董 淵 王任模 鐘曉征 韓芳明 劉麗霞

位于教育體系頂端的博士生教育，是高層次創(chuàng)新人才的主要培養(yǎng)途徑，越來越多地被當(dāng)作一種國家戰(zhàn)略資源[1]。同時“一流博士生教育體現(xiàn)一流大學(xué)人才培養(yǎng)的高度”[2]，受到廣泛關(guān)注和高度重視。

一、美國博士生教育規(guī)模增長規(guī)律的前期研究

21世紀以來全球主要經(jīng)濟體博士生教育發(fā)展迅猛[3]，而相關(guān)的發(fā)展規(guī)律研究是受到長期關(guān)注的重要話題[4]。自1861年開始授予學(xué)位[5]，美國博士生教育160多年已經(jīng)發(fā)展為全球產(chǎn)出規(guī)模最大和競爭力最強的高層次人才培養(yǎng)體系，成為其國家創(chuàng)新能力的重要組成部分，因而也成為廣為關(guān)注的研究對象，特別是作為我國教育發(fā)展研究的比較對象[6-8]。針對美國博士生教育規(guī)模，有用于在學(xué)博士生規(guī)模預(yù)測、基于完成率與流失率的時間序列模型[9]，有美國國家教育統(tǒng)計中心（National Center for Education Statistics，NCES）用于學(xué)位授予規(guī)模預(yù)測、基于多元線性回歸的模型[10]。針對美國近百年來博士生教育規(guī)模發(fā)展規(guī)律，根據(jù)授予規(guī)模增長量變化幅度識別出1961—1973年、1988—1996年和2003—2009年等三個增長較快的時期，并發(fā)現(xiàn)每個較快增長期之后都有一段時間的振蕩調(diào)整[11]。根據(jù)授予規(guī)模增長率變化幅度識別出美國在20世紀20年代、50年代和90年代有三個增長較快的階段，且這種變化與其經(jīng)濟增長保持著同步共振[12]。博士生教育動力學(xué)模型揭示主要規(guī)模數(shù)據(jù)可以用鏈式反應(yīng)類似的數(shù)學(xué)方程描述、符合指數(shù)變化規(guī)律，定性識別出近100年來美國學(xué)術(shù)類博士生教育發(fā)展包含5個“U”型“衰減—恢復(fù)”周期，并預(yù)測即將進入持續(xù)20—30年的新周期[13]。

美國學(xué)術(shù)類博士生教育規(guī)模發(fā)展是否存在一致的波動規(guī)律？如何定量描述？針對這些問題，本文深入研究美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)與其動力學(xué)模型指數(shù)規(guī)律測算數(shù)據(jù)之間偏離程度的變化規(guī)律，探索其波動特性，并探討基于指數(shù)規(guī)律和波動特性的定量預(yù)測方法。

二、博士生教育鏈式反應(yīng)的偏離度分析

1.博士生教育規(guī)模的指數(shù)變化規(guī)律

某一國家或地區(qū)博士生在學(xué)規(guī)?？僧?dāng)作年度為單位的離散時間序列，可采用以時間為自變量的連續(xù)函數(shù)來近似描述。基于博士生教育動力學(xué)模型的研究表明，在總體發(fā)展趨勢保持超過十年大致不變的情況下，該函數(shù)滿足鏈式反應(yīng)類似的數(shù)學(xué)方程、符合指數(shù)變化規(guī)律[13]，可表示為：

其中：0E為初始在學(xué)規(guī)模，μ為博士生教育成長指數(shù)，表達式為：

其中年度招生比α、年度生師比ρ、年度退出率ε、年度學(xué)位獲得率β分別定義為：

S(t)為t年指導(dǎo)教師規(guī)模，A(t+1)、Q(t+1)、C(t+1)分別為t+1年招生、退出和學(xué)位授予規(guī)模。通過等式（1—6）可得指導(dǎo)教師、招生、退出和學(xué)位授予規(guī)模的表達式，由此可知這些博士生教育相關(guān)的主要規(guī)模數(shù)據(jù)均符合指數(shù)變化規(guī)律。其中學(xué)位授予規(guī)模為：

