鄧欣雨，張?zhí)煊?，陸建隆，?鳴，王 巍

(1. 南京師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023；2. 南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210023)

威爾伯福斯擺(以下簡稱韋氏擺)的奇特振蕩現(xiàn)象是1894年威爾伯福斯觀察到的，并以其名字命名[1]. 韋氏擺由上端固定的螺旋彈簧和連接在彈簧下端的物體(通常稱為擺錘)組成，豎直拉伸韋氏擺并從靜止釋放后，出現(xiàn)豎直方向振蕩和水平方向周期性來回旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，豎直振蕩的振幅逐漸減小，水平最大旋轉(zhuǎn)角度逐漸增大，直到豎直振蕩的振幅達(dá)到最小時(shí)，水平最大旋轉(zhuǎn)角度達(dá)到最大. 之后豎直振蕩的振幅逐漸增大，水平最大旋轉(zhuǎn)角度逐漸減小，直到豎直振蕩的振幅達(dá)到最大，同時(shí)水平最大旋轉(zhuǎn)角度達(dá)到最小，韋氏擺以此規(guī)律進(jìn)行周期性運(yùn)動.

與韋氏擺不同，豎直懸掛的彈簧振子是一個(gè)不考慮摩擦阻力、不考慮彈簧的質(zhì)量、不考慮擺錘的大小和形狀的理想化物理模型，擺錘只沿豎直彈簧軸線做簡諧振動. 當(dāng)擺錘具有一定的形狀時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的振動狀態(tài)發(fā)生了改變，擺錘的轉(zhuǎn)動慣量是不可忽略的因素，此時(shí)彈簧振子的振動就是韋氏擺的振動狀態(tài).

1990年Richard E. Berg首次提出了韋氏擺的運(yùn)動方程，從理論上證明韋氏擺的運(yùn)動狀態(tài)是豎直運(yùn)動和水平運(yùn)動的耦合[2]. 所謂耦合即兩種運(yùn)動狀態(tài)相互關(guān)聯(lián)、相互影響，后人對韋氏擺的研究多基于這篇論文中的理論. 2008年許裕栗通過對彈簧伸長和擺錘扭轉(zhuǎn)關(guān)系的分析，間接探究了豎直和水平方向受力間的傳遞關(guān)系，提出“傳遞力”概念，以量化兩垂直方向運(yùn)動耦合的強(qiáng)弱[3]. 2019年P(guān)ierre Devaux對韋氏擺的運(yùn)動狀態(tài)在純平移和純旋轉(zhuǎn)之間周期性切換的特殊情況進(jìn)行了分析，并通過傅里葉分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)此現(xiàn)象中平移和旋轉(zhuǎn)以相同的頻率振蕩[4]. 但是，在韋氏擺的實(shí)際運(yùn)動過程中，無論是運(yùn)動狀態(tài)還是振蕩頻率都是復(fù)雜多變的.

本文首先從力學(xué)角度解釋韋氏擺的運(yùn)動耦合現(xiàn)象，并使用分析力學(xué)對韋氏擺的運(yùn)動進(jìn)行理論分析得到韋氏擺的運(yùn)動方程. 在理論分析的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置，并采用雙機(jī)位拍攝的實(shí)驗(yàn)方法，發(fā)現(xiàn)逐漸增大韋氏擺擺錘的轉(zhuǎn)動慣量，其豎直振蕩頻率和水平扭轉(zhuǎn)頻率的數(shù)值差距由小變大，且韋氏擺依次會出現(xiàn)強(qiáng)耦合狀態(tài)、弱耦合狀態(tài)和近似不耦合狀態(tài)三種運(yùn)動狀態(tài)，并探究了轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺運(yùn)動的影響；采用控制變量法探究彈簧初始伸長量對韋氏擺運(yùn)動的影響.

