譚草，黎德祥，葛文慶，李波，陸佳瑜

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

0 引 言

電磁直線執(zhí)行器相比傳統(tǒng)的滾珠絲桿直線傳動系統(tǒng)，動力傳遞路線縮短，響應(yīng)迅速，具有高效節(jié)能的優(yōu)點[1-2]。以電磁直線執(zhí)行器為代表的直線直接驅(qū)動技術(shù)已經(jīng)成為汽車線控、智能制造等領(lǐng)域研究的熱點。

電磁直線執(zhí)行器是一個非線性強(qiáng)的耦合系統(tǒng)，未經(jīng)衰減的負(fù)載直接作用于執(zhí)行器，執(zhí)行器參數(shù)的變化也直接影響系統(tǒng)的正常運(yùn)行，這些因素都給執(zhí)行器的控制帶來困難。從控制問題的角度看，高響應(yīng)、高精確度是控制的基本問題[3-4]。電磁配氣機(jī)構(gòu)等領(lǐng)域要求執(zhí)行器實現(xiàn)“軟落座”，對落座速度要求嚴(yán)格[5-6]；文獻(xiàn)[7]針對電磁直線執(zhí)行器模型的不確定性問題，提出了一種非線性自適應(yīng)軌跡跟蹤的落座控制和一種基于極值搜索的多變量自適應(yīng)控制；文獻(xiàn)[8]為應(yīng)對變化負(fù)載力下的工作需求，提出了一種基于能量法的反饋控制器；摩擦力作為電磁直線執(zhí)行器中普遍存在的非線性作用，在很多控制問題的研究中被簡化為未建模因素或者外部擾動，然而對摩擦力進(jìn)行建模及補(bǔ)償對控制器的進(jìn)一步提升具有重要意義。

從控制算法的角度看，傳統(tǒng)的PID控制、解耦控制和極點配置等方法以及現(xiàn)代控制算法如自適應(yīng)控制、魯棒控制、預(yù)見控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制等方法都在執(zhí)行器控制領(lǐng)域中不斷地得到應(yīng)用[9-10]。其中自抗擾控制將擾動前饋補(bǔ)償與誤差反饋控制相結(jié)合，具有不依賴被控對象數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點，然而非線性因素過多往往造成參數(shù)調(diào)節(jié)困難[11]。文獻(xiàn)[12]設(shè)計過程基于帶寬的概念，降低了參考模型設(shè)計和控制參數(shù)調(diào)節(jié)的難度。近年來，基于積分反步的自適應(yīng)魯棒方法發(fā)展迅速，文獻(xiàn)[13]給出了一種基于“積分反步”思想逐步設(shè)計非線性控制器的方法。文獻(xiàn)[14]提出了半正定反饋形式下的單輸入單輸出自適應(yīng)魯棒控制方法，為了解決該方法不能獨立設(shè)計控制律和自適應(yīng)律的缺陷，又在文獻(xiàn)[15]提出了期望補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒控制理論。自適應(yīng)魯棒控制串聯(lián)彈性執(zhí)行器[16]、液壓執(zhí)行器[17]、永磁同步電機(jī)[18]等在控制領(lǐng)域展現(xiàn)出了良好的控制性能，為控制系統(tǒng)魯棒性提供了可行的參考。

為使電磁直線執(zhí)行器在獲得期望的響應(yīng)與精確度，對動態(tài)摩擦力等非線性因素以及外界干擾等具有更好的魯棒性，本文提出對系統(tǒng)不確定性參數(shù)、摩擦狀態(tài)量進(jìn)行在線自適應(yīng)估計；結(jié)合摩擦補(bǔ)償自適應(yīng)控制律，穩(wěn)定反饋和魯棒控制設(shè)計基于改進(jìn)LuGre模型的電磁直線執(zhí)行器自適應(yīng)魯棒控制，并對該方法的穩(wěn)定性、參數(shù)影響、控制性能進(jìn)行分析，通過仿真和試驗驗證所提方法的有效性。

