)象的原因. 最后討論如何正確運用待定系數(shù)法求得Puiseux級數(shù).

1 求多項式方程在重根附近的Puiseux級數(shù)的待定系數(shù)法

Puiseux級數(shù)的作用是確定由多項式方程確定的隱函數(shù)在重根附近的近似顯式函數(shù)關(guān)系. 以二元多項式為例，假設(shè)多項式方程為

A0(x)yn+A1(x)yn-1+A2(x)yn-2+

…+An-1(x)y1+An(x)y0=0

(6)

其中各系數(shù)Ai(x)都是x的多項式，最低次方為ui，即Ai(x)=αixui+h.o.t，其中h.o.t表示關(guān)于x的高次項. 假設(shè)由此確定的函數(shù)在x=x0:=0處有一個重根y=y0:=0，那么在x=x0附近，Puiseux級數(shù)的每一個分支具有形式

y=c1xξ+c2x2ξ+c3x3ξ+c4x4ξ+h.o.t

(7)

在重根的一個小鄰域附近，可假設(shè)x的絕對值是小量，次數(shù)越高的項對上式左端數(shù)值的影響越小. 待定系數(shù)法就是要選取恰當(dāng)?shù)摩沃?，通過由低向高依次消去各低次項而求得各系數(shù)ci的值. 為此，將式(7)代入式(6)并加以整理，只保留各個最低次方項的式(6)化為

αnxun+nξ+…+αn-1xun-1+(n-1)ξ+…+

α1xu1+ξ+…+α0xu0+…=0

(8)

其中的省略號皆表示h.o.t. 由此可知，消去最低次項就是要求最低次方min{un+nξ,un-1+(n-1)ξ,…,u1+ξ,u0}在式(8)中出現(xiàn)兩次. 例如，對多項式方程

y3+(2+3x)y2+(4x2)y+5x3=0

再由消去次最低次方項等還可確定其他系數(shù)c2,c3,….這就是由多項式方程利用待定系數(shù)法求Puiseux級數(shù)的基本思路和步驟.

2 時滯系統(tǒng)在重根附近Puiseux級數(shù)系數(shù)計算中的矛盾現(xiàn)象及產(chǎn)生原因

對時滯微分方程，它的特征方程f(λ,τ)=0是含有指數(shù)函數(shù)的超越方程. 假設(shè)在τ=τ0時，特征方程有一個二重根λ=λ0，為了求得重特征根的顯式表達式，需要先將特征函數(shù)在重根附近用Taylor展開式作近似替代. 為此，令L=λ-λ0,T=τ-τ0, 那么，在τ=τ0附近，f(λ,τ)可用一個p(≥2)階Taylor展開式來代替. 在一些問題中，p=2即可. 為避免重復(fù)表述，下面取p=3，則特征方程f(λ,τ)=0可化為如下近似形式

aL3+bL2T+cLT2+dT3+eL2+fLT+

gT2+hT+h.o.t=0

(9)

這里，在二重根情形下，常數(shù)項f(λ0,τ0)=0以及關(guān)于λ的一階導(dǎo)數(shù)fλ(λ0,τ0)=0，而關(guān)于λ的二階導(dǎo)數(shù)fλλ(λ0,τ0)≠0，從而等式(9)左邊不含常數(shù)項和L的一次方項，但一定有L的二次方項，其系數(shù)e≠0.但是，沿著上一節(jié)介紹的針對多項式待定系數(shù)法求解思路，可能出現(xiàn)矛盾的結(jié)論而無法確定二重根附近的Puiseux級數(shù)的系數(shù).

例1考慮某時滯系統(tǒng)的特征函數(shù)f(λ,τ)=e-3λτ-3e-2λτ+3e-λτ+λ4+2λ2，當(dāng)τ0=2π時，λ0=i是一個二重根，滿足條件

f(i,2π)=0,fλ(i,2π)=0

其中i2=-1. 另外，直接計算可知此特征函數(shù)f(λ,τ)還滿足

fτ(i,2π)=0,fττ(i,2π)=0,fλτ(i,2π)=0

(10)

于是二階Taylor展開式只有一個平方項，無法確定特征根與時滯的關(guān)系. 利用三階Taylor展開式，重根附近的特征方程可近似表示為如下形式(按L的升冪順序排列)

