梅長松， 李天智， 李 銘， 程 昊， 尹永珍， 孔祥文

(長江生態(tài)環(huán)保集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430000)

1 引 言

衛(wèi)星鐘是全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)的核心載荷之一，它的性能以及衛(wèi)星鐘差(satellite clock bias, SCB)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性、可靠性是影響整個(gè)系統(tǒng)綜合定位導(dǎo)航授時(shí)(positioning, navigation and timing, PNT)服務(wù)能力的關(guān)鍵因素之一[1～7]。衛(wèi)星自主導(dǎo)航技術(shù)需要預(yù)報(bào)一段時(shí)間的衛(wèi)星星歷和鐘差作為先驗(yàn)信息以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)自主運(yùn)行；實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位(precise point positioning, PPP)技術(shù)需要鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果參與計(jì)算實(shí)現(xiàn)高精度定位；時(shí)間同步還是網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行、節(jié)點(diǎn)協(xié)同的基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)空間信息網(wǎng)絡(luò)大時(shí)空跨度網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)的重要保障[8,9]。因此，有必要對(duì)鐘差的精確、可靠預(yù)報(bào)技術(shù)開展研究。

原子鐘在衛(wèi)星高速運(yùn)動(dòng)過程中，易受到外部環(huán)境及自身因素影響，很難掌握其細(xì)致變化規(guī)律，因此,建立精確原子鐘運(yùn)行模型十分困難，相應(yīng)地導(dǎo)致準(zhǔn)確預(yù)報(bào)鐘差十分困難。目前，許多學(xué)者在鐘差預(yù)報(bào)方面開展了深入研究，提出的預(yù)報(bào)模型主要有：二次多項(xiàng)式模型(quadratic polynomial model, QPM)、灰色模型(grey model, GM)、最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machine, LSSVM)、自回歸滑動(dòng)平均(auto regressive moving average, ARMA)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network, ANN)模型、卡爾曼濾波(Kalman filtering, KF)模型等[9～14]。這些方法在鐘差預(yù)報(bào)中取得了廣泛應(yīng)用，但也均有各自的局限性。近年來，許多學(xué)者開始研究穩(wěn)定性更好、預(yù)報(bào)風(fēng)險(xiǎn)更小、可靠性更強(qiáng)的組合預(yù)報(bào)模型，并在這方面取得了許多研究成果。王繼剛等基于線性組合預(yù)測的思想，提出一種修正線性組合鐘差預(yù)報(bào)模型，既保證了鐘差預(yù)報(bào)的可靠性，又提高了預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確性[15]。李曉宇等提出一種改進(jìn)GM和ARMA的組合模型，驗(yàn)證其預(yù)報(bào)穩(wěn)定性優(yōu)于常規(guī)方法[16]。雷雨等采用譜分析模型擬合鐘差序列的趨勢項(xiàng)部分，采用LSSVM建模對(duì)隨機(jī)項(xiàng)部分進(jìn)行補(bǔ)償，組合得到的預(yù)報(bào)結(jié)果優(yōu)于IGU-P產(chǎn)品[17]。布金偉等提出修正經(jīng)典權(quán)組合模型，將其應(yīng)用到BDS/GPS衛(wèi)星鐘差組合預(yù)報(bào)中，改進(jìn)了經(jīng)典定權(quán)法的不足[18]。王冬霞等采用經(jīng)典權(quán)法對(duì)QPM和GM進(jìn)行綜合，鐘差預(yù)報(bào)精度約有一倍的提升[19]。

衛(wèi)星鐘運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜，受多種太空物理射線影響，衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)在大部分情況下呈現(xiàn)出復(fù)雜變化規(guī)律，無論是對(duì)于中長期還是短期預(yù)報(bào)，單一預(yù)報(bào)模型都難以勝任鐘差的精密預(yù)報(bào)工作。因此，結(jié)合各模型的優(yōu)勢和特點(diǎn)，探索適應(yīng)能力更強(qiáng)、穩(wěn)定性更高、預(yù)報(bào)效果更好的組合預(yù)報(bào)模型是未來鐘差預(yù)報(bào)研究領(lǐng)域的重要方向。本文針對(duì)鐘差組合預(yù)報(bào)中子模型權(quán)值難以確定的問題，將熵權(quán)法引入到BDS衛(wèi)星鐘差組合預(yù)報(bào)中，以GM和QPM為子模型，建立了BDS衛(wèi)星鐘差熵權(quán)組合預(yù)報(bào)模型。使用武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心發(fā)布的BDS精密鐘差產(chǎn)品，分別進(jìn)行了連續(xù)多天的短期和中長期預(yù)報(bào)試驗(yàn)，多天的平均試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了熵權(quán)組合模型在BDS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)穩(wěn)定性方面的優(yōu)勢。