考慮到經(jīng)濟、科技和教育政策相對穩(wěn)定，參數(shù)μ具有較為明顯的階段性特征。為此可以采用分段滾動模型進行博士生教育相關(guān)規(guī)模數(shù)據(jù)的分析和測算，對于學(xué)位授予規(guī)模，假設(shè)分為n段，其中i= 0,1,… ,n-1，ti為各段的起始年份，則可以分段表示為：

為方便數(shù)據(jù)分析，可對相關(guān)等式兩邊取自然對數(shù)。分段表達式（8）兩邊取自然對數(shù)后為：

在以時間為橫軸、求取自然對數(shù)后的規(guī)模數(shù)據(jù)為縱軸的單自然對數(shù)坐標系中，其圖形近似為具有不同斜率的折線段組合，可以通過分段線性擬合進行參數(shù)估計[13]。

2.博士生教育規(guī)模數(shù)據(jù)的偏離度

定義博士生教育規(guī)模數(shù)據(jù)的成長偏離度（以下簡稱“偏離度”），為實際規(guī)模數(shù)據(jù)與相應(yīng)指數(shù)規(guī)律基線數(shù)據(jù)（目標數(shù)據(jù)）之差所占基線數(shù)據(jù)的比重。學(xué)位授予數(shù)據(jù)的偏離度為：

其中()C t?為學(xué)位授予實際數(shù)據(jù)，()C t為學(xué)位授予基線數(shù)據(jù)，可由擬合所得分段指數(shù)函數(shù)計算。

對博士生教育實際規(guī)模數(shù)據(jù)取自然對數(shù)，基于等式（9）通過分段線性擬合進行參數(shù)估計。以分段指數(shù)函數(shù)作為基線函數(shù)，求取實際數(shù)據(jù)和基線數(shù)據(jù)之間的偏離度，進行偏離度分布分析，有助于進一步理解博士生教育的變化規(guī)律。這里以美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)為例進行討論。

NCES傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑①NCES 1960—2009年使用的統(tǒng)計口徑。其中，學(xué)術(shù)類博士含哲學(xué)博士（Ph.D.）、教育博士（Ed.D.）等，實踐類博士含臨床醫(yī)學(xué)博士（M.D.）、法律博士（J.D.）等第一職業(yè)學(xué)位（First-Professional Degrees，F(xiàn)PD）。美國學(xué)術(shù)類博士授予數(shù)據(jù)②數(shù)據(jù)來源：1861—1958年數(shù)據(jù)來自American Universities and Colleges (8th Ed.), 1960。1959年數(shù)據(jù)來自Academic Degrees: Earned and Honorary Degrees Conferred by Institutions of Higher Education in the United States, 1960。1960—2020年數(shù)據(jù)來自NCES Digest of Education Statistics，其中2010—2020年學(xué)術(shù)類博士數(shù)據(jù)參照文獻9方案由授予總數(shù)和傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑實踐類博士數(shù)據(jù)推算得到?？缒杲y(tǒng)計數(shù)據(jù)計入截止年份。分段指數(shù)擬合和單自然對數(shù)坐標下分段線性擬合結(jié)果如圖1?？煞譃樾纬呻A段、工業(yè)化時代和信息化時代三個發(fā)展階段，近100年來經(jīng)歷一戰(zhàn)、二戰(zhàn)、冷戰(zhàn)前期、冷戰(zhàn)后期和后冷戰(zhàn)期等5個“U”型“衰減—恢復(fù)”周期[13]。

（1）偏離度的“增長”和“衰減”?；趫D1數(shù)據(jù)，以分段指數(shù)函數(shù)計算結(jié)果作為基線數(shù)據(jù)，求得美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線如圖2上半部分虛線所示。

