何煜晶 周 超 (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

1 前言

尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見的幾何的重要手段，幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系，形成初步的幾何直覺．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡稱《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書中知識內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，但實際的教科書編寫還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容也出現(xiàn)較晚．因此，尺規(guī)作圖成為了一種學(xué)習(xí)任務(wù)，其在幫助學(xué)生理解幾何概念與實際操作等方面的功能被大大削弱，影響了早期的直觀運(yùn)用．

2017年，日本開始了最新一輪的數(shù)學(xué)教育課程改革．2017年3月，日本文部科學(xué)省頒布了《初中學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》(相當(dāng)于我國的《課標(biāo)》，下文簡稱《要領(lǐng)》)，并于2021年4月1日開始施行．在初中《要領(lǐng)》的指導(dǎo)下，日本編寫了新版本的初中數(shù)學(xué)教科書． 本文主要探討日本最新初中《要領(lǐng)》及教科書對尺規(guī)作圖內(nèi)容的處理與編排，以期對我國《課標(biāo)》與教科書的編寫帶來啟示．

2 日本初中《要領(lǐng)》中尺規(guī)作圖的內(nèi)容與要求

日本初中《要領(lǐng)》將初中數(shù)學(xué)知識分為數(shù)與式、圖形、函數(shù)、數(shù)據(jù)的活用(即統(tǒng)計與概率)四個領(lǐng)域，其中每個領(lǐng)域都融入了數(shù)學(xué)的活動[3]，如圖1所示．《要領(lǐng)》對每個年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了說明，與我國《課標(biāo)》相比，日本《要領(lǐng)》對知識內(nèi)容的劃分更為固定明確．

圖1 日本2017年初中 《要領(lǐng)》中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容

尺規(guī)作圖屬于“圖形”領(lǐng)域，日本初中各年級“圖形”領(lǐng)域知識內(nèi)容如表1所示．在七年級平面圖形學(xué)習(xí)之初就有了尺規(guī)作圖的內(nèi)容要求．與我國相比，日本《要領(lǐng)》中尺規(guī)作圖的位置順序明顯靠前．尺規(guī)作圖對于培養(yǎng)初中生圖形領(lǐng)域的資質(zhì)與能力方面，具有引起學(xué)生對圖形的興趣和關(guān)心、直觀地捕捉圖形的性質(zhì)和關(guān)系、促進(jìn)邏輯思考的意義．

表1 “圖形”領(lǐng)域知識內(nèi)容

《要領(lǐng)》解說還對七年級尺規(guī)作圖的內(nèi)容處理提出了建議，強(qiáng)調(diào)不要單方面地給出作圖的方法，而是著眼于圖形的對稱性和決定圖形的要素，找到作圖的方法，并根據(jù)圖形的性質(zhì)和關(guān)系有條理地對方法進(jìn)行說明．

3 日本初中教科書尺規(guī)作圖編排特點

《中學(xué)校數(shù)學(xué)1》由日本學(xué)校圖書株式會社出版，該出版社成立于1948年，以研究、編寫、出版與發(fā)行基礎(chǔ)教育教科書與教育圖書為主要任務(wù)，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編寫方面發(fā)展成熟．2020年9月出版的《中學(xué)校數(shù)學(xué)1》以2017年《要領(lǐng)》為指導(dǎo)，能夠充分反映最新《要領(lǐng)》的理念與要求．因此我們以該版本的教科書為例，研究尺規(guī)作圖的編排特點．

3.1 注重小學(xué)與初中的銜接，喚醒學(xué)生已有的直觀經(jīng)驗

圖2是該教科書七年級“圖形”領(lǐng)域的章節(jié)目錄．平面圖形章節(jié)分為兩部分：一是各種角作圖，二是圖形的移動．第一節(jié)“各種角作圖”即為尺規(guī)作圖的內(nèi)容，內(nèi)容集中，約占平面圖形章節(jié)內(nèi)容的60%．章節(jié)目錄左側(cè)列出了所需的預(yù)備知識．有關(guān)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備主要是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的垂直與平行、三角形、平行四邊形、菱形與圓的相關(guān)知識．