1 結(jié)構(gòu)與模型

1.1 結(jié)構(gòu)與原理

本文采用的研究對象為一種高功率密度動圈式電磁直線執(zhí)行器，為上下對稱的圓筒形結(jié)構(gòu)，由外磁軛、內(nèi)磁軛、永磁體、線圈和線圈骨架等部件組成，如圖1所示。電磁直線執(zhí)行器工作原理詳見文獻(xiàn)[4]，執(zhí)行器采用Halbach永磁陣列提高驅(qū)動能力，相鄰線圈電流方向相反以減小電樞反應(yīng)，具有功率密度高、響應(yīng)迅速等優(yōu)勢。

1.2 模型建立

動圈式電磁直線執(zhí)行器是機(jī)械、電路和磁路相互耦合[12]，電路子系統(tǒng)、磁路子系統(tǒng)以及機(jī)械子系統(tǒng)構(gòu)成的方程組如下:

(1)

式中：u為電源電壓；ke為反電動勢系數(shù)；v為線圈運(yùn)動速度；R為線圈電阻；i為線圈電流；L為線圈電感；Fe為電磁力；N為線圈匝數(shù)；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；l為線圈的有效長度；km為電磁力系數(shù)；M為運(yùn)動部件的質(zhì)量；x為運(yùn)動部件的位移；Ff為摩擦力；Fdis為建模誤差和其他的外界干擾。摩擦作為機(jī)械系統(tǒng)中最常見的一類非線性現(xiàn)象，其動力學(xué)具有高度的復(fù)雜性和不確定性，不能簡單地將摩擦力看作是一個常數(shù)。為更好地反映電磁直線執(zhí)行器機(jī)械傳動的真實情況，采用了一種改進(jìn)的LuGre動態(tài)摩擦力模型[19]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

(2)

式中：α0為鬃毛的剛度系數(shù)；z為系統(tǒng)的內(nèi)部摩擦狀態(tài)；σ1為鬃毛的微觀阻尼系數(shù)；Af為庫倫摩擦系數(shù)；α2為粘滯摩擦系數(shù)；vs為Stibeck速度；正定函數(shù)g(v)用來描述Stibeck現(xiàn)象；σ0α0為庫倫摩擦的量級；σ0(α0+α1)為靜摩擦的量級。定義s(|v|)為一非遞增的連續(xù)函數(shù)

(3)

式中l(wèi)1>l2>0為兩個切換速度?？紤]電氣動力學(xué)的建模，其驅(qū)動電流i與控制電壓u的關(guān)系不能簡單地化簡為正比的關(guān)系，由于式(1)電路子系統(tǒng)中第三項相對于其他兩項很小，為簡化模型可忽略不計。結(jié)合式(1)、式(2)，可得到整個控制系統(tǒng)的動力學(xué)方程組

(4)

?θ∈Ωθ,θimin≤θi≤θimax,i=1,…,6。

(5)

(6)

式中：θimax和θimin為已知的常數(shù);δ(x,t)為已知的形態(tài)方程；d(t)為未知但有界的時變擾動。

2 控制器設(shè)計

2.1 參數(shù)自適應(yīng)設(shè)計

2.1.1 模型不確定性參數(shù)集自適應(yīng)律設(shè)計

(7)

式中：Γ為一個連續(xù)可導(dǎo)且正定對角的自適應(yīng)律矩陣；τ為自適應(yīng)函數(shù);p為類滑模變量；ψ的表達(dá)式為

(8)

此外，參數(shù)自適應(yīng)不連續(xù)的映射函數(shù)[21]定義為

(9)

對任意τ的投影映射，可實現(xiàn)以下性質(zhì)：

?θ∈Ωθ,θimin≤θi≤θimax,i=1,…,6。

(10)

(11)

2.1.2 時變非線性摩擦狀態(tài)量自適應(yīng)律設(shè)計

為了解決動態(tài)摩擦力模型中狀態(tài)量z為不可測的問題。需分別對z1和z2進(jìn)行自適應(yīng)估計。因此，設(shè)計基于映射函數(shù)的雙重觀測器，使其對建模誤差有一定的魯棒性，即有

(12)

式中β1和β2的值分別為：

相應(yīng)的投影映射函數(shù)可以表示為

(13)