圖1 美國歷年學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)分段擬合

圖2 美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度的傅里葉級數(shù)擬合

偏離度描述實際規(guī)模數(shù)據(jù)相對分段指數(shù)函數(shù)的偏離程度。偏離度為正、為負表示當(dāng)年實際規(guī)模數(shù)據(jù)高于或者低于相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，而偏離度增長、衰減表示偏離度數(shù)值的增減，對應(yīng)著某個年份偏離度曲線一階導(dǎo)數(shù)為正或為負的情況。

以美國學(xué)術(shù)類博士一戰(zhàn)結(jié)束到二戰(zhàn)結(jié)束1919—1946年間的波動為例來討論偏離度增長和衰減的情況。如圖1和圖2上半部分所示，1919—1932年間處于增長區(qū)間，波峰、波谷之外各點偏離度導(dǎo)數(shù)為正，表示該時段授予規(guī)模的增長速度“跑贏”相應(yīng)指數(shù)函數(shù)。其中，1919—1924年間偏離度數(shù)值為負，表示這些年份的授予規(guī)模低于相應(yīng)指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，1925—1932年偏離度數(shù)值為正，表示這些年份的授予規(guī)模高于相應(yīng)指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值。1932—1946年間處于衰減區(qū)間，波峰、波谷之外各點偏離度導(dǎo)數(shù)為負，表示該時段授予規(guī)模的增長速度沒有“跑贏”相應(yīng)指數(shù)函數(shù)。其中，1932—1942年間偏離度數(shù)值為正，表示這些年份的授予規(guī)模高于相應(yīng)指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，1943—1946年間偏離度數(shù)值為負，表示這些年份的授予規(guī)模低于相應(yīng)指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值。

（2）偏離度曲線的時頻特性。美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的偏離度曲線具有明顯的波動特性，但各波動持續(xù)時間、振幅值以及波形各具特色，沒有兩個波動完全相同。對偏離度曲線進行離散傅里葉變換[14]，繪制振幅譜如圖2下半部分虛線，振幅譜在整個區(qū)間均有分布且具有多峰特性，屬于非周期信號的連續(xù)譜。其中第一個峰值位于f1≈ 0.025（1/年）、T1= 1/f1=40（年），對應(yīng)基頻，而最高峰位于f2= 2f1≈ 0.05（1/年）、T2= T1/2 =20（年），對應(yīng)二倍頻?？梢?，偏離度曲線不屬于嚴格意義的周期變化，但具有明顯的周期波動特性，可采用周期函數(shù)來近似描述。

（3）傅里葉級數(shù)近似。為進一步分析偏離度曲線的波動特性，參照事物從無到有、再從由弱到強、進而由盛轉(zhuǎn)衰的一般發(fā)展規(guī)律，同時考慮時域偏離度曲線波峰和波谷易于識別的實際情況，采用“增長—衰減”的倒“U”型周期波動模型，以周期函數(shù)?()t的余弦傅里葉級數(shù)[15]表達式來近似偏離度曲線，將“增長”起始點（谷底）對應(yīng)年份作為各周期的起始年份，其表達式為：

其中a0與偏離度曲線均值有關(guān)，aj為第j階分量的振幅，t0為與相位偏移相關(guān)的年份?？紤]傅里葉級數(shù)的收斂特性，可以采用具有足夠階數(shù)的級數(shù)表達式作為偏離度曲線的近似函數(shù)。

（4）相似性判別。實際使用的關(guān)鍵在于選取合適的階數(shù)，使得函數(shù)?(t)與偏離度曲線具有足夠的相似程度，并保持合理的計算規(guī)模。這里，將偏離度曲線DevC(t)和函數(shù)?(t)的離散序列看作兩個獨立向量，采用余弦相似度，即兩向量間夾角的余弦值，來度量二者的相似性[16]，表達為：