1 理論分析

1.1 韋氏擺系統(tǒng)受力、力矩分析

如圖1(a)所示，韋氏擺由彈簧和擺錘相連接而成. 通過對韋氏擺受力分析，可定性了解韋氏擺豎直運(yùn)動和水平運(yùn)動間耦合的原因. 圖1(b)分析了彈簧和擺錘相連接處擺錘的受力情況(圖中的接觸點(diǎn)，距離轉(zhuǎn)軸為r). 彈簧絲中存在沿簧絲軸線的力F‖和沿簧絲橫截面的切應(yīng)力F⊥[5]，將擺錘豎直拉離平衡位置并靜止釋放的瞬間，由于彈簧的拉伸作用，與擺錘固定處彈簧絲的切線與水平面成一定的夾角，此時(shí)F‖的豎直分力與F⊥的豎直分力之和大于擺錘重力，3個(gè)力的合力為豎直方向的回復(fù)力，驅(qū)使擺錘回到豎直平衡位置，從而發(fā)生豎直方向的振蕩；F‖的水平分力與F⊥的水平分力的作用線與轉(zhuǎn)軸不在同一平面內(nèi)，且F‖的水平分力大于F⊥的水平分力，因此存在兩個(gè)大小不等、方向相反的力矩的作用，兩個(gè)力矩的合力矩為水平方向的回復(fù)力矩，方向沿逆螺旋方向，回復(fù)力矩驅(qū)使擺錘沿逆螺旋方向轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動到F‖的水平分力等于F⊥的水平分力時(shí)，回復(fù)力矩為零，到達(dá)水平平衡位置，但由于慣性，擺錘繼續(xù)轉(zhuǎn)動，此時(shí)F‖的水平分力小于F⊥的水平分力，產(chǎn)生順螺旋的回復(fù)力矩，從而形成水平方向的振蕩.由于豎直方向的振蕩和水平方向的振蕩同時(shí)進(jìn)行，二者同時(shí)影響彈簧絲中的F‖和F⊥的大小和方向，同時(shí)影響F‖和F⊥在水平和豎直方向的分力，即豎直方向的回復(fù)力會受到水平振蕩的影響，水平方向的回復(fù)力矩也會受到豎直振蕩的影響，從而形成豎直方向運(yùn)動與水平方向運(yùn)動的相互耦合.

平衡狀態(tài) 韋氏擺離開平衡位置并由靜止釋放的瞬間圖1 韋氏擺受力分析圖

同樣也可以僅給韋氏擺一個(gè)初始旋轉(zhuǎn)角度或以豎直拉伸和水平旋轉(zhuǎn)相結(jié)合的方式啟動韋氏擺，運(yùn)動出現(xiàn)耦合的原因均為F‖的豎直分力、F⊥的豎直分力和擺錘重力的合力使擺錘產(chǎn)生豎直方向的振蕩，F(xiàn)‖的水平分力與F⊥的水平分力的合力使擺錘發(fā)生水平方向的振蕩，又兩個(gè)方向的運(yùn)動相互影響對方的回復(fù)力或回復(fù)力矩，從而形成豎直方向運(yùn)動與水平方向運(yùn)動的相互耦合.

1.2 韋氏擺系統(tǒng)角振幅θ(t)和豎直振幅z(t)隨時(shí)間變化的理論分析

首先構(gòu)建韋氏擺的理論模型，假設(shè)韋氏擺在無阻尼的理想情況下運(yùn)動，螺旋彈簧為輕質(zhì)彈簧，忽略彈簧自重對擺錘運(yùn)動的影響.假設(shè)韋氏擺的擺錘始終在一條豎直直線上運(yùn)動，即忽略擺錘的圓錐運(yùn)動；假設(shè)豎直方向上的運(yùn)動與水平方向上運(yùn)動的耦合方式為線性耦合，該種耦合方式已被廣泛地接受并采用[2,4,6,7].

將韋氏擺簡化為二自由度系統(tǒng)，如圖2所示，以韋氏擺處于平衡位置時(shí)擺錘質(zhì)心所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以彈簧軸線所在直線為豎直軸，豎直向下為正方向建立坐標(biāo)系，z為運(yùn)動過程中擺錘質(zhì)心所在的豎直位置，z(t)用于描述擺錘豎直方向上的運(yùn)動；在擺錘底部用黑點(diǎn)做一個(gè)標(biāo)記，以擺錘質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平衡狀態(tài)下擺錘的質(zhì)心與黑點(diǎn)連線為極軸，θ為運(yùn)動過程中質(zhì)心-黑點(diǎn)連線與極軸所成的夾角，θ(t)用于描述擺錘水平方向上的運(yùn)動.

圖2 韋氏擺系統(tǒng)兩個(gè)自由度：z、θ

使用分析力學(xué)對韋氏擺的運(yùn)動進(jìn)行理論分析.韋氏擺系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[1]

(1)

由拉格朗日函數(shù)得到系統(tǒng)的拉格朗日方程為

(2)

(3)

設(shè)系統(tǒng)的初始條件為韋氏擺靜止釋放，即

解上述方程得到豎直位置與時(shí)間的關(guān)系式為

z(t)=Acosω1t+Bcosω2t

(4)

其中，

(5)

(6)

其中，

(7)

(8)

水平旋轉(zhuǎn)角度θ與時(shí)間t的關(guān)系式為

θ(t)=Ccosω1t+Dcosω2t

(9)

其中

(10)

由式(7)、(8)、(10)可知，當(dāng)ωz、ωθ數(shù)值相近時(shí)，可以滿足ω1與ω2相差不大，且ω1-ω2與ω1+ω2的比值很小的條件，由于ω1與ω2的方程較為復(fù)雜，而ωz與ωθ更易計(jì)算，因此，可以通過比較ωz、ωθ的數(shù)值，更方便地判斷韋氏擺的豎直振蕩與水平振蕩是否會出現(xiàn)振幅隨時(shí)間發(fā)生強(qiáng)弱周期性變化.