2 模型原理

采用加權(quán)平均值的方法綜合各子模型的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果，通過一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)賦予不同子模型相應(yīng)的權(quán)值，取加權(quán)后的結(jié)果作為組合預(yù)報(bào)的最終結(jié)果。這種方式降低了預(yù)測中的風(fēng)險(xiǎn)，其中，子模型權(quán)值的確定是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本節(jié)首先介紹幾種常見定權(quán)方法，包括經(jīng)典權(quán)法、修正線性組合權(quán)法，然后詳細(xì)介紹熵權(quán)組合模型在鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用步驟。

2.1 基于經(jīng)典權(quán)法的組合預(yù)報(bào)模型

假設(shè)有m個(gè)子模型參與組合預(yù)報(bào)，則組合模型預(yù)報(bào)結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

(2)

該方法僅靠擬合效果這一指標(biāo)去評(píng)定各子模型的優(yōu)劣，在實(shí)際過程中，可以發(fā)現(xiàn)有些模型擬合效果與預(yù)報(bào)效果的正相關(guān)性不強(qiáng)，此時(shí)經(jīng)典權(quán)值的參考意義變差。

2.2 修正線性組合預(yù)報(bào)模型

針對(duì)經(jīng)典權(quán)法的不足，有學(xué)者提出，在進(jìn)行連續(xù)多時(shí)段預(yù)報(bào)時(shí)，可以用歷史時(shí)段的預(yù)報(bào)精度來修正當(dāng)前的組合權(quán)值，這種方式可以改善僅依靠模型擬合精度定權(quán)的不足[18]。具體修正原理如下：

(3)

(4)

根據(jù)式(4)得到各子模型修正權(quán)值，再根據(jù)式(1)即可得到修正線性組合模型的預(yù)報(bào)結(jié)果。

2.3 熵權(quán)組合預(yù)報(bào)模型

信息熵最早是從熱力學(xué)中借用過來的概念，將其作為一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生不確定性或者反映出的信息量的一種度量指標(biāo)。一般地，信息熵值越大，認(rèn)為信號(hào)中反映出的信息混亂程度越高，殘留數(shù)據(jù)序列中的噪聲也越大，信息利用率就越低。反之，信息熵值越小，信息利用率也就越高。信息熵的這種特性使其可以協(xié)助人們開展預(yù)測和決策工作，熵權(quán)法便是組合預(yù)測和信息熵理論的結(jié)合。

用熵權(quán)法確定組合模型權(quán)系數(shù)的步驟如下：

假設(shè)有m個(gè)子模型參與組合預(yù)報(bào)，則組合模型預(yù)報(bào)結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(5)

(6)

(2) 計(jì)算第j個(gè)子模型的相對(duì)誤差的香農(nóng)熵值為：

(7)

式中：k>0為常數(shù)； ln為自然對(duì)數(shù)；hj≥0，i=1,2,…,m。

(3) 因?yàn)?≤hj≤1，根據(jù)熵值的大小與變異程度成反比的原則，第j個(gè)子模型預(yù)報(bào)相對(duì)誤差序列的變異程度定義為：

dj=1-hj

(8)

則第j個(gè)子模型加權(quán)系數(shù)為：

(9)

基于熵權(quán)法的組合預(yù)報(bào)模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(10)

3 算例分析

為了對(duì)比單一模型與組合模型的預(yù)報(bào)效果，本節(jié)分別從短期和中長期預(yù)報(bào)兩個(gè)方面進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)，考慮到試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偶然性，兩方面的試驗(yàn)均采用連續(xù)多次的形式滾動(dòng)進(jìn)行，取多次試驗(yàn)的平均結(jié)果進(jìn)行分析。目前，北斗在軌運(yùn)行的衛(wèi)星按其軌道類型分為3類，限于篇幅限制，從中各選取兩顆數(shù)據(jù)完整性最好的衛(wèi)星參與試驗(yàn)，衛(wèi)星號(hào)分別為C01(GEO)、C02(GEO)、C10(IGSO)、C13(IGSO)、C12(MEO)、C24(MEO)。在評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)精度時(shí)，最常用的指標(biāo)是外符合精度，下載武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心發(fā)布的精密鐘差產(chǎn)品作為算例數(shù)據(jù)，這樣可以方便地得到參考真值，計(jì)算外符合精度，對(duì)各預(yù)報(bào)方法的預(yù)報(bào)結(jié)果精度評(píng)價(jià)更為客觀。

3.1 短期預(yù)報(bào)