其中分子為兩個向量的點積，分母為兩個向量模的乘積。δ數(shù)值越接近1，則兩個向量的相似性越強。

（5）擬合階數(shù)。采用最小二乘法對美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模偏離度曲線以式（11）分別進行1—6階余弦傅里葉級數(shù)擬合，以等式（12）計算擬合結(jié)果和偏離度曲線之間的余弦相似度，結(jié)果如表1所示。

表1 美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的傅里葉級數(shù)擬合情況

擬合結(jié)果中，一階、二階、三階級數(shù)分量對應(yīng)a1、a2、a3的絕對值較大。從余弦相似度數(shù)值來看，三階擬合的相似度為0.52，此時擬合結(jié)果和實際數(shù)據(jù)具有中等程度的相似性。而更高階擬合結(jié)果顯示，隨著擬合階數(shù)的提高，相似度的改善不明顯。從頻譜分布情況看，在基頻f1、二倍頻f2和三倍頻f3位置存在著明顯峰值，表明這三個頻率對應(yīng)的分量為該波動的主要分量。

綜合考慮，選取基頻為f1的三階傅里葉級數(shù)作為160多年來美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的近似表達，以開展后續(xù)分析。相應(yīng)的時域和頻域曲線在圖2中采用實線繪制。

3.美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的周期波動規(guī)律

根據(jù)學(xué)位授予數(shù)據(jù)分段表達式（8）、偏離度近似函數(shù)?()t的余弦傅里葉級數(shù)表達（11）和偏離度定義（10），可知博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)可近似為分段指數(shù)函數(shù)與余弦傅里葉級數(shù)的組合，表明美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律變化，可表示為：

其三階近似表達式的主體為分段指數(shù)函數(shù)，同時疊加周期約40年、20年和13年的三階余弦函數(shù)分量，其中二倍頻f2對應(yīng)幅值a2的絕對值最大，因此約20年周期波動的特征更為明顯，160多年來經(jīng)歷了8個約20年周期的倒“U”型“增長—衰減”波動。

表2給出各波動的周期T2、增長和衰減的區(qū)間、偏離度波峰（極大值，Max）和波谷（極小值，Min）等初步數(shù)據(jù)，并參照參考文獻第13條中的命名策略，標出各周期衰減區(qū)間最具有影響力的重大事件。參考文獻第11條中給出1961—1973年、1988—1996年和2003—2009年等三個增長較快的時期，以及各增長期之后的振蕩調(diào)整，大致分別對應(yīng)于本文的第6、7、8周期。參考文獻第12條識別出美國在20世紀20年代、50年代和90年代有三個增長較快的階段，則大致分別對應(yīng)于本文的第4、5、7周期的增長區(qū)間。

（1）倒“U”型波動。本文采用倒“U”型波動模型，各周期以兩側(cè)波谷作為起止點、包含“增長”和“衰減”兩部分。該模型可以更好地刻畫美國學(xué)術(shù)類博士160年的發(fā)展歷史，第一個周期的起始點位于美國學(xué)術(shù)類博士生教育的起點附近，而根據(jù)分段線性擬合結(jié)果將160年歷史劃分為三個成長指數(shù)逐步降低的階段，不同階段的邊界和周期的邊界相近，其中“形成階段”含2個周期、“工業(yè)化時代”階段含3個周期，當(dāng)前正處于“信息化時代”階段第3個周期中部。而參考文獻第13條中采用的“U”型波動模型，各周期以兩側(cè)波峰作為起止點、含“衰減”和“恢復(fù)”兩部分，與本文模型間有約10年的相位差，該文識別出近百年來的5個周期可對應(yīng)于本文第3周期峰值到第8周期峰值之間的各波動。