式中：z1max=z2max=α0+α1;z1min=z2min=-α0-α1。對任意βj的投影映射，可實現(xiàn)以下性質(zhì)：

(14)

(15)

式(10)和式(14)意味著參數(shù)和狀態(tài)的估計總是有已知的界。因此，可以綜合一定的魯棒控制律，以保證一般魯棒性能。此外，式(11)和式(15)的特性能夠使用自適應(yīng)算法來消除參數(shù)不確定性的影響，從而大大改善穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。

2.2 自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計

自適應(yīng)魯棒控制器包含自適應(yīng)控制、魯棒控制和線性反饋控制3個部分，如圖2[22]所示。

定義電磁直線執(zhí)行器的一個類滑模變量p和輸出跟蹤誤差e=x1-xd，并且有

(16)

式中：k1>0為常數(shù)增益；xd為電磁直線執(zhí)行器的參考位移。由式(16)得

(17)

式(17)是一個穩(wěn)定的收斂速度為k1的傳遞函數(shù)，當(dāng)p很小或者是趨于0時，e也就會很小或者是趨于0。根據(jù)式(4)，對p求導(dǎo)得

(18)

自適應(yīng)魯棒控制器[23]設(shè)計如下

(19)

式中：ua為自適應(yīng)模型補(bǔ)償項；us為魯棒反饋項；us1為簡單的比例反饋，以穩(wěn)定名義動力學(xué)；ks1為一足夠大的非線性增益；us2為用來減弱模型不確定影響的魯棒項，它滿足下面的2個條件：

(20)

式中：ε0和ε1為任意小的常數(shù)。一種滿足式(20)的us2為

(21)

式中：ks2為一足夠大的非線性增益；h0、h1和h2[24]為滿足以下條件的任意光滑邊界函數(shù)：

(22)

式中‖‖2代表歐幾里得范數(shù)。

2.3 控制器的穩(wěn)定性證明

a)觀測器經(jīng)過有限時間t0內(nèi)收斂時，選擇Lyapunov函數(shù)為

(23)

證明：對式(23)進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合式(15)得

(24)

(25)

b)控制器經(jīng)過有限時間t0內(nèi)收斂時，選擇Lyapunov函數(shù)為

(26)

并且它有界于

exp(-λt)]。

(27)

其中λ=2ks1/θ1max。

證明：對式(26)進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合式(20)得

(28)

證明：選擇Lyapunov函數(shù)為

(29)

對式(29)進(jìn)行求導(dǎo)，得

(30)

(31)

由于g(x2)>0,s(|x2|)≥0和us2p≤0得

(32)

3 控制性能分析

3.1 參數(shù)影響分析

為研究控制器參數(shù)與控制性能的相關(guān)性關(guān)系，通過相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析，基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)來研究多變量的相關(guān)性問題，具體公式[25]為

(33)

式中：E(·)為數(shù)學(xué)期望；μX為樣本X的均值；σX為樣本X的標(biāo)準(zhǔn)差；μY為樣本Y的均值;σY為樣本Y的標(biāo)準(zhǔn)差。經(jīng)計算可得到各個控制參數(shù)對系統(tǒng)性能影響的相關(guān)系數(shù)矩陣如圖3所示，圖中縱坐標(biāo)表達(dá)式為

(34)

式中：JITAE為時間與誤差絕對值乘積的積分，它反映控制系統(tǒng)在轉(zhuǎn)換狀態(tài)時，以最小代價的損失實現(xiàn)控制目的；tr為系統(tǒng)的響應(yīng)時間，定義為系統(tǒng)從10%到90%的參考位移所經(jīng)歷的時間，它反映控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度；σ(%)為超調(diào)量；gi為θi對應(yīng)的正定對角矩陣系數(shù)。