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置及參數(shù)測量

如圖3所示，選用中間為100 g的砝碼、兩側(cè)為1 g的砝碼和質(zhì)量為0.4 g的木板作為韋氏擺的擺錘，改變兩側(cè)小砝碼的位置以改變振子的轉(zhuǎn)動慣量.選用各參數(shù)如表1所示的螺旋彈簧進(jìn)行實(shí)驗(yàn),計(jì)算得彈簧的勁度系數(shù)為k=2.518 N/m，扭轉(zhuǎn)系數(shù)為δ=1.521×10-4.使用熱熔膠槍使螺旋彈簧的下端與擺錘固定，螺旋彈簧的上端通過鐵架臺固定.為了觀察振子的運(yùn)動情況及記錄參數(shù)，設(shè)置雙機(jī)位拍攝，仰視機(jī)位于韋氏擺的正下方，用于記錄韋氏擺水平方向的運(yùn)動，正視機(jī)位于韋氏擺平衡位置所處的水平面中，用于記錄韋氏擺豎直方向的運(yùn)動.將拍攝到的視頻導(dǎo)入tracker軟件中進(jìn)行打點(diǎn)分析，得出韋氏擺的振動曲線.考慮到螺旋彈簧并非輕質(zhì)彈簧，在計(jì)算ωz、ωθ時(shí)，質(zhì)量m取擺錘質(zhì)量加三分之一的彈簧質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量取擺錘的轉(zhuǎn)動慣量加三分之一的彈簧轉(zhuǎn)動慣量.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)拍圖

2.2 探究擺錘轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺耦合狀態(tài)影響

2.2.1 強(qiáng)耦合狀態(tài)

實(shí)驗(yàn)曲線

2.2.2 弱耦合狀態(tài)

當(dāng)ωz、ωθ的數(shù)值差距增大時(shí)，韋氏擺的豎直振蕩的振幅或水平振蕩的振幅隨時(shí)間發(fā)生強(qiáng)弱周期性變化程度減弱.調(diào)整圖3中小砝碼的位置，當(dāng)擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為6.532×10-6kg·m2時(shí)，ωz=4.908 rad/s、ωθ=4.825 rad/s，ωz、ωθ的數(shù)值差距增大，韋氏擺的耦合狀態(tài)會相比強(qiáng)耦合狀態(tài)減弱.同樣以僅給予初始伸長量的方式啟動韋氏擺(即給予豎直方向一定的能量)，并獲取豎直方向和水平方向的運(yùn)動曲線，如圖5(a)所示，當(dāng)韋氏擺水平振動振幅達(dá)到最大時(shí)，豎直振動振幅到達(dá)最小值但不為零；當(dāng)韋氏擺水平振動振幅達(dá)到最小時(shí)，豎直振動振幅到達(dá)最大值，即當(dāng)水平方向的能量達(dá)到最大時(shí)，豎直方向的能量不為零，即豎直方向的能量向水平方向的能量轉(zhuǎn)移不完全，因此，在該實(shí)驗(yàn)的條件下，兩個(gè)方向的運(yùn)動的相互影響程度較弱，故稱為弱耦合狀態(tài).

同樣將測量所得的實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入到z(t)和θ(t)的方程中，并繪制出該條件下的理論曲線，其中耦合系數(shù)ε=0.002 52.圖5(b)為韋氏擺豎直振動振幅z(t)與水平振動振幅θ(t)的理論曲線.將繪制出的理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行對比，在t=10 s和t=30 s左右，韋氏擺的豎直振蕩振幅均達(dá)到最小值，大約為1.8 cm，水平振蕩振幅均達(dá)到最大；在t=20 s左右，韋氏擺的豎直振蕩振幅均到達(dá)最大值，水平振蕩振幅均為0.實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線中在一個(gè)“拍”內(nèi)，豎直運(yùn)動和水平運(yùn)動均為振蕩16次.理論與實(shí)驗(yàn)符合良好.

