王桂華 李樹祥

同學們在平時的訓練中時常會遇到一些感覺無從下手的題目，這些難題如何解決呢？這就需要善用科學思維，通過知識遷移，借用相關知識，從而達到借力使力，順利求解的目的。現(xiàn)以幾道簡諧運動題目為例分析如下。

一、借助列表法

在實驗問題中，處理數(shù)據(jù)的一種重要方法就是列表法，即先根據(jù)實驗數(shù)據(jù)列表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出相應的結(jié)論。若簡諧運動題目中也給出了一部分數(shù)據(jù)，但無法利用這些數(shù)據(jù)根據(jù)公式列方程求解時，則可以借助于列表法。

例1如圖1所示，某同學看到一只鳥落在樹枝上P處，樹枝在10s內(nèi)上下振動了6次。鳥飛走后，他把50 g的砝碼掛在P處，發(fā)現(xiàn)樹枝在10s內(nèi)上下振動了12次。他把50 g的礎碼換成500 g的砝碼后，發(fā)現(xiàn)樹枝在15s內(nèi)上下振動了6次。根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計鳥的質(zhì)量最接近（）。

A.50 g B.200 g

C.500 g D.550 g

分析：本題中給出了一系列數(shù)據(jù)，絕大多數(shù)同學會試圖利用這些數(shù)據(jù)通過計算作答，但涉及的簡諧運動周期公式T=2屬于中學物理的學習范圍，導致很多同學無法正確求解。如果我們借用列表法來處理此題，那么就可以順利求解了。

解：根據(jù)題述數(shù)據(jù)列表如表1所示，猜想小鳥的質(zhì)量與樹枝的振動情況有關，然后在相同時間內(nèi)去比較振動次數(shù)與質(zhì)量的關系，或者在相同的振動次數(shù)下去比較時間和質(zhì)量的關系。因為表中第1、2兩行的時間相同，所以可以將第3行的時間也轉(zhuǎn)換為“10”，即將15s振動6次轉(zhuǎn)換為10s振動4次。觀察在相同時間內(nèi)振動次數(shù)與質(zhì)量的關系可以發(fā)現(xiàn)，振動次數(shù)越多，相應的質(zhì)量越小，而振動次數(shù)“6”介于4與12之間，故其對應的質(zhì)量“X”應介于50與500之間。

答案：B

二、借助模型

“物理模型”是為了便于研究物理問題，而采取舍棄個別的非本質(zhì)因素突出主要的本質(zhì)因素，通過抽象思維或形象思維，運用理想化、簡單化和類比等方法，建立的描述某一物體本質(zhì)或某一物理過程的理想模型。在某些物理問題的求解過程中，若不能直接套用公式求解，則可以考慮先將具體問題抽象成理想模型，再運用模型遵循的物理規(guī)律求解相關問題。

例2如圖2所示，AEC是一段半徑為2m的光滑圓弧，且和水平面AB相切于A點，圓弧AEC的弧長為8 cm。設一可視為質(zhì)點的物體從C點分別沿光滑斜面CDA和弧面CEA滑至A點所用的時間為tu、t2，從圓弧CEA中點E沿光滑斜面EA和圓弧面EA滑至A點所用的時間為t3、t。請比較t、tz、ts、t，的大小關系。

分析：物體沿圓弧運動時，做的并不是勻速圓周運動;物體沿斜面運動時，斜面傾角未知，則加速度無法求解。如果將圓弧AEC所在的整個圓畫出來，其示意圖如圖3所示，那么就構(gòu)成了等時圓模型。根據(jù)等時圓模型規(guī)律可知，物體從C點沿斜面CDA滑至A點和從E點沿斜面EA滑至A點所用的時間相等。當物體沿弧面運動時，因為圓的半徑遠大于圓弧長度（此圓弧對應的圓心角約為2.3°<5°），所以物體沿圓弧面的運動和單擺類似，都是由重力的分力提供回復力，也就可以把這種運動看成一個類單擺模型，擺長相當于物體做圓周運動的半徑，物體運動的周期與振幅無關

解：設斜面CDA的傾角為0，當物體沿斜面CDA運動時，根據(jù)運動學公式得2Rsin θ=gt，sin θ（R為圓弧半徑），解得s=0.894 s。根據(jù)等時圓模型規(guī)律得t=t，。當物體沿圓弧面CEA和EA運動時，根據(jù)單擺周期公式得。因此ti、tz、ts、t的大小關系為t=ts>t2=to

三、借助圖像

根據(jù)題意把抽象復雜的物理過程有針對性地表示成物理圖像，將物理量間的代數(shù)關系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P系，運用圖像直觀、形象、簡明的特點，分析求解物理問題的方法稱為圖像法。當遇到一些難于利用物理公式列方程求解的物理問題時，就可以考慮運用圖像法求解。在運用圖像法解題的過程中，需要明確圖像所表達的物理意義，抓住圖像的斜率、截距、交點、面積等關鍵信息。

