羅強(qiáng)華

(重慶市奉節(jié)縣巴蜀渝東中學(xué),404600)

在初中幾何試題中,我們時(shí)常遇到求解某條線段或某兩條線段之和的最值問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的常用方法是通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換作出恰當(dāng)?shù)妮o助線,并借助全等三角形或相似三角形,將相關(guān)線段置于某一三角形中,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,即“三角形的任意兩邊之和大于第三邊,三角形的任意兩邊之差小于第三邊”來(lái)求解.下面舉例說(shuō)明.

一、以三角形為載體

1.構(gòu)造全等三角形

例1如圖1,等邊?ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),連結(jié)AD,點(diǎn)E,F分別是AD,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AE=CF,求BF+CE的最小值.

分析由等邊?ABC及AE=CF,通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形將BF和CE這兩條分散的線段集中到一個(gè)三角形當(dāng)中,再借助三角形的三邊關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

解如圖1,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AG,連結(jié)GE,GC.

∵D為等邊?ABC的BC邊的中點(diǎn),

∴AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠GAE=∠ACD.

∵AG=BC,AE=CF,

∴?AGE≌?CBF,∴GE=BF.

說(shuō)明當(dāng)圖形中的線段比較分散時(shí),可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中在一個(gè)三角形中來(lái)解決問(wèn)題.

2.構(gòu)造相似三角形

例2[1]如圖2,在Rt?ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,點(diǎn)P為?ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且點(diǎn)P到?ABC的頂點(diǎn)A,B的距離分別為PA=6,PB=8,求PC的最值.

分析由圖形可知,PA,PB,PC是分散的,從而想到通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將三條線段集中到一個(gè)三角形當(dāng)中,再通過(guò)三角形的三邊關(guān)系來(lái)求PC的最值.

又∵∠CAP′=∠BAP,

在?CPP′中,由三角形的三邊關(guān)系,可得CP′-P′P≤PC≤CP′+P′P(當(dāng)且僅當(dāng)C,P,P′三點(diǎn)共線時(shí),取“=”),

二、以四邊形為載體

分析由共端點(diǎn)的等線段AB和AD,想到通過(guò)旋轉(zhuǎn)將CD,CB集中到一個(gè)三角形當(dāng)中,則問(wèn)題迎刃而解.

解如圖3,將?ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至?AC′B,連結(jié)CC′,則CD=C′B,?ACC′是等腰直角三角形.

在?BCC′中,由三角形的三邊關(guān)系,可得C′B+CB≥CC′=10(當(dāng)且僅當(dāng)B,C,C′三點(diǎn)共線時(shí),取“=”),

即CD+CB≥1,

∴CD+CB的最小值為10.

故答案為10.

三、以正方形為載體

例4如圖4,在?ABC中,BA=1,BC=2,以AC為邊作正方形ACDE,使E,B兩點(diǎn)落在直線AC的兩側(cè),當(dāng)∠ABC變化時(shí),求BE的最大值.

分析由正方形具有共端點(diǎn)的等線段想到將?ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt?ABB′,可確定BB′為定值,再在?BB′C中運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系便能求解.

解如圖4,將?ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至?AB′C,則BE=B′C,?ABB′為等腰直角三角形,

四、以半圓為載體

例5[2]如圖5,已知半圓O的直徑為2,射線AF與半圓O相切于點(diǎn)A,長(zhǎng)為1的線段CD在半圓上滑動(dòng),E是射線AF上的一動(dòng)點(diǎn),則BC+DE的最小值為_(kāi)_____.

分析由半圓的半徑相等,想到通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將BC和DE這兩個(gè)分散的線段集中到一個(gè)三角形當(dāng)中,再運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系可求得BC+DE的最小值.

解如圖5,連結(jié)OC,OD.

由題意,可得等邊?COD,

∴∠DOC=60°.

將?BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至?MOD,連結(jié)EM,則∠BOM=60°.

在?DEM中,由三角形的三邊關(guān)系,可得DM+DE≥EM(當(dāng)且僅當(dāng)D,E,M三點(diǎn)共線時(shí),取“=”),

∴BC+DE≥EM.

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N,則ON=

∵射線AF與半圓O相切于點(diǎn)A,

∴AB⊥AF,