采用數(shù)據(jù)較為完整的MJD為58 594.0至 58 603.0(2019-04-21～2019-04-30)共計(jì)10天的精密鐘差產(chǎn)品，采樣間隔為5 min。先用前144個(gè)歷元(時(shí)長為12 h)的鐘差數(shù)據(jù)分別用QPM(體現(xiàn)衛(wèi)星鐘的物理特性)和GM建模，預(yù)報(bào)未來12 h的鐘差，這樣可以進(jìn)行19個(gè)時(shí)段的預(yù)報(bào)試驗(yàn)，而且對(duì)于建模的144個(gè)鐘差數(shù)據(jù)來說，既有觀測值，又有兩種模型的擬合值，因此可以構(gòu)建組合預(yù)報(bào)模型。對(duì)選取的6顆衛(wèi)星鐘精密鐘差的預(yù)報(bào)結(jié)果見圖1。

圖1 各顆衛(wèi)星的短期鐘差預(yù)報(bào)殘差RMSE統(tǒng)計(jì)圖Fig.1 Statistical map of short-term clock error forecast residual RMSE for each satellite

從圖1中可以看出：

(1) 在試驗(yàn)的各時(shí)段內(nèi)，組合模型的預(yù)報(bào)精度并不一定總是最好的，研究鐘差組合預(yù)報(bào)的首要目標(biāo)是提高鐘差預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性。如果僅僅依賴于某單一模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，當(dāng)該模型預(yù)報(bào)誤差較大時(shí)，例如C01、C02、C24號(hào)衛(wèi)星用GM進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，將會(huì)給GNSS應(yīng)用帶來較大的誤差，而用組合模型的預(yù)報(bào)結(jié)果則可以大大減弱這種風(fēng)險(xiǎn)。

(2) 從C01、C02、C12、C24號(hào)衛(wèi)星的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)單一模型預(yù)報(bào)精度差異較大時(shí)，組合模型的避險(xiǎn)作用比較明顯。

在C10號(hào)衛(wèi)星第2時(shí)段預(yù)報(bào)試驗(yàn)中，GM擬合殘差序列均方誤差小于QPM，但預(yù)報(bào)效果卻遜于QPM，經(jīng)典權(quán)組合模型為GM和QPM分配的權(quán)值分別為0.82和0.18，修正組合權(quán)模型權(quán)值分配分別是0.79和0.21，熵權(quán)組合模型權(quán)值分配分別是0.58和0.42。

圖2給出了C10號(hào)衛(wèi)星第2時(shí)段各模型的預(yù)報(bào)誤差曲線。

圖2 C10號(hào)衛(wèi)星第2時(shí)段預(yù)報(bào)殘差圖Fig.2 Forecast residuals for the second period of the C10 satellite

從圖2中可以看出：

(1) 經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型預(yù)報(bào)誤差曲線與GM預(yù)報(bào)的誤差曲線是非常接近的，預(yù)報(bào)精度相對(duì)較低，預(yù)報(bào)誤差序列RMSE值為3.79 ns。這是因?yàn)樵阽姴顢?shù)據(jù)建模過程中，GM的擬合效果優(yōu)于QPM，從而給GM預(yù)報(bào)值分配了過高的權(quán)重，但是GM的預(yù)報(bào)精度卻是較差的。而修正組合權(quán)模型由于只有1段歷史時(shí)段預(yù)報(bào)誤差的積累，所以修正效果很小，預(yù)報(bào)誤差序列RMSE值為3.69 ns。

(2) 本次預(yù)報(bào)結(jié)果反映了經(jīng)典權(quán)組合模型僅以擬合效果作為定權(quán)依據(jù)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)組合無效的情況，而修正經(jīng)典權(quán)組合模型則需要較多歷史時(shí)段預(yù)報(bào)信息的積累，才能發(fā)揮出其修正作用。相比之下，熵權(quán)組合模型預(yù)報(bào)誤差序列RMSE值為2.01 ns，預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性更好。

表1給出了3種組合預(yù)報(bào)模型19次鐘差預(yù)報(bào)誤差的RMSE序列的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表1 組合預(yù)報(bào)模型19次短期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Combined forecast model 19 short-term forecast accuracy statistics table ns

結(jié)合圖1、2，分析表1可以看出：

(1) 本節(jié)介紹的3種組合預(yù)報(bào)模型都能有效地綜合各單一模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，其中，由于修正經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型綜合考慮了各單一模型的擬合效果和歷史時(shí)段的預(yù)報(bào)效果，其預(yù)報(bào)精度在一定程度上高于經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型。對(duì)比RMSE平均值和RMSE極差這兩項(xiàng)指標(biāo)，可以看出，修正經(jīng)典權(quán)組合預(yù)報(bào)模型預(yù)報(bào)結(jié)果平均精度較高，預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性也更好，可以更好地平衡各單一模型的預(yù)報(bào)精度。

(2) 熵權(quán)法組合模型預(yù)報(bào)結(jié)果的多數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在一定程度上優(yōu)于其它兩種組合方法，說明該方法組合效果好，避免了經(jīng)典權(quán)法有時(shí)會(huì)對(duì)擬合效果好但預(yù)報(bào)效果不一定好的單一模型分配過高權(quán)重的問題。