（2）世界大戰(zhàn)導(dǎo)致的異常數(shù)據(jù)。圖2中除1880年之前授予規(guī)模較小時期出現(xiàn)偏離度較大的數(shù)據(jù)外，在一戰(zhàn)、二戰(zhàn)期間，相應(yīng)有兩組偏離度較大的數(shù)據(jù)。美國1917年4月到1918年11月參加一戰(zhàn)，1941年12月到1945年8月參加二戰(zhàn)[17]。與此對應(yīng)，如圖2和表2顯示，1918年、1919年兩年形成極小值超過50%的深谷，1943—1946年間形成另一個極小值超過55%的深谷。

表2 美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)周期波動情況

為進一步分析世界大戰(zhàn)類似的重大事件對美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模變化的影響，將1918年、1919年，1943—1946年等6年的數(shù)據(jù)作為異常數(shù)據(jù)剔除，重新計算偏離度并以等式（11）進行級數(shù)擬合。發(fā)現(xiàn)剔除異常數(shù)據(jù)后美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的偏離度曲線，仍可由基頻為f1（對應(yīng)周期T1=40年）的余弦傅里葉級數(shù)來近似刻畫。與剔除異常數(shù)據(jù)之前的擬合結(jié)果相比，各階分量的振幅有所不同，特別地，周期約為20年的二倍頻對應(yīng)的幅值大幅下降。

由此可知，兩次世界大戰(zhàn)造成戰(zhàn)爭期間的美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)急劇減少，使得相關(guān)年份的授予數(shù)據(jù)大幅下降，但偏離度的周期波動規(guī)律依然保持。

三、基于具有周期波動特性指數(shù)規(guī)律的規(guī)模預(yù)測

動力學(xué)模型給出博士生教育規(guī)模遵循指數(shù)發(fā)展規(guī)律，學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度分析揭示美國學(xué)術(shù)類博士生教育規(guī)模的周期波動特性，規(guī)?？梢越票磉_

為分段指數(shù)函數(shù)與傅里葉級數(shù)的組合。綜合上述結(jié)果，考慮博士生教育發(fā)展具有階段性特征的實際情況，在相關(guān)參數(shù)保持不變的某個階段內(nèi)，可根據(jù)等式（13）的近似表達式外推延拓進行授予數(shù)據(jù)定量預(yù)測。以NCES發(fā)布的美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)為例進行預(yù)測實驗，并與相應(yīng)的實際數(shù)據(jù)、預(yù)測數(shù)據(jù)進行對比，以檢驗方法的預(yù)測能力。

1.基本步驟

（1）模型基本參數(shù)識別。首先對作為輸入的歷年實際授予數(shù)據(jù)求取自然對數(shù)，接著在單自然對數(shù)坐標下采用最小二乘法進行分段線性擬合，獲取各階段博士生教育成長指數(shù)。之后計算博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的偏離度，并采用最小二乘法對偏離度曲線進行傅里葉級數(shù)擬合，獲取相應(yīng)的周期參數(shù)。

（2）近似表達式擬合。將分段指數(shù)擬合得到的成長指數(shù)、偏離度擬合得到的周期參數(shù)作為初值，采用最小二乘法，對授予數(shù)據(jù)以近似表達式（13）進行函數(shù)擬合，確定該近似表達式的相關(guān)參數(shù)。

（3）延拓預(yù)測。以上述擬合所得博士生教育成長指數(shù)數(shù)值作為近似表達式中指數(shù)函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)學(xué)位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的傅里葉擬合結(jié)果，結(jié)合當(dāng)時形勢發(fā)展，對一段時間可能的“增長”和“衰減”程度以及周期時長、振幅范圍進行判定，使用近似表達式對待預(yù)測時段進行延拓計算即可得到預(yù)測值。

2.2010—2020年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模預(yù)測實驗

采用上述方法以1861—2009年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位實際授予數(shù)據(jù)作為輸入，預(yù)測2010—2020年授予數(shù)據(jù)，并與NCES發(fā)布的實際授予數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)進行比較。其中實際授予數(shù)據(jù)與前文使用數(shù)據(jù)相同，用于對比的預(yù)測數(shù)據(jù)為NCES于2010年發(fā)布的多元線性回歸模型測算結(jié)果[18]。