實(shí)驗(yàn)曲線

2.2.3 近似不耦合狀態(tài)

當(dāng)擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為15.215×10-6kg·m2時(shí)，ωz=4.908 rad/s、ωθ=3.162 rad/s，ωz、ωθ的數(shù)值差距明顯，韋氏擺的豎直振蕩的振幅與水平振蕩的振幅不再出現(xiàn)隨時(shí)間發(fā)生強(qiáng)弱周期性變化的情況.觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)，韋氏擺僅發(fā)生上下振動與水平轉(zhuǎn)動中的一種運(yùn)動，即給予韋氏擺一個(gè)豎直拉伸并靜止釋放后，韋氏擺僅做豎直振動，幾乎不發(fā)生繞軸旋轉(zhuǎn)；當(dāng)給予韋氏擺一個(gè)水平旋轉(zhuǎn)角度并靜止釋放后，韋氏擺僅做繞軸旋轉(zhuǎn)，幾乎不發(fā)生豎直振動，即水平方向的能量幾乎不向豎直方向轉(zhuǎn)換，豎直方向的能量幾乎不向水平方向轉(zhuǎn)移，因此，在該實(shí)驗(yàn)的條件下，兩個(gè)方向的運(yùn)動幾乎不相互影響，故稱為近似不耦合狀態(tài).將測量得到的實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入到z(t)和θ(t)的方程中，并用Matlab繪制出理論曲線，由于實(shí)驗(yàn)中并沒有觀察到振幅周期性變化的現(xiàn)象，無法獲取“拍”周期對耦合常數(shù)進(jìn)行測量，代入耦合系數(shù)ε=0.002 52進(jìn)行擬合，如圖6所示，可以觀察以給予豎直伸長量的方式啟動時(shí)，水平振蕩的最大振幅很小，并且考慮到實(shí)際實(shí)驗(yàn)中存在阻尼作用，因此幾乎觀察不到該種運(yùn)動的出現(xiàn).

圖6 近似未耦合狀態(tài)理論曲線

2.2.4 轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺運(yùn)動的影響分析

下面探究擺錘的轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺的水平振蕩的影響.以僅給予豎直初始伸長量的方式啟動韋氏擺，隨著擺錘轉(zhuǎn)動慣量的增加，韋氏擺的水平振蕩曲線如圖7所示.圖7(a)為擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為7.664×10-6kg·m2的旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間變化曲線，可以看出曲線的線條較為密集，若多條類似的曲線重疊在一起難以分辨，因此，圖7(b)繪制出旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間運(yùn)動曲線的包絡(luò)線.

7.664×10-6 kg·m2旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間變化曲線

圖8 扭轉(zhuǎn)振蕩頻率與轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系圖

2.3 實(shí)驗(yàn)探究強(qiáng)耦合狀態(tài)下初始條件韋氏擺運(yùn)動狀態(tài)的影響

在強(qiáng)耦合狀態(tài)下研究彈簧初始伸長量對韋氏擺運(yùn)動狀態(tài)的影響.以僅給予韋氏擺初始伸長量的方式啟動韋氏擺，改變初始伸長量，探究初始伸長量對韋氏擺運(yùn)動的影響.獲取運(yùn)動曲線圖，如圖9所示.

初始伸長量為3.20 cm的豎直運(yùn)動曲線

圖9(a)為初始伸長量為3.20 cm的實(shí)驗(yàn)條件下的韋氏擺豎直運(yùn)動曲線，多條類似的曲線重疊會難以分辨，因此同樣繪制出豎直運(yùn)動曲線的包絡(luò)線便于觀察，如圖9(b)所示.由圖9(b)可見，當(dāng)給予韋氏擺不同的初始伸長量時(shí)，韋氏擺的振動頻率幾乎沒有發(fā)生變化，而初始伸長量越大，韋氏擺的振動振幅越大.

由對強(qiáng)耦合情況的分析可知，韋氏擺豎直振動振幅z(t)與水平振動振幅θ(t)隨時(shí)間t變化曲線的形狀及規(guī)律相同，因此僅對豎直振蕩曲線進(jìn)行分析，以方程(4)即z(t)中的系數(shù)A、B作為研究對象進(jìn)行探究.將視頻導(dǎo)入到tracker中逐幀打點(diǎn)獲得韋氏擺的豎直運(yùn)動曲線.對豎直運(yùn)動曲線進(jìn)行傅里葉變換，得到z(t)中的ω1和ω2，將得到的兩個(gè)數(shù)據(jù)作為初始值對運(yùn)動曲線進(jìn)行擬合得到對應(yīng)的系數(shù)A和B，以獲取更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù).