(3) 值得注意的是，本節(jié)的3種組合預(yù)報(bào)模型均屬于線性組合的形式。從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，線性組合中不會(huì)出現(xiàn)劣組合，即組合預(yù)報(bào)模型的RMSE值不會(huì)大于各個(gè)單一預(yù)報(bào)模型預(yù)報(bào)誤差的最大RMSE值;有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)優(yōu)組合，即組合預(yù)報(bào)模型的RMSE值小于各個(gè)單一預(yù)報(bào)模型預(yù)報(bào)誤差的最小RMSE值。

在本次試驗(yàn)中，熵權(quán)組合模型出現(xiàn)優(yōu)組合的次數(shù)多于其它兩種組合模型。

3.2 中長期預(yù)報(bào)

中長期預(yù)報(bào)試驗(yàn)選用的是數(shù)據(jù)較為完整的MJD為58 594.0至58 616.0(2019-04-21～2019-05-13)共計(jì)23天的精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，鐘差采樣間隔為 5 min。算例中先用前288個(gè)歷元(時(shí)長為24 h)的鐘差數(shù)據(jù)分別用QPM和GM建模，預(yù)報(bào)未來72 h的鐘差，這樣一共可以進(jìn)行20個(gè)時(shí)段的預(yù)報(bào)試驗(yàn)。而且對(duì)于建模的288個(gè)鐘差數(shù)據(jù)來說，既有觀測值，又有兩種模型的建模擬合值，因此可以構(gòu)建組合預(yù)報(bào)模型。

對(duì)選取的6顆衛(wèi)星鐘精密鐘差的預(yù)報(bào)結(jié)果見圖3。

圖3 各顆衛(wèi)星的中長期鐘差預(yù)報(bào)殘差RMSE統(tǒng)計(jì)圖Fig.3 Statistical map of medium-and long-term clock error forecast residual RMSE for each satellite

表2給出了3種組合預(yù)報(bào)模型20次鐘差預(yù)報(bào)誤差的RMSE序列的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表2 組合預(yù)報(bào)模型中長期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Combined forecast model medium-and long-term forecast accuracy statistics table ns

結(jié)合圖1，分析圖3和表2可以看出：

(1) 隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加，各模型預(yù)報(bào)精度都會(huì)逐漸降低。6顆參與鐘差預(yù)報(bào)試驗(yàn)的衛(wèi)星中，有5顆衛(wèi)星(C01、C02、C10、C13、C24)QPM的預(yù)報(bào)結(jié)果優(yōu)于GM，這可能是因?yàn)镼PM是一種體現(xiàn)衛(wèi)星鐘物理特性的模型。

(2) 對(duì)于同一組衛(wèi)星鐘差序列，不同預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)效果差異較大。例如對(duì)于C24(MEO)衛(wèi)星，QPM預(yù)報(bào)精度最高，對(duì)于C12(MEO)衛(wèi)星，QPM預(yù)報(bào)精度最差而GM預(yù)報(bào)精度相對(duì)較高。因此，應(yīng)該根據(jù)衛(wèi)星鐘的特點(diǎn)，對(duì)不同的鐘差序列選擇合適的預(yù)報(bào)模型，而本文引入的熵權(quán)組合預(yù)報(bào)模型對(duì)6顆試驗(yàn)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)均可得到較為理想的預(yù)報(bào)結(jié)果，提高了鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的可靠性。

(3) 比較3種組合模型中長期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果中的RMSE平均值指標(biāo)，可以看出，對(duì)于多數(shù)衛(wèi)星(C01、C02、C10、C12、C24)，熵權(quán)組合模型稍優(yōu)于其他兩種組合模型，而在預(yù)報(bào)穩(wěn)定性方面，也具有一定優(yōu)勢。圖3顯示，在本次試驗(yàn)中，熵權(quán)法出現(xiàn)優(yōu)組合的次數(shù)多于其它兩種組合模型。

4 結(jié) 論

本文主要對(duì)常見的衛(wèi)星鐘差組合預(yù)報(bào)模型的建模特點(diǎn)及預(yù)報(bào)效果進(jìn)行了比較分析。針對(duì)組合預(yù)報(bào)模型中權(quán)值難以確定的問題，本文引入了熵權(quán)組合預(yù)報(bào)模型，給出了基于熵權(quán)法的衛(wèi)星鐘差組合預(yù)報(bào)步驟。采用武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心的精密鐘差數(shù)據(jù)產(chǎn)品，以體現(xiàn)衛(wèi)星鐘物理特性的QPM和GM為子模型進(jìn)行了預(yù)報(bào)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法能夠以較高的預(yù)報(bào)精度和相對(duì)穩(wěn)定的性能進(jìn)行北斗系統(tǒng)衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)工作，為高精度的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)提供了一種新的研究思路。