(iT3)L0+(6πT2)L-(4+12π2iT)L2+

4(-2π3+i)L3+h.o.t=0

(11)

上式各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是3,2,0,0．L=λ-i,T=τ-2π.在(λ,τ)=(i,2π)附近，假設(shè)特征根的Puiseux級數(shù)為

L=c1Tξ+c2T2ξ+c3T3ξ+c4T4ξ+h.o.t

(12)

將式(12)代入式(11)后化為只有T的表達式，0+3ξ,0+2ξ,2+ξ,3+0是各項中所有可能的最低次數(shù). 由于3ξ≥2ξ，所以所有可能的最低次數(shù)是2ξ,2+ξ,3. 由上一節(jié)討論可知，此時必有2ξ=3，即ξ=3/2，且展開式(11)化為

(13)

這表明，采用針對多項式方程提出的求Puiseux級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)待定系數(shù)法在這里失效了，我們無法用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的時滯系統(tǒng)的重特征根的Puiseux級數(shù)展開式(12)的高次項.

上述求解過程失效的根本原因是忽略了該特征函數(shù)由于滿足式(10)而具有的固有特點，即

h=fτ(i,2π)=0，g=fττ(i,2π)/2!=0，

f=fλτ(i,2π)=0

也就是說，Taylor展開式(11)中不顯含T,T2,LT的系項. 由下列引理1可知，具有這幾個特點的時滯系統(tǒng)都會出現(xiàn)這樣的矛盾現(xiàn)象.

引理1設(shè)τ=τ0時，時滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有二重根λ=λ0. 如果

f=fλτ(λ0,τ0)=0

并且

則沿用上述做法求Puiseux級數(shù)會導(dǎo)致錯誤結(jié)論.

事實上，f(λ,τ)的三階Taylor展開式簡化為f(λ,τ)=aL3+(e+bT)L2+cT2L+dT3L0+h.o.t，其中由二重根的假設(shè)有e≠0. 假設(shè)其Puiseux級數(shù)如式(12)，則如前面分析的那樣，必有ξ=3/2.故

于是，為了消除最低次項，就得到如下矛盾結(jié)論：

類似地，對于二重根處更高次偏導(dǎo)數(shù)項等于0，給出另一個充分條件，即為引理2. 為說明方便，下面取p=5，則特征方程f(λ,τ)=0可化為如下近似形式：

pL5+qL4T+rL3T2+sL2T3+tLT4+uT5+

AL4+BL3T+DL2T2+ELT3+FT4+

aL3+bL2T+cLT2+dT3+eL2+fLT+

gT2+hT+h.o.t=0

(14)

引理2設(shè)τ=τ0時，時滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有二重根λ=λ0. 如果

且

則沿用上述做法求Puiseux級數(shù)會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論.

事實上，此時特征函數(shù)的五階Taylor展開式簡化為

f(λ,τ)=(a+BT+rT2)L3+

(e+bT+DT2+sT3)L2+(ET3+tT4)L+

uT5L0+h.o.t

(15)

其中各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,0,3,5. 利用待定系數(shù)法，將式(12)代入式(15)后化為只有T的表達式，0+3ξ,0+2ξ,3+ξ,5+0是各項中可能的最低次數(shù). 由于3ξ≥2ξ，所以可能的最低次數(shù)是2ξ,3+ξ,5. 由上一節(jié)類似討論可知，此時必有2ξ=5，即ξ=5/2，且展開式(15)化為

于是，為了消除最低次項，就得到如下矛盾結(jié)論：

實際上，上述矛盾現(xiàn)象在時滯系統(tǒng)重特征根的Puiseux級數(shù)計算中普遍存在. 只要f(λ,τ)關(guān)于τ的某階導(dǎo)數(shù)在重根處等于零，則在用待定系數(shù)法直接由顯式Taylor展開式求Puiseux級數(shù)的近似表達式時，就容易忽視T的某些整數(shù)次方項系數(shù)等于零的事實，從而出現(xiàn)與上述情況類似的矛盾現(xiàn)象.