根據(jù)上述基本步驟，對歷年授予數(shù)據(jù)求取自然對數(shù)后分段線性擬合獲取各階段博士生教育成長指數(shù)，以相應(yīng)的分段指數(shù)函數(shù)計算結(jié)果作為基線數(shù)據(jù)計算授予數(shù)據(jù)的偏離度，采用最小二乘法擬合得到周期函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。將擬合得到的指數(shù)函數(shù)參數(shù)和周期參數(shù)作為初值，對授予數(shù)據(jù)以近似表達式（13）進行函數(shù)擬合，確定該近似表達式的相關(guān)參數(shù)。以相應(yīng)的周期和振幅作為近似表達式中周期函數(shù)的參數(shù)，使用近似表達式對待預(yù)測時段進行延拓計算，取整到千位的預(yù)測結(jié)果及相關(guān)數(shù)據(jù)如表3。

表3 2010—2020年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)預(yù)測

（1）方法可行且可信。與實際授予數(shù)據(jù)相比，本文和NCES方法預(yù)測結(jié)果的最大誤差分別為-6.55%和7.49%，均方根誤差分別為2.51%和4.53%。二者與實際授予數(shù)據(jù)的余弦相似度均超過0.99。本文預(yù)測結(jié)果的最大誤差和均方根誤差均優(yōu)于NCES預(yù)測方法，表明本文方法具有良好的預(yù)測能力。

（2）成長指數(shù)估計優(yōu)先。預(yù)測中，首先需要比較準確地判斷近期發(fā)展趨勢，包括發(fā)展階段的劃分和周期劃分，并以此確定成長指數(shù)初值。實際使用中，成長指數(shù)對于數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果具有決定性的影響，需要根據(jù)待預(yù)測時段在當(dāng)前周期中所處的位置以及實際發(fā)展形勢，綜合本階段和當(dāng)前周期慎重估計。

（3）周期和振幅判定?？紤]博士生教育發(fā)展具有明顯的階段性特征，即在一段時間內(nèi)相關(guān)參數(shù)基本保持不變，因此當(dāng)前波動的周期、振幅數(shù)值，對于預(yù)測結(jié)果數(shù)值具有直接影響，如何判定也具有很大的挑戰(zhàn)性。一般情況下，可以簡單采用擬合所得周期參數(shù)進行外推延拓，以作為參考結(jié)果。更進一步地，則需要在深入研判未來發(fā)展趨勢的基礎(chǔ)上，對衰減或者增長的時長進行預(yù)測，由此判定具體的周期數(shù)值。特別地，還需要考慮可能的影響因素，根據(jù)當(dāng)前所在周期的振幅，明確待預(yù)測時段的波動幅度，并根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)進行針對性的參數(shù)調(diào)整，以得到更為合理的預(yù)測數(shù)據(jù)。

3.2021—2030年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模預(yù)測

應(yīng)用同樣的方法，以已公開的1861—2020年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位實際授予數(shù)據(jù)作為輸入，預(yù)測2021—2030年授予數(shù)據(jù)。“信息化時代”階段實際授予數(shù)據(jù)和相關(guān)預(yù)測數(shù)據(jù)如圖3。

圖3 美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)預(yù)測比較

圖中菱形線為歷年實際授予數(shù)據(jù)，點線為NCES于2010年發(fā)布的預(yù)測結(jié)果，實線為指數(shù)擬合線，虛線為本文級數(shù)預(yù)測結(jié)果。對比歷年實際授予數(shù)據(jù)與本文測算數(shù)據(jù)，二者的余弦相似度超過0.99、均方根誤差為5.51%，其中2010—2020年間二者的余弦相似度超過0.99、均方根誤差為2.74%。取整到千位2021—2030年授予數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果如表4，同時給出取整到百位的±5%預(yù)測范圍。