例3如圖4所示，甲、乙兩物體同時經(jīng)過空中同一水平面上的O，、02兩點時的速度相同，甲物體做豎直上拋運動，乙物體是沿豎直方向振動的彈簧振子，O2是其平衡位置，兩物體從O，、O，兩點向上運動到最高點的高度相同，則兩物體誰先到達最高點？

分析：在高中物理教材中沒有彈簧振子的周期公式，且題給已知量也很少，如何求解時間呢？因為甲、乙兩物體上升的高度相同，初速度相同，所以可以借助u—t圖像處理

解：甲物體做豎直上拋運動，加速度不變，乙物體從平衡位置開始向上做加速度增加的減速運動，兩物體運動的u—t圖像如圖5所示，觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，乙物體先到達最高點。

四、借助隔離與整體法

選擇研究對象是解決物理問題的首要環(huán)節(jié)。研究對象選擇的合理可以使問題得以簡化，反之，會使問題復雜化，甚至無法得以解決。隔離法是指將研究對象從其周圍的環(huán)境中隔離出來單獨進行研究，這個被隔離的研究對象可以是一個物體，也可以是物體的一個部分，廣義的隔離法還包括將一個物理過程從其全過程中隔離出來;整體法是指將幾個物體看成一個整體，或?qū)⒖瓷先ゾ哂忻黠@不同性質(zhì)和特點的幾個物理過程看成一個整體過程來處理。隔離法和整體法看上去是相互對立的，實則在本質(zhì)上是統(tǒng)一的。隔離與整體法廣泛地應用在受力分析、動量定理、動量守恒定律、動能定理、機械能守恒定律等問題中。

例4如圖6所示，一個質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的平板小車上，它們之間的最大靜摩擦力是fmax，在勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧作用下，二者沿光滑水平面做簡諧運動，為使小車能隨木塊一起振動，二者不發(fā)生相對滑動，則簡諧運動的振幅不能大于（）。

A.? B.? C.? D.

分析：高中物理教材中的彈簧振子是彈簧和一個小球相連，本題中是彈簧連接質(zhì)量為m的木塊，木塊又放置在小車上，因此需要借助隔離與整體法進行分析。

解：以小車為研究對象，在水平方向上只受摩擦力作用，故其加速度aM。小車與木塊不發(fā)生相對滑動，由小車和木塊組成的整體的加速度a=aM。以由小車和木塊組成的整體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律得，解得。

答案： A

五、借助題目所給課本外的知識

當遇到一些新材料、新情景和新設問的物理問題時，必須尋找到設問與題目所給材料中的關聯(lián)點，利用材料中所給知識結(jié)合所學關聯(lián)知識進行分析與求解。

例5簡諧運動具有如下特點：

①做簡諧運動的物體受到回復力的作用，回復力Fa的大小與物體偏離平衡位置的位移x成正比，回復力的方向與物體偏離平衡位置的位移方向相反，即F=—kx，其中k為振動系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定。

②簡諧運動是一種周期性運動，其周期與振動物體的質(zhì)量的平方根成正比，與振動系統(tǒng)的振動系數(shù)的平方根成反比，而與振幅無關，即T=2m

（1）如圖7所示，擺長為L，擺球質(zhì)量為m的單擺在A、B兩點之間做小角度的自由擺動，當?shù)刂亓铀俣葹間。

a.當擺球運動到P點時，擺角為0，寫出此時擺球受到的回復力F的大小。

b.請結(jié)合簡諧運動的特點，證明單擺在做小角度擺動時周期。

（提示：用弧度制表示角度，當0角很小時，sin θ=0，0角對應的弧長與它所對的弦長也近似相等）

（2）類比法、等效法等都是研究和學習物理過程中常用的重要方法。長度為L的輕質(zhì)絕緣細線下端系著一個帶電荷量為十q，質(zhì)量為m的小球。將該裝置放在豎直向下的勻強電場E中，如圖8所示;將細線上端懸點處固定另一個帶正電的小球，如圖9所示。帶電小球在8、9兩圖中均做小角度的簡諧運。動。請分析求出帶電小球在8、9兩圖中振動的周期。

分析：題目給出了簡諧運動的周期公式，這是高中物理教材中沒有的，要想順利求解本題就需要借助這個公式分析研究。

解：（1）a.因為單擺擺球所受重力指向平衡位置方向的分力提供回復力，所以F=mgsin 9。

b.根據(jù)F=mgsin θ，當0很小時，sin θ=0，0等于0角對應的弧長與半徑的比值，0角對應的弧長近似等于它所對的弦長（擺球偏離平衡位置的位移x），得F回mg，即振動系數(shù)k=T，將k代入簡諧運動周期公式T=2m，得單擺在做小角度擺動時的周期T=2m