例2設(shè)特征函數(shù)f(λ,τ)在τ0處有三重根λ0，即fλ(λ0,τ0)=fλλ(λ0,τ0)=0,fλλλ(λ0,τ0)≠0，且部分偏導(dǎo)數(shù)的值滿足下面的條件：

fτ(λ0,τ0)=0,fλτ(λ0,τ0)=0

以及

fττ(λ0,τ0)≠0,fλλτ(λ0,τ0)≠0

也就是e=0,f=0,h=0,a≠0,g≠0,b≠0，則對于上述類型的的特征函數(shù)，按照例1中確定Puiseux級數(shù)最低次方項的做法會導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

事實上，此時在重根處的三階Taylor展開式可化為

f(λ,τ)=aL3+(bT)L2+(cT2)L+

(gT2+dT3)L0+h.o.t

(16)

按照L降冪排列，各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,1,2,2. 利用待定系數(shù)法，假設(shè)三重特征根λ0在τ0附近的Puiseux級數(shù)仍然為式(12)，將式(12)代入式(16)，最低次冪可能的次數(shù)為0+3ξ,1+2ξ,2+ξ,2. 經(jīng)過比較可知，為了消去最低次方項中的兩項，只可能是3ξ=2，即ξ=2/3，此時

令其中的系數(shù)等于零即可得到矛盾結(jié)論：

c1=0

類似地，對于三重根處更高次偏導(dǎo)數(shù)項等于0，給出另一個充分條件，即為引理3.

引理3設(shè)τ=τ0時，時滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有三重根λ=λ0. 如果

fτ(λ0,τ0)=fττ(λ0,τ0)=fτττ(λ0,τ0)=0,

fλτ(λ0,τ0)=fλττ(λ0,τ0)=fλλτ(λ0,τ0)=0

且

fττττ(λ0,τ0)≠0,fλτττ(λ0,τ0)≠0

也就是e=0,f=0,c=0,b=0,h=0,g=0,d=0,a≠0,F≠0,E≠0，則對于上述類型的的特征函數(shù)，按照例2中確定Puiseux級數(shù)最低次方項的做法會導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

這是因為，此時在重根處的五階Taylor展開式可化為

f(λ,τ)=(a+BT+rT2)L3+

(DT2+sT3)L2+(ET3+tT4)L+

(FT4+uT5)L0+h.o.t

(17)

按照L降冪排列，各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,2,3,4. 利用待定系數(shù)法，假設(shè)三重特征根λ0在τ0附近的Puiseux級數(shù)仍然為式(12)，將式(12)代入式(17)，最低次冪只可能是次數(shù)為0+3ξ,2+2ξ,3+ξ,4. 經(jīng)過比較分析可知，為了消去最低次方項中的兩項，和前面的分析類似，為了消去最低次方項中的兩項，只可能是3ξ=4，即ξ=4/3，此時

令其中的系數(shù)等于零即可得到矛盾結(jié)論：

c1=0

定理1設(shè)有不可約正整數(shù)n>1和m>1，使得在τ0處，時滯方程有m重特征根λ0，滿足條件

fλ(λ0,τ0)=fλλ(λ0,τ0)=fλλλ(λ0,τ0)=…

=fλm-1(λ0,τ0)=0,fλm(λ0,τ0)≠0

fτ(λ0,τ0)=fττ(λ0,τ0)=fτττ(λ0,τ0)=…

=fτn-1(λ0,τ0)=0,fτn(λ0,τ0)≠0

其中fτn-1(λ0,τ0),fτn(λ0,τ0)分別表示對τ的n-1階偏導(dǎo)數(shù)與n階偏導(dǎo)數(shù). 如果存在正整數(shù)u,p,v,q滿足1≤u≤m，1≤p≤n，v

fλuτ(λ0,τ0)=fλuτ2(λ0,τ0)=fλuτ3(λ0,τ0)=…

=fλuτp-1(λ0,τ0)=0

fλτp(λ0,τ0)=fλ2τp(λ0,τ0)=fλ3τp(λ0,τ0)=…

=fλu-1τp(λ0,τ0)=0,

且滿足不等式(u-v)n+(p+q)m

fλu-vτp+q(λ0,τ0)=0,fλuτp(λ0,τ0)≠0

其中pm+un=mn+1，則沿用前面的方法確定Puiseux級數(shù)最低次方項的做法會導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