在此對所使用的擬合曲線進(jìn)行說明.在實(shí)驗(yàn)過程中，由于空氣阻力、鐵架臺固定端的輕微振動、韋氏擺發(fā)生橢圓擺運(yùn)動等因素影響，韋氏擺的最大振幅會出現(xiàn)衰減現(xiàn)象，但是如果詳細(xì)考慮各因素的影響，僅空氣阻力就存在兩個(gè)阻尼系數(shù)，理論分析將會十分復(fù)雜，因此對這些因素的影響進(jìn)行簡化，只考慮振幅的指數(shù)衰減，而忽略阻尼對振蕩頻率的影響，即使用z(t)=[Acos(ω1t)+Bcos(ω2t)]e-βt對運(yùn)動曲線進(jìn)擬合[4].

為驗(yàn)證假設(shè)的合理性，繪制出韋氏擺運(yùn)動過程豎直振蕩頻率隨時(shí)間的變化圖像，由于視頻拍攝的幀率為50幀/s，獲取的振蕩周期存在一幀左右的誤差，即0.02 s左右的誤差，由圖10可知，在誤差允許的范圍內(nèi)，振蕩頻率沒有隨時(shí)間發(fā)生明顯的變化，因此認(rèn)為假設(shè)是合理的.

圖10 頻率散點(diǎn)圖

對方程(5)、(6)進(jìn)行分析，由ω1、ω2、ωz、ωθ的方程可知，當(dāng)韋氏擺系統(tǒng)中的彈簧和擺錘確定后，ω1、ω2、ωz、ωθ便相應(yīng)確定，它們的數(shù)值均與初始伸長量z0無關(guān)，因此由方程(5)、(6)可知初始伸長量與疊加系數(shù)A、B均呈一次函數(shù)關(guān)系，將實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入理論公式(5)、(6)中，得到圖11(a)、(b)中的實(shí)線，即理論曲線，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論曲線擬合較好.

系數(shù)A

2.4 誤差分析

在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究初始伸長量對韋氏擺運(yùn)動行為的影響時(shí)，在給予韋氏擺初始伸長量的同時(shí)，可能會同時(shí)給予韋氏擺初始旋轉(zhuǎn)角度，但是這個(gè)初始旋轉(zhuǎn)角度在5度以內(nèi)對實(shí)驗(yàn)探究結(jié)果影響較小；并且在實(shí)驗(yàn)中韋氏擺在水平方向上不僅是繞軸旋轉(zhuǎn)，還會發(fā)生圓錐擺運(yùn)動，本文進(jìn)行了多次實(shí)驗(yàn)，選取橢圓擺運(yùn)動幅度較小的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析處理，但是后續(xù)也可以進(jìn)行韋氏擺系統(tǒng)的三維分析，對橢圓擺運(yùn)動加入研究.當(dāng)擺錘較重時(shí)，鐵架臺的固定端也會發(fā)生小幅度的振動，對實(shí)驗(yàn)的影響較小.

3 結(jié)論

本文利用分析力學(xué)對韋氏擺的運(yùn)動進(jìn)行了理論分析.研究發(fā)現(xiàn)，耦合系數(shù)決定了韋氏擺豎直和水平兩個(gè)方向運(yùn)動的耦合程度，而耦合系數(shù)與擺錘的豎直方向運(yùn)動振動頻率和水平方向的旋轉(zhuǎn)振蕩頻率有關(guān)，即耦合系數(shù)與擺錘的轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量和彈簧的外徑、線徑、材料有關(guān).實(shí)驗(yàn)研究了擺錘轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺耦合狀態(tài)的影響.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了增大擺錘轉(zhuǎn)動慣量，韋氏擺會出現(xiàn)三種不同的耦合狀態(tài)，并從能量角度分析了三種耦合狀態(tài)的本質(zhì)區(qū)別.通過將韋氏擺的實(shí)驗(yàn)運(yùn)動曲線與理論運(yùn)動曲線對比，驗(yàn)證了理論的正確性.驗(yàn)證了韋氏擺的豎直振動頻率及水平旋轉(zhuǎn)頻率與擺錘的轉(zhuǎn)動慣量近似成反比，與初始啟動條件無關(guān).初始條件決定了韋氏擺的振蕩振幅，但是不改變韋氏擺的運(yùn)動狀態(tài)，初始伸長量越大，韋氏擺振蕩的最大振幅越大.

致謝：感謝南京師范大學(xué)物理競賽指導(dǎo)團(tuán)隊(duì)張開楊、莊偉、俞之舟、袁啟榮老師在課題研究中的指導(dǎo)，感謝郭嘉鈺、張玲、徐蕾、楊友為等同學(xué)對該課題研究的幫助.