紀(jì)歷，馬雪晴，陳震民

(1.杭州電子科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310011； 2.浙江中源磁懸浮技術(shù)有限公司，浙江 杭州 310011)

0 引 言

磁懸浮軸承是通過定子鐵心與轉(zhuǎn)子鐵心之間的磁場力將轉(zhuǎn)子無接觸地懸浮起來的一種新型軸承，由于不存在機(jī)械接觸，其與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比具有明顯的優(yōu)越性[1-4]。完整的磁懸浮軸承系統(tǒng)通常由磁懸浮軸承機(jī)械部分(定轉(zhuǎn)子)、位移傳感器、控制器以及功率放大器組成。其中功率放大器用來控制定子線圈中的電流，從而產(chǎn)生磁場力使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮，其性能對于磁懸浮系統(tǒng)至關(guān)重要。

通常情況下，磁懸浮軸承的定、轉(zhuǎn)子均采用疊片結(jié)構(gòu)以減小磁路中的渦流效應(yīng)，進(jìn)而減小損耗、提高效率。然而疊片結(jié)構(gòu)本身工藝復(fù)雜，生產(chǎn)效率低下，此外考慮磁懸浮軸承對加工精度的要求，沖片加工得到的定子疊片在裝配后通常還需要進(jìn)行二次精加工，多道工序延長了磁懸浮軸承的加工周期，阻礙了磁懸浮產(chǎn)品的批量生產(chǎn)。若采用實(shí)心鐵磁材料加工定子，則可以顯著地提高生產(chǎn)效率，但是實(shí)心結(jié)構(gòu)有較大的渦流效應(yīng)，一方面導(dǎo)致發(fā)熱損耗，一方面會對磁懸浮系統(tǒng)的控制造成負(fù)面的影響。

文獻(xiàn)[4-6]對磁懸浮系統(tǒng)的損耗進(jìn)行分析，可知鐵心本身的損耗相對于磁懸浮設(shè)備(如磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)、磁懸浮壓縮機(jī))的功率來說并不高，若具有良好的散熱條件，定子溫升完全可以控制在可接受的范圍。但其對控制的影響不能忽略，一個典型的例子就是導(dǎo)致控制電流的高頻振蕩。關(guān)于電流的高頻振蕩，現(xiàn)有研究普遍認(rèn)為其由開關(guān)功率放大器的非線性導(dǎo)致，文獻(xiàn)[7-14]針對功率放大器或變換器的非線性模型進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[15-16]證明在磁懸浮功率放大器中存在分岔及混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[17-18]研究了功率放大器調(diào)制技術(shù)及由于不同的載波形式產(chǎn)生的失效機(jī)制。但較少研究關(guān)注由于負(fù)載特性變化引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定及振蕩。

本文著重研究了實(shí)心定子結(jié)構(gòu)對磁懸浮功率放大器穩(wěn)定性的影響，考慮渦流效應(yīng)建立了負(fù)載線圈的數(shù)學(xué)模型，并計(jì)及功率放大器本身的非線性特性及數(shù)字延時(shí)研究了勵磁電流自激振蕩的機(jī)理。在此基礎(chǔ)上提出勵磁電流控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析方法及控制器的設(shè)計(jì)原則，并通過仿真與試驗(yàn)對提出的理論進(jìn)行驗(yàn)證，所得結(jié)論能夠?yàn)榇艖腋〖夹g(shù)在工業(yè)中的推廣應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 磁懸浮勵磁控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

磁懸浮功率放大器及勵磁電流控制系統(tǒng)的原理如圖1所示。該系統(tǒng)主要由控制器C(s)、PWM調(diào)制器、功率放大器主電路KV、定子線圈負(fù)載G(s)和電流互感器KS組成。