從圖可知，σ(%)與k1負(fù)相關(guān)度最大，tr與k1正相關(guān)度最大，k1對JITAE也有明顯影響。σ(%)與ks1的正相關(guān)度最大，與ks2的正相關(guān)度次大；tr、JITAE與ks2的負(fù)相關(guān)度最大，與ks1的負(fù)相關(guān)度次大。ks1和ks2為自適應(yīng)魯棒控制中的兩個關(guān)鍵控制參數(shù)，這與實際控制規(guī)律吻合。執(zhí)行器工作中不可避免地會產(chǎn)生系統(tǒng)參數(shù)變化，在確定控制參數(shù)之后，圖4進(jìn)一步分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)控制性能的影響。為了比較，考慮PID算法[26]

(35)

式中Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分因子。

自適應(yīng)魯棒控制中線圈電阻對σ、tr與JITAE影響都最大，執(zhí)行器應(yīng)用中應(yīng)合理設(shè)計散熱方案以避免溫升帶來的電阻變化；PID控制中，線圈電阻對k1與JITAE影響最大，電磁力系數(shù)對σ影響最大。系統(tǒng)動質(zhì)量、線圈電阻以及電磁力系數(shù)在自適應(yīng)魯棒控制中對控制性能的影響顯著小于在PID控制中，說明自適應(yīng)魯棒控制對系統(tǒng)參數(shù)變化敏感程度較低。

3.2 干擾抑制分析

為分析系統(tǒng)對負(fù)載擾動的抑制能力，以式(4)為研究對象，分別進(jìn)行式(35)的PID控制和式(14)中的魯棒控制項us的魯棒控制，并與自適應(yīng)魯棒控制進(jìn)行對比分析。在達(dá)到目標(biāo)位移xd=5 mm之后(25 ms時)，負(fù)載從0 N突變?yōu)?00 N，不同控制算法下系統(tǒng)響應(yīng)如圖5所示。由于負(fù)載擾動，穩(wěn)定在目標(biāo)位移的執(zhí)行器迅速偏離目標(biāo)位移；PID控制、魯棒控制和自適應(yīng)魯棒控制偏離目標(biāo)位移的最大值分別為0.25、0.12和0.05 mm，調(diào)節(jié)過程中自適應(yīng)魯棒控制位移偏移的最大值顯著小于魯棒控制與PID控制；在反饋控制作用下執(zhí)行器重新回到目標(biāo)位移并保持穩(wěn)定的時間為6.5 ms，相比于PID控制和魯棒控制分別縮短了110.7%、16.9%。顯著小于魯棒控制與PID控制的調(diào)節(jié)時間。自適應(yīng)魯棒控制外部負(fù)載擾動情況下調(diào)整能力優(yōu)于魯棒控制與PID控制。

圖6為系統(tǒng)在白噪聲干擾下的軌跡跟蹤曲線對比，期望位移xd=0.008sin(8πt)m，由圖可知，PID控制、魯棒控制和自適應(yīng)魯棒控制在白噪聲干擾下都能實現(xiàn)對目標(biāo)位移的漸進(jìn)跟蹤，最大誤差分別為1.13、0.79和0.24 mm，自適應(yīng)魯棒控制的跟蹤誤差與穩(wěn)定性顯著優(yōu)于PID控制和魯棒控制。說明在電磁直線執(zhí)行器運(yùn)動過程中受到持續(xù)的外界信號干擾時，仍然能有效地消除摩擦力帶來的不利影響，從而提升控制精確度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。

4 試驗與分析

為驗證提出算法對電磁直線執(zhí)行器的有效性，搭建了如圖7所示的試驗平臺，通過基于DSP2812的控制器實現(xiàn)控制算法，控制器集成了電流傳感器與H橋驅(qū)動模塊，執(zhí)行器的位移由激光位移傳感器實時檢測并顯示在上位機(jī)中。被控的電磁直線執(zhí)行器工作行程為20 mm，線圈256匝、電阻為1.18 Ω，動質(zhì)量為0.250 kg。

為驗證所設(shè)計摩擦補(bǔ)償控制算法的有效性，將所該算法與PID控制方法和魯棒控制方法在相同的試驗條件下進(jìn)行比較。設(shè)置期望xd=15 mm的階躍位移，電磁直線執(zhí)行器不同控制算法下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖8所示。