表4 2021—2030年美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)預(yù)測

（1）正在步入衰減區(qū)間。預(yù)測數(shù)據(jù)顯示，在保持指數(shù)增長總體趨勢的情況下，美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模的偏離度曲線正在進入下行通道，步入衰減區(qū)間，一段時間內(nèi)授予數(shù)據(jù)增長乏力，可能無法“跑贏”相應(yīng)指數(shù)函數(shù)，甚至可能出現(xiàn)授予規(guī)模下降的情況。

如果只關(guān)注21世紀以來美國學(xué)術(shù)類博士生教育發(fā)展，可以看到授予規(guī)?！耙恢痹谠鲩L，只是增幅有大有小”的現(xiàn)象。2002—2020年間，除2010年授予數(shù)據(jù)略有下降之外，是美國歷史上NCES傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑下學(xué)術(shù)類博士生授予規(guī)模連續(xù)增長最長的時段，其偏離度曲線基本保持連續(xù)增長趨勢。

但是放到歷史大格局中審視其長期發(fā)展趨勢，可以看到“波動一直存在”。正如觀察授予規(guī)模增幅變化看到的那樣，在一段時間的連續(xù)增長之后往往會有很長一段時間的衰減調(diào)整[11]。偏離度分析揭示的周期波動特征表明，長期增長之后緊接著是長期的衰減，比如1932—1946年間的二戰(zhàn)周期和1973—1987年間的冷戰(zhàn)后期周期都曾經(jīng)出現(xiàn)連續(xù)14年的長期衰減，其中也包含著連續(xù)數(shù)年的規(guī)模下降。

從近期公布的美國博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)來看，長期增長勢頭可能即將逆轉(zhuǎn)的跡象已經(jīng)出現(xiàn)。NSF SED報告顯示，該口徑下2020年博士授予數(shù)據(jù)為55283，較上一年的55614減少0.6%，是2017年以來規(guī)模首次出現(xiàn)下降，2021年的調(diào)查將考慮新冠疫情的影響[19]。NCES 2020年新統(tǒng)計口徑下研究類（research/scholarship）博士學(xué)位授予數(shù)較上一年略有減少[20]，已經(jīng)出現(xiàn)規(guī)模下降情況。

綜合本文預(yù)測和上述事實，初步判斷當(dāng)前處于美國學(xué)術(shù)類博士生教育史上的第8個“增長—衰減”周期、“信息化時代”階段的第3個周期的峰值點附近，該周期始于21世紀初，經(jīng)歷了二十余年的增長，可能正在步入下行通道，未來一段時間將到達谷底，之后將開啟新的、美國學(xué)術(shù)類博士生教育歷史上的第9個“增長—衰減”周期，預(yù)計2030年授予數(shù)接近10萬。上述分析表明，未來美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)將經(jīng)歷先衰減、再增長的歷程，與參考文獻第13條中定性預(yù)測趨勢基本一致。

本文預(yù)測方法，對于1861—2010年、1861—2020年美國學(xué)術(shù)類博士實際授予數(shù)據(jù)兩組輸入，給出基本一致的發(fā)展趨勢預(yù)測，表明方法具有一定的穩(wěn)定性。在長期增長的鼎盛期，能夠根據(jù)歷史發(fā)展規(guī)律預(yù)測到即將來臨的衰減，也表明方法具有一定的前瞻性，有助于更早預(yù)判趨勢、更好做出應(yīng)對。

（2）新冠疫情影響有多大？上述預(yù)測數(shù)據(jù)基于1970—2030年間美國學(xué)術(shù)類博士生教育總體發(fā)展趨勢保持大致不變（成長指數(shù)不變）且大致符合當(dāng)前周期波動特征的情況下外推而得。2020年至今，新冠疫情是極為關(guān)鍵的全球性重大事件，是否可能造成類似一戰(zhàn)、二戰(zhàn)那樣的異常數(shù)據(jù)呢？考慮接受博士生教育的群體主要是年輕人，世界大戰(zhàn)直接影響參戰(zhàn)的年輕男性，而新冠疫情對高齡和患有基礎(chǔ)疾病群體影響更大[21]。由此推斷，如果沒有其他重大變化的情況下，新冠疫情可能會使得疫情嚴重年份的授予規(guī)模顯著低于目前預(yù)測值，但應(yīng)該不會像一戰(zhàn)、二戰(zhàn)那樣造成超過50%偏離度的異常數(shù)據(jù)。