1.1 功率放大器的數(shù)學(xué)模型

磁懸浮控制系統(tǒng)中最常用的功率放大器是基于H橋的三電平變換器[16]。其主電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，其中主電路由電壓源E、開關(guān)管S1～S4及負(fù)載組成。S1(S2)與S3(S4)互補(bǔ)導(dǎo)通，其負(fù)載等效為L和R串聯(lián)的形式。根據(jù)S1～S4不同的開關(guān)情況，該變換器有三種工作狀態(tài)：

狀態(tài)1：開關(guān)S1與S4導(dǎo)通，S2與S3關(guān)斷，此時(shí)變換器輸出電壓E，負(fù)載電流上升；

狀態(tài)2：開關(guān)S2與S3導(dǎo)通，S1與S4關(guān)斷，此時(shí)變換器輸出電壓-E，負(fù)載電流下降；

狀態(tài)3：開關(guān)S1與S2導(dǎo)通，S3與S4關(guān)斷或開關(guān)S3與S4導(dǎo)通，S1與S2關(guān)斷，此時(shí)變換器輸出電壓為0，負(fù)載電流通過開關(guān)管與二極管續(xù)流。

變換器在每一個控制周期中包含兩種開關(guān)狀態(tài)，以輸出正電壓，負(fù)載電流上升過程為例。其調(diào)制原理如圖2(b)所示，圖中：uT+、uT-為一組幅值與頻率相同、相位相反的三角載波；uin為控制器輸入的控制信號；ug1、ug4分別表示開關(guān)管S1與S4的驅(qū)動信號。

控制信號uin分別與兩個三角波進(jìn)行比較，當(dāng)uin大于uT+時(shí)，ug1輸出高電平、S1開通，當(dāng)uin大于uT-時(shí)，ug4輸出高電平、S4開通，反之S1、S4關(guān)斷。根據(jù)圖2(a)主電路結(jié)構(gòu)以及圖2(b)中的開關(guān)時(shí)序圖，此時(shí)變換器包含狀態(tài)1與狀態(tài)3兩種開關(guān)狀態(tài)，對負(fù)載輸出等效的正向PWM電壓。將控制信號與載波信號做歸一化處理，即uTmax=1、uTmin=-1、uin∈[-1, 1]、占空比d=|uin|，則可以推導(dǎo)出該H橋變換器的輸出模型為：

uout=

(1)

式(1)描述了功率放大器的PWM調(diào)制及主電路部分的非線性模型，實(shí)際上由于功放系統(tǒng)的控制頻率很高，由PWM調(diào)制引入的非線性對系統(tǒng)性能的影響較小，因此，在分析穩(wěn)定性時(shí)可以用一個電壓放大倍數(shù)KV進(jìn)行等效。

1.2 定子線圈負(fù)載數(shù)學(xué)模型

電流控制回路中負(fù)載為磁懸浮軸承的定子線圈，使用疊片定子結(jié)構(gòu)時(shí)，可以等效為阻感負(fù)載R、L串聯(lián)的形式，其傳遞函數(shù)為

(2)

式中L=N2/R0，N為繞組匝數(shù)，R0為靜態(tài)磁阻，分為氣隙磁阻與鐵心磁阻兩部分，表達(dá)式為

(3)

式中：δ0為氣隙長度；A為磁極面積；lm為鐵心等效長度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為鐵心的相對磁導(dǎo)率。

采用實(shí)心定子結(jié)構(gòu)時(shí)，磁路中的渦流效應(yīng)不能忽略，鐵心部分磁阻將隨頻率發(fā)生變化，根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的推導(dǎo)，此時(shí)磁阻可以表示為靜態(tài)磁阻R0與動態(tài)磁阻Rt之和的形式，其中動態(tài)磁阻表達(dá)式為

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)，得到渦流效應(yīng)影響下磁懸浮定子線圈的數(shù)學(xué)模型為

(5)

兩種負(fù)載的頻率特性如圖3所示?？梢钥闯?，相比于疊片結(jié)構(gòu)(整數(shù)階負(fù)載)，實(shí)心結(jié)構(gòu)(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)在幅頻特性上表現(xiàn)出更低的轉(zhuǎn)折頻率，其中高頻段的衰減較大；而在相頻特性方面，其相位在低、中頻段滯后更為嚴(yán)重。