圖2 日本七年級“圖形”領(lǐng)域章節(jié)目錄

在章節(jié)目錄旁設(shè)置“小學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”欄目，一方面提醒學(xué)生“回頭看”，回顧已有知識，做好新知識的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，加強(qiáng)小學(xué)與初中幾何知識之間的聯(lián)系．另一方面，教師能夠據(jù)此了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)，方便其備課．

3.2 增加尺規(guī)作圖的情境性與趣味性

用“寶藏藏在哪里”的情境引入尺規(guī)作圖的內(nèi)容．圖3為寶藏的線索文件，圖4為地圖．在線索文件中，寶藏在直線①②③相交而成的三個點所在圓的圓心上．直線①經(jīng)過地圖中路 ○ア的中點，且與路 ○ア夾角為90°；直線②經(jīng)過點A，且與路 ○イ夾角為30°；直線③經(jīng)過點B，且與路 ○イ夾角為60°．因此為了找到寶藏，首先需要作出直線①②③．

圖3 寶藏線索文件

圖4 寶藏地圖

為了作夾角為90°，30°和60°的直線，最簡單的方法是使用量角器．然而在尋寶過程中，發(fā)現(xiàn)忘記帶量角器了，只帶了直尺與圓規(guī)．由此引入課題：不使用量角器，如何作出90°，30°和60°角呢？

在該情境下，“各種角作圖”內(nèi)容分為三部分：90°角作圖；60°和30°角作圖；作圖的利用．各部分課時、學(xué)習(xí)內(nèi)容及術(shù)語符號見表2．

表2 “各種角作圖”課時與結(jié)構(gòu)

結(jié)合對情境與章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的分析，該問題情境一方面用尋找寶藏這種帶有神秘色彩的活動吸引學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生思考；另一方面，在進(jìn)行尺規(guī)作圖的過程中將平面圖形的基礎(chǔ)知識如垂線、角、平行線、圓等串聯(lián)起來，使得各知識點的出現(xiàn)順序較為自然．

3.3 將尺規(guī)作圖嵌入幾何活動中，培養(yǎng)一般化的幾何思考方式

日本教科書中垂直平分線、角平分線等內(nèi)容的作圖步驟與我國教科書基本一致，但在內(nèi)容處理上存在明顯差異．我國教科書對于作圖的內(nèi)容處理相當(dāng)直接，通常給出作法就結(jié)束，至于作法從何而來，如何進(jìn)行思考并未加以說明．日本教科書在尺規(guī)作圖內(nèi)容上增加了思考方式，目的是讓學(xué)生思考作圖的角度．此外還設(shè)計了尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生應(yīng)用尺規(guī)作圖解決實際問題．

(1)尺規(guī)作圖的思考方式

以90°角作圖為例，日本教科書在作圖之前引導(dǎo)學(xué)生思考夾角為90°的兩條直線所在的圖形．日本學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的相關(guān)知識：菱形是以兩條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，四條邊長度相等，因此菱形的兩條對角線互相垂直平分．于是利用菱形對角線的性質(zhì)，通過作菱形的方式作垂直平分線．

圖5 風(fēng)箏形

在垂直平分線作圖的基礎(chǔ)上，過直線外一點作已知直線的垂線．教科書同時還給出了另一種作法：利用風(fēng)箏形進(jìn)行作圖．風(fēng)箏形是以一條對角線為對稱軸的圖形．圖5即為一個風(fēng)箏形，對角線AB為對稱軸，因此有AB⊥PQ，PO=QO．