事實上，f(λ,τ)的m階Taylor展開式按L的降序排列可記為

f(λ,τ)=A0(T)Lm+A1(T)Lm-1+

A2(T)Lm-2+…+Am-1(T)L+Am(T)L0+

h.o.t

f(λ,τ)=(α+…)Lm+…+

h.o.t

其中括號內(nèi)的省略號表示關(guān)于T的高次方項，且省略號中關(guān)于T的次數(shù)至少是一次. 上式中為了消去最低次方項中的兩項，只可能是mξ=n，故ξ=n/m. 又由上述定理條件知f(λ,τ)可化簡為

由上式可知，混合偏導(dǎo)數(shù)項最低次為含有系數(shù)fλuτp(λ0,τ0)的項，此時

3 待定系數(shù)法的正確應(yīng)用

為了避免上一節(jié)討論的矛盾現(xiàn)象，在求重根附近的Puiseux級數(shù)時，需要保留除了重根條件之外的其余所有偏導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的項.例如，設(shè)在τ=τ0處有二重根λ=λ0，如果利用特征函數(shù)f(λ,τ)在(λ0,τ0)處的三階Taylor展開式來近似替代f(λ,τ). 將二重根時的三階Taylor展開式(9)按L升冪排列表示為

(dT3+gT2+hT)L0+(fT+cT2)L+

(e+bT)L2+aL3+h.o.t=0

(18)

假設(shè)Puiseux級數(shù)為

L=c1Tξ+c2T2ξ+c3T3ξ+c4T4ξ+c5T5ξ+

c6T6ξ+h.o.t

(19)

那么，式(18)可變?yōu)?/p>

為了消去最低次方項，選擇ξ使得min (1,1+ξ,2ξ,3ξ)=min (1,2ξ)出現(xiàn)兩次，從而有2ξ=1，即ξ=1/2. 依次消去最低次方項T,T3/2,T2,T5/2可得

(20)

由于e≠0，所以由第一個等式可求得

進而依次求得其他各系數(shù).

再由式(20)的第五個等式得到2ec3c4+cc3=0. 由于c3≠0，所以

從而Puiseux級數(shù)的范式為

h.o.t

(21)

這樣，上述矛盾現(xiàn)象得以避免.但要注意的是，式(21)第二項是T2項，不是T2(3/2)=T3項.

對于二重根的另一個充分條件引理2，類似于例1的討論得到Puiseux級數(shù)的范式為

當(dāng)λ0是三重根時，類似于前面的做法，將三重根時的三階Taylor展開式(9)按L升冪排列表示為

(dT3+gT2+hT)L0+(fT+cT2)L+

bTL2+aL3+h.o.t=0

(22)

將式(19)代入式(22)可變?yōu)?/p>

(23)

由方程組(23)得到

即得Puiseux級數(shù)的范式為

或

對于三重根的另一個充分條件引理3，可以類似例2的討論得到Puiseux級數(shù)的范式為

或

一般地，對由時滯系統(tǒng)的特征方程定義的隱函數(shù)，在求m重根附近特征根各個分支的Puiseux級數(shù)表達式時，如果不限定最低次方項不等于零，可直接將Puiseux展開式各指數(shù)冪中的ξ取為ξ=1/m. 對于這個問題更詳細的介紹與討論可參考文獻[12].

4 結(jié)論

特征根依賴參數(shù)的顯式表達式對時滯動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有重要作用，在重根處附近，可采用Puiseux級數(shù)展開求得特征根的近似表達式. 和由多項式直接求重根附近的Puiseux級數(shù)不同，時滯系統(tǒng)的特征函數(shù)是含指數(shù)函數(shù)的超越函數(shù)，需要先將特征函數(shù)展開為重根附近的Taylor級數(shù)形式，再由Taylor展開式利用待定系數(shù)法求Puiseux級數(shù). 本文的價值是發(fā)現(xiàn)了利用待定系數(shù)法求時滯系統(tǒng)Puiseux級數(shù)展開式時出現(xiàn)的矛盾現(xiàn)象，并給出了產(chǎn)生矛盾的原因以及充分條件，最后歸納出滿足一定條件的Puiseux級數(shù)展開式的范式，為進一步應(yīng)用提供理論支持.