1.3 控制器數(shù)學(xué)模型

磁懸浮電流環(huán)控制器常采用PI(比例-積分)的形式，對于線性負(fù)載，該控制器完全可以達(dá)到較好的控制效果，其形式為

(6)

式中KP、KI為控制器的比例和積分系數(shù)，KP可以提高電流的響應(yīng)速度，KI用來消除靜態(tài)誤差。對于數(shù)字控制系統(tǒng)，必須考慮由數(shù)字控制引入的延時(shí)，結(jié)合功率放大器的調(diào)制原理，延時(shí)通常為1.5個開關(guān)周期[20]，因此在傳遞函數(shù)中需要加入e-1.5Ts的延時(shí)環(huán)節(jié)。

輸出電流由互感器檢測并轉(zhuǎn)換為電壓信號用于反饋控制，該環(huán)節(jié)用增益KS來表示，通常情況下傳感器及其檢測電路帶有低通濾波器，可以由一個一階慣性環(huán)節(jié)來描述，表達(dá)式為

(7)

式中Ti為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

2 電流環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

功放電路環(huán)的主要參數(shù)如表1所示，根據(jù)圖1所示閉環(huán)控制系統(tǒng)，代入表1中的參數(shù)，研究兩種負(fù)載情況下磁懸浮勵磁電流控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表1 功放電路環(huán)的主要參數(shù)

首先，疊片定子結(jié)構(gòu)(整數(shù)階負(fù)載)時(shí)，電流環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程為

1+KVC(s)G1(s)H(s)=0。

(8)

以KP為變量求解出考慮延時(shí)環(huán)節(jié)及不考慮延時(shí)環(huán)節(jié)的根軌跡曲線如圖4所示，圖中KP的變化范圍為0.1～5?？梢钥闯?，若不考慮控制延時(shí)，整數(shù)階系統(tǒng)在整個比例系數(shù)的調(diào)節(jié)范圍內(nèi)都穩(wěn)定，而考慮延時(shí)環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)有一對特征根在KP>2.65后跨越至正半平面，可知系統(tǒng)在KP∈[0.1, 2.65]范圍內(nèi)保持穩(wěn)定。

在參數(shù)不變的情況下，代入實(shí)心定子(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)的數(shù)學(xué)模型式(5)重新計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡，結(jié)果如圖5所示。根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)定理，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

(9)

式中α為所含分?jǐn)?shù)階的階數(shù)，即對于式(5)所示分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，每個特征根相角的絕對值大于45°，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖5所示?？梢钥闯?，若不考慮延時(shí)環(huán)節(jié)，系統(tǒng)在整個KP變化范圍內(nèi)始終穩(wěn)定，而考慮延時(shí)環(huán)節(jié)后，當(dāng)比例系數(shù)KP增大到0.75時(shí)，系統(tǒng)將失穩(wěn)。對比整數(shù)階負(fù)載控制系統(tǒng)，KP穩(wěn)定的范圍大幅減小。

3 控制器設(shè)計(jì)及仿真

磁懸浮定子采用實(shí)心結(jié)構(gòu)并考慮渦流效應(yīng)后，磁懸浮定子線圈負(fù)載由一階慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的控制性能發(fā)生較大改變，文中以系統(tǒng)的相位裕度為優(yōu)化目標(biāo)對控制器參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

根據(jù)圖1所示勵磁電流控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率形式為

GH(jω)=C(jω)G2(jω)H(jω)。

(10)

在此基礎(chǔ)上給定系統(tǒng)相角裕度φm，并按以下條件對控制器參數(shù)進(jìn)行整定：

1)控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)截止頻率ωc處的相角特性為

Arg[GH(jωc)]=-π+φm。

(11)

2)控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在ωc處的幅值特性為

|GH(jωc)|dB=0。

(12)