由試驗結(jié)果可知，由于起步階段的動態(tài)滯后現(xiàn)象，系統(tǒng)運(yùn)動速度較緩慢。隨著控制器的控制作用，系統(tǒng)快速運(yùn)動，并朝著目標(biāo)位移靠近。最終，PID控制、魯棒控制和自適應(yīng)魯棒控制都能實現(xiàn)系統(tǒng)對位置階躍信號的不超調(diào)跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差趨于0，系統(tǒng)位置響應(yīng)誤差滿足系統(tǒng)靜態(tài)跟蹤精確度要求。自適應(yīng)魯棒控制相對于魯棒控制和PID控制的時間分別縮短了6.9和9.8 ms。在保障穩(wěn)態(tài)精確度前提下，自適應(yīng)魯棒控制的響應(yīng)速度更快。由圖8(b)可知，整個跟蹤過程中，辨識出的動態(tài)摩擦內(nèi)部狀態(tài)收斂于之前離線辨識出的結(jié)果。自適應(yīng)魯棒控制對非線性摩擦力的補(bǔ)償效果，顯著大于PID控制和魯棒控制。對比可知，自適應(yīng)魯棒控制能夠有效克服非線性摩擦對控制系統(tǒng)的影響，更好地消除摩擦帶來的反應(yīng)遲緩，實現(xiàn)快速跟蹤。

圖9為不同控制算法下電磁直線執(zhí)行器斜坡響應(yīng)結(jié)果曲線，不同控制算法下，執(zhí)行器都能在10 mm內(nèi)跟蹤目標(biāo)曲線，證明了電磁直線執(zhí)行器快速響應(yīng)的特性。其中，本文提出的控制算法下，執(zhí)行器在5 mm以內(nèi)跟蹤目標(biāo)曲線，且穩(wěn)態(tài)誤差趨近于0，在響應(yīng)速度與控制精確度上優(yōu)于PID控制以及魯棒控制。

圖9(b)為自適應(yīng)魯棒控制下控制器輸出占空比與執(zhí)行器線圈電流曲線，響應(yīng)之初輸出占空比為滿占空比，從而實現(xiàn)執(zhí)行器的快速響應(yīng)；隨后占空比迅速調(diào)節(jié)為負(fù)值，線圈電流隨之變?yōu)樨?fù)值以實現(xiàn)執(zhí)行器動子的減速；最后占空比和電流保持在固定值，執(zhí)行器動子勻速運(yùn)動、穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)斜坡曲線。

為驗證自適應(yīng)魯棒控制的軌跡跟蹤性能，設(shè)置期望位移xd=0.008sin(8πt)，電磁直線執(zhí)行器不同控制算法下的軌跡跟蹤曲線如圖10所示。在第一個峰值處，自適應(yīng)魯棒控制相位滯后時間和相對誤差分別為0.1 ms和0.1%；PID控制和魯棒控制相位滯后時間分別為0.7和0.3 ms，相對誤差分別為3.7%和2.8%。隨后，自適應(yīng)魯棒控制相位滯后時間和相對誤差逐漸趨近于0。整個跟蹤過程中，自適應(yīng)魯棒控制的跟蹤誤差與相位滯后時間，顯著小于PID控制和魯棒控制下的跟蹤誤差；對比可知自適應(yīng)魯棒控制不僅能夠提高系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能，而且能夠以更高的精確度跟蹤連續(xù)位置指令，更好地消除摩擦帶來的跟蹤誤差，實現(xiàn)平穩(wěn)跟蹤。

4 結(jié) 論

1)為提升電磁直線執(zhí)行器在動態(tài)摩擦力下的跟蹤性能與干擾抑制性能，提出基于改進(jìn)LuGre模型的電磁直線執(zhí)行器自適應(yīng)魯棒控制方法，在保障控制精確度前提下，響應(yīng)迅速，能夠有效克服非線性摩擦、外界擾動和系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響。

2)基于改進(jìn)LuGre模型的電磁直線執(zhí)行器自適應(yīng)魯棒控制中，非線性增益ks1與ks2是影響控制性能的關(guān)鍵參數(shù)；線圈電阻變化對超調(diào)量、JITAE與響應(yīng)時間影響皆較大，需合理設(shè)計散熱方案以避免溫升帶來的電阻變化。