利用風(fēng)箏形的性質(zhì)，過直線外一點作已知直線的垂線的作圖順序如圖6所示．

圖6 利用風(fēng)箏形作垂線

將教科書中各種作圖的思考方式進(jìn)行總結(jié)(見表3)，可以發(fā)現(xiàn)，教科書以垂線、垂直平分線與角平分線作圖為核心．在思考方式上，都是考慮已學(xué)的對稱圖形，以菱形為主．由于菱形具有對角線互相垂直平分、對角線平分頂角、對邊平行等性質(zhì)，因此在尺規(guī)作圖學(xué)習(xí)之初，從菱形性質(zhì)進(jìn)行思考是一種不錯的選擇．

表3 尺規(guī)作圖的思考方式

(2)尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動

對于“已知圓上三點找圓心”的內(nèi)容處理，教科書設(shè)計了一個數(shù)學(xué)活動：將破碎的圓形銅鏡碎片進(jìn)行復(fù)原．

該部分內(nèi)容處于尺規(guī)作圖章節(jié)的尾部，一方面是作為一個新的數(shù)學(xué)情境，再次吸引學(xué)生的興趣，讓學(xué)生運(yùn)用垂直平分線作圖的知識解決新的問題；另一方面與初始的尋找寶藏的情境相呼應(yīng)．在線索文件中，寶藏在直線①②③相交而成的三個點所在圓的圓心上．因此該活動結(jié)束之后，學(xué)生即可用所學(xué)知識解決尺規(guī)作圖章節(jié)之初的尋寶問題，這在一定程度上調(diào)動了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的積極性．

4 思考與啟示

總的來說，日本初中教科書平面幾何章節(jié)中尺規(guī)作圖出現(xiàn)的順序明顯靠前，這主要是受《要領(lǐng)》的影響．教科書對于尺規(guī)作圖的編排呈現(xiàn)三大特點：一是設(shè)置“小學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”欄目，加強(qiáng)初中與小學(xué)知識的銜接．二是設(shè)置有趣的情境，以作圖為線索串聯(lián)幾何知識，吸引學(xué)生的興趣．三是給出了作圖的思考方式，而不是直接給出作法． 在此基礎(chǔ)上，可以對我國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教科書的編寫提出建議．

4.1 將尺規(guī)作圖內(nèi)容前置，作為認(rèn)識圖形、理解幾何概念的工具

將《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖內(nèi)容前置，把尺規(guī)作圖作為初中生幾何學(xué)習(xí)初期認(rèn)識幾何的工具．通過尺規(guī)作圖，學(xué)生經(jīng)歷“構(gòu)造”平面幾何概念的過程，以形成對幾何概念與性質(zhì)的直觀理解．例如，在七年級認(rèn)識三角形初期利用尺規(guī)作圖，將圓規(guī)作為固定邊長的工具，探索三角形三邊的關(guān)系．僅僅需要圖7這樣一個特例即可形成對三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這一關(guān)系的直觀理解．

圖7 利用尺規(guī)作圖探索三角形三邊關(guān)系

4.2 強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖的思考方式，適當(dāng)降低作法的要求

教科書可以通過設(shè)置備注、閱讀欄目等方式，增加作圖的思考方式、該作法的起源、還有哪些其他作法等內(nèi)容．尺規(guī)作圖與《幾何原本》密切相關(guān)，以配圖的形式增設(shè)《幾何原本》中有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容，可以讓學(xué)生感受到尺規(guī)作圖悠久的歷史與價值，增加教材的人文感．

4.3 設(shè)計有趣的情境，應(yīng)用尺規(guī)作圖解決問題

針對我國教科書尺規(guī)作圖零散分布于各平面幾何章節(jié)的情況[4]，一方面，可以在包含尺規(guī)作圖的章節(jié)之初設(shè)計有趣的問題情境，在學(xué)習(xí)了該章節(jié)知識之后，回頭解決一開始的問題，實現(xiàn)首尾呼應(yīng)；另一方面，在學(xué)習(xí)完所有平面幾何知識之后，設(shè)置一個綜合性的數(shù)學(xué)情境，用尺規(guī)作圖串聯(lián)平面幾何的知識，在解決問題的過程中促進(jìn)各知識的理解與遷移．