3)為保證系統(tǒng)對增益變化的魯棒性，要求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相位在截止頻率ωc附近是平坦的，即滿足

(13)

結(jié)合以上優(yōu)化條件，代入表1中的數(shù)據(jù)，設(shè)置相角裕度φm=45°，求解得到優(yōu)化后PI控制器的參數(shù)KP=0.172 8、KI=730.170。將該控制參數(shù)代入系統(tǒng)，可得優(yōu)化后控制系統(tǒng)的開環(huán)、閉環(huán)Bode圖如圖6所示。經(jīng)計(jì)算，優(yōu)化后控制系統(tǒng)的截止頻率ωc=4 236 rad/s、相角裕度φm=44.99°、閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬為8 500 rad/s，性能滿足磁懸浮控制系統(tǒng)要求。

為驗(yàn)證理論分析的正確性，在MATLAB/Simulink平臺建立磁懸浮功率放大器的仿真模型，研究疊片結(jié)構(gòu)(整數(shù)階負(fù)載)與實(shí)心結(jié)構(gòu)(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)情況下磁懸浮勵磁電流的響應(yīng)情況。模型中功率放大器使用如式(1)所示的非線性模型，且設(shè)置了1.5個周期的控制延時(shí)。仿真得到電流階躍響應(yīng)波形如圖7所示。

圖7(a)為疊片結(jié)構(gòu)(整數(shù)階負(fù)載)時(shí)，不同比例系數(shù)控制下磁懸浮勵磁電流的階躍響應(yīng)波形，可以看出，當(dāng)KP=0.8時(shí)，控制系統(tǒng)性能良好。當(dāng)KP上升到2.6時(shí)，電流的調(diào)節(jié)時(shí)間明顯增大。而KP=2.8時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)，勵磁電流產(chǎn)生自激振蕩，且該比例系數(shù)與第2節(jié)中分析相符。圖7(b)為實(shí)心結(jié)構(gòu)(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)時(shí)的電流波形，3條曲線分別對應(yīng)KP=0.17、0.7、0.8?？梢钥闯?，當(dāng)KP設(shè)置為0.17時(shí)，控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，但隨著比例系數(shù)的增大，電流波形逐漸變差，當(dāng)KP=0.8時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生自激振蕩，同樣與第2節(jié)中的理論分析一致。此外，當(dāng)考慮分?jǐn)?shù)階負(fù)載時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的比例系數(shù)調(diào)節(jié)范圍明顯小于整數(shù)階負(fù)載。

4 試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型及理論分析的正確性，基于賽米控公司的IGBT模塊SK25GH063建立磁懸浮功率放大器及電流控制系統(tǒng)如圖8所示，并進(jìn)行試驗(yàn)研究，以下試驗(yàn)波形均由示波器實(shí)采數(shù)據(jù)繪制。

圖9為定子采用實(shí)心結(jié)構(gòu)(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)時(shí)，改變控制器比例系數(shù)得到的輸出電流波形?？梢钥闯?，在該負(fù)載特性下，當(dāng)比例系數(shù)KP=0.17時(shí)，輸出電流能夠很好地跟蹤給定參考電流2 A，系統(tǒng)也具有較好的動態(tài)性能。當(dāng)KP增大到0.6時(shí)，輸出電流的超調(diào)量及調(diào)節(jié)時(shí)間明顯變大，但最終趨于穩(wěn)定。而當(dāng)KP增大至0.7時(shí)，輸出電流發(fā)生了高頻振蕩，其結(jié)果與理論計(jì)算值存在微小的偏差(理論計(jì)算的臨界點(diǎn)為KP=0.75)，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)中不可避免地存在測量噪聲等外界干擾。但是，該試驗(yàn)結(jié)果仍然較好地驗(yàn)證了理論分析的結(jié)論，使用實(shí)心鐵磁材料時(shí)，比例系數(shù)增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度降低，更進(jìn)一步致使電流發(fā)生高頻振蕩。