（2）圖8中，擺球受到重力G、靜電力F電和擺線拉力F作用，與重力場中的單擺類比，等效重力G'=G+F電，等效重力加速度g'=g+，將g'代入單擺周期公式T=

圖9中，擺球受到重力G、庫侖力F庫和擺線拉力F作用，與重力場中的單擺類比，兩帶電小球之間的庫侖力始終沿擺線方向，不產(chǎn)生回復力的效果，則單擺周期與重力場中的相同，即T=2m

六、借助簡諧運動特點分析非簡諧運動問題

簡諧運動是指物體在與位移大小成正比，與位移方向相反的回復力作用下的振動?；貜土跟位移x的關系可以表示為F=—kx。簡諧運動中各個物理量都是在不斷變化的，在遠離平衡位置的過程中，因為F=-kx =ma，x增大，F(xiàn)增大，a增大，而a與0反向，所以速率v減小，動量和動能也減小;在靠近平衡位置的過程中，因為F=—kx=ma，x減小，F(xiàn)減小，a減小，但a與v同向，所以v增大，動量和動能也增大。

簡諧運動具有周期性和對稱性。周期性是指振動的質(zhì)點經(jīng)過周期的整數(shù)倍時間時，其位移、速度、加速度等物理量將恢復到初始值;對稱性是指振動的質(zhì)點在關于平衡位置對稱的兩位置具有相等的速率，等大反向的位移、加速度和回復力，振動的質(zhì)點往返經(jīng)過同一位置時的速率相等，通過振動過程中任意兩點A、B的時間與逆向通過B、A兩點的時間相等，通過關于平衡位置對稱的兩段位移所用的時間相等。

利用簡諧運動的上述特點有時可以解決些整體過程并不是簡諧運動的問題。

例6如圖10所示，—輕質(zhì)彈簧左端固定，右端系一小物塊，物塊與水平面之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力都為f，彈簧無形變時，物塊位于O點。每次把物塊拉到0點右側(cè)不同位置由靜止釋放，釋放時彈簧彈力F大于f，物塊沿水平面滑動一段路程直到停止，下列說法中正確的是（）。

A.釋放物塊時彈簧的彈性勢能等于物塊在整個滑動過程中克服摩擦力做的功

B.從不同位置釋放物塊，物塊速度達到最大的位置保持不變

C.物塊能夠返回到0點右側(cè)的臨界條件為F>3f

D.物塊能夠返回到0點右側(cè)的臨界條件為F>4f

分析：彈簧振子在不受摩擦力作用時做簡諧運動，這是同學們熟悉的。然而，當振子做阻尼振動時，彈簧振子的運動就不再呈現(xiàn)完美的對稱性，在整個過程中機械能不斷減少，振幅會越來越小，最終停止，這樣全過程中振子不再做簡諧振動。遇到這樣的問題多數(shù)同學們會因為無法在腦海中形成正確的運動圖景而找不到切入點。實際上，當彈簧振子沿單方向運動時，即使受到彈簧彈力之外的恒力作用，仍然可將它的運動視為簡諧運動，依舊可以利用簡諧運動的對稱性求解相關問題

解：因為有摩擦阻力的存在，物塊最終停下來的位置不一定在平衡位置O，所以最終彈簧可能依然存在彈性勢能，這樣釋放物塊時彈簧的彈性勢能就可能只有部分用來克服摩擦力做功，選項A錯誤。彈簧彈力與摩擦力平衡的位置為物塊速度最大的位置，根據(jù)f=—F=kx可知，摩擦力f不變，物塊速度達到最大的位置也保持不變，選項B正確。設物塊在最左端受到的彈簧彈力為F'，物塊向左運動的過程可視為一個簡諧運動在一周期內(nèi)的運動，物塊向右運動的過程同樣也可視為另一個簡諧運動在一周期內(nèi)的運動。根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，在最大位移處物塊受到的回復力大小相等，物塊第一次從最右端運動到最左端的過程中有F—f=F'+f，再恰好向右運動到0點時有F'-f=f， 解得F=4f。因此物塊能返回到0點右側(cè)的臨界條件為F>4f，選項C錯誤，D正確。

答案： BD

總結(jié)：借力使力時必須要牢牢掌握問題本身涉及的知識點，例如，求解涉及簡諧運動的問題時，要熟練掌握描述簡諧運動的振幅、位移、周期、頻率等物理量的含義和單擺的周期公式，以及運動過程中各量的變化情況，要正確理解簡諧運動的對稱性、周期性和適用條件等。當然，求解物理問題可以借用的方法還有很多，上述方法只是拋磚引玉，同學們需要在平時的訓練中總結(jié)出適合自己的更多方法。

（責任編輯張巧）