四、結(jié)論與展望

研究美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)與其指數(shù)模型基線數(shù)據(jù)之間的偏離程度，識別出余弦傅里葉級數(shù)形式的近似周期函數(shù)，揭示授予數(shù)據(jù)遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律發(fā)展，并給出近似表達式，進一步推動了基于數(shù)理分析方法的博士生教育定量研究。該表達式給出美國博士生教育發(fā)展的長期發(fā)展規(guī)律，具有跨越160年歷史的一致描述能力。

提出基于具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律、用于美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模的定量預(yù)測方法。數(shù)據(jù)表明，其預(yù)測略優(yōu)于美國NCES基于多元線性回歸模型的結(jié)果。研究認為，研究生教育規(guī)模預(yù)測誤差主要源自主觀因素、方法局限和政策影響[22]。本文方法基于美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予規(guī)模遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律，適用于博士生教育主要參數(shù)保持不變的階段，同時預(yù)測結(jié)果依賴于對未來發(fā)展形勢的判斷。因此，相關(guān)假設(shè)條件和發(fā)展形勢的變化，國內(nèi)、國際重大事件的出現(xiàn)，以及重要政策的調(diào)整，都可能造成預(yù)測出現(xiàn)偏差，應(yīng)根據(jù)情況加強動態(tài)監(jiān)測。

哪些因素造成美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的周期波動？是經(jīng)濟發(fā)展周期、人口結(jié)構(gòu)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)變化，還是教育政策調(diào)整？相關(guān)的問題有待更為深入的探討。周期波動特性是美國學(xué)術(shù)類博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)的獨有特性，還是各國、各學(xué)科類別博士生教育發(fā)展的普遍規(guī)律？這些都是未來可以進一步拓展的研究內(nèi)容。而如何應(yīng)用此類波動規(guī)律進行有針對性的規(guī)模調(diào)控，則是更有價值的話題。

更進一步地，中美全球兩大主要經(jīng)濟體聯(lián)系依然緊密的情況下，美國的博士生教育發(fā)展對于我國的博士生教育具有重要影響和參考價值。在此基礎(chǔ)上，開展我國研究生規(guī)模演化規(guī)律探索，“發(fā)展定量與定性相結(jié)合的研究生教育學(xué)理論對于推動我國研究生教育的科學(xué)決策具有重要的現(xiàn)實意義”[23]，是值得長期關(guān)注的重要話題。而針對“必須增強憂患意識，更加重視人才自主培養(yǎng)，加快建立人才資源競爭優(yōu)勢”的要求[24]，進一步基于數(shù)理分析方法深入開展研究生教育研究，為推動我國博士生教育發(fā)展提出合理建議，依然是極為重要的方向。

致謝：中國學(xué)位與研究生教育學(xué)會前會長趙沁平院士關(guān)于進一步分析指數(shù)模型預(yù)測誤差的指導(dǎo)，清華大學(xué)李京京老師關(guān)于關(guān)注全局周期特性和匿名評審專家關(guān)于定量給出各周期基本參數(shù)的建議，清華大學(xué)王傳毅老師關(guān)于離散時間序列模型的指點，邵正隆老師對2020年美國學(xué)位授予數(shù)據(jù)進行的處理，都對本文工作具有重要幫助。美國博士學(xué)位授予數(shù)據(jù)收集工作得到北京航空航天大學(xué)趙世奎、美國馬里蘭大學(xué)李騰兩位教授的幫助。在此一并感謝。