根據(jù)前文的分析，采用疊片定子后，磁路中的渦流效應(yīng)將大幅減小，負(fù)載變?yōu)橐浑A系統(tǒng)，具有更寬的比例系數(shù)調(diào)節(jié)范圍。為驗(yàn)證結(jié)論，文中更換疊片定子重復(fù)上述試驗(yàn)，其電流響應(yīng)波形如圖10所示。可以看出，在同樣的比例系數(shù)下，系統(tǒng)未出現(xiàn)失穩(wěn)及自激振蕩現(xiàn)象，與理論分析結(jié)果相同，但是同樣可以看出，同樣的比例系數(shù)下，電流的響應(yīng)過程由欠阻尼變成了過阻尼，調(diào)節(jié)時(shí)間明顯加大，可見使用疊片定子時(shí)需要配置較大的比例系數(shù)，否則動態(tài)性能將難以滿足磁懸浮控制的需要。

根據(jù)理論分析，數(shù)字控制導(dǎo)致延時(shí)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性是引發(fā)電流自激振蕩的重要原因。因此，減小控制延時(shí)是增加系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效措施。試驗(yàn)利用模擬電路實(shí)現(xiàn)了PI控制及載波比較的功能，在實(shí)心定子(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)上進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果如圖11所示，可以看出，在比例系數(shù)0.6～1.0范圍內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定，未出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，且電流響應(yīng)速度較快，系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能。

5 結(jié) 論

本文研究了渦流效應(yīng)對磁懸浮軸承功率放大器性能的影響。文中詳細(xì)對比了實(shí)心及疊片兩種定子結(jié)構(gòu)，分別建立負(fù)載的數(shù)學(xué)模型，考慮控制系統(tǒng)的延時(shí)，研究磁懸浮勵磁電流控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能，并通過仿真與試驗(yàn)對提出的理論進(jìn)行驗(yàn)證，可以得到以下結(jié)論：

1)實(shí)心定子結(jié)構(gòu)的磁懸浮軸承由于渦流效應(yīng)的影響，其電磁線圈的負(fù)載特性表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階的形式，相比疊片的結(jié)構(gòu)(整數(shù)階負(fù)載)，其幅頻特性表現(xiàn)出更低的轉(zhuǎn)折頻率和較小的下降斜率。

2)與疊片結(jié)構(gòu)相比，實(shí)心定子的結(jié)構(gòu)(分?jǐn)?shù)階負(fù)載)對于勵磁電流控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性有負(fù)面的影響，其控制器比例系數(shù)的調(diào)節(jié)范圍更小，且勵磁電流更容易發(fā)生自激振蕩。

3)對于實(shí)心和疊片兩種結(jié)構(gòu)，由數(shù)字控制導(dǎo)致的延時(shí)對勵磁電流控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大的負(fù)面影響，減小該延時(shí)能夠較大地提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

文中的研究工作存在一定的不足，主要表現(xiàn)在：

1)本文建立負(fù)載線圈的分?jǐn)?shù)階模型時(shí)，假定所有的磁路都為實(shí)心鐵磁材料，而實(shí)際的對象只有定子部分使用了實(shí)心結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子部分的磁路仍然是疊片結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致被控對象的理論模型與實(shí)際存在誤差。

2)在分析根軌跡時(shí)，雖然考慮了數(shù)控系統(tǒng)的延時(shí)，但是變換器部分使用了線性模型，與實(shí)際的開關(guān)功放存在一定的誤差。

3)試驗(yàn)中存在大量的外界干擾，如開關(guān)功放的電磁噪聲、ADC轉(zhuǎn)換引入的采樣噪聲等，這些未知的噪聲將會對控制系統(tǒng)產(chǎn)生激勵，造成穩(wěn)定性的下降。

綜上所述，理論模型的簡化以及外部噪聲使得理論分析與試驗(yàn)結(jié)果存在一定誤差，在后續(xù)的研究中需要建立更加精確的模型并考慮噪聲的影響。