康爾良，陳健

(哈爾濱理工大學 電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著“雙碳”目標的提出和新能源行業(yè)的快速發(fā)展，永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)因具有結(jié)構(gòu)簡單和效率高等優(yōu)點，被廣泛應用在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中。PMSM最常用的控制方法之一是磁場定向控制，通常需要用編碼器等獲取準確的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信息。但是，位置傳感器的安裝易受環(huán)境影響，會增加系統(tǒng)成本和降低系統(tǒng)可靠性[1-2]。

因此，永磁同步電機無位置傳感器控制一直是被關(guān)注的熱點問題[3]。在眾多的估計方法中，滑模觀測器法(sliding mode observer，SMO)因結(jié)構(gòu)簡單和魯棒性強等優(yōu)點被廣泛應用在PMSM中高速無位置傳感器控制系統(tǒng)中[4-7]。

針對滑模觀測器中sign函數(shù)的存在會造成抖振問題[8]，文獻[9-13]中分別采用不同的連續(xù)函數(shù)取代滑模觀測器中的sign函數(shù)作為切換控制函數(shù)，從而減小抖振，提高轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置估計精度。文獻[14-19]中采用超螺旋滑模觀測器(super twisting algorithm-sliding mode observer，STA-SMO)對轉(zhuǎn)速估計。相比采用sign函數(shù)作為切換函數(shù)的一階滑模觀測器而言，STA-SMO是將sign函數(shù)放在滑模變量的高階導數(shù)中，控制率中會含有sign函數(shù)的積分項，又因為積分本身具有濾波作用，因此可以實現(xiàn)對抖振的抑制。

但是，較大的固定滑模增益值會降低觀測器在低速時的估計精度，而較小的固定增益可能會造成高速時觀測器的不穩(wěn)定。而且，在基于STA-SMO的無位置傳感器控制系統(tǒng)中，常規(guī)PI控制器存在魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題[20]。

因此，出于提高轉(zhuǎn)速估計精度和控制系統(tǒng)魯棒性的目的，本文提出一種變增益的STA-SMO，同固定增益的STA-SMO相比，所提方法可以提高低速時轉(zhuǎn)速估計精度。根據(jù)初等擾動觀測器的基本原理，設計出一種新型轉(zhuǎn)矩觀測器，將估計出的轉(zhuǎn)矩值應用到基于新型趨近律的滑模轉(zhuǎn)速控制器中。相比PI控制器，基于新型趨近律和轉(zhuǎn)矩觀測器的控制器可以極大提高系統(tǒng)的動態(tài)響應和魯棒性。

1 永磁同步電機的數(shù)學模型

因PMSM是一個非線性強耦合的時變系統(tǒng)，常假設磁路不飽和，氣隙磁場空間中呈正弦分布，三相定子繞組對稱，忽略渦流和磁滯損耗等因素達到簡化分析過程的目的。在以上假設條件下，PMSM在α-β軸下的數(shù)學模型可以表示為：

(1)

式中：iα、iβ是α-β軸下定子電流值；uα、uβ是α-β軸下定子電壓值；Rs和Ls是定子電阻和電感；α-β軸下的反電動勢eα=-ωeψfsinθe、eβ=ωeψfcosθe，ωe和θe是電角速度和位置角；ψf是永磁體磁鏈。忽略電機運行過程中電感值的變化，即假設α-β軸下的電感值Ls是常數(shù)。

2 超螺旋滑模觀測器設計

2.1 超螺旋算法原理

超螺旋滑模理論是滑?？刂瓢l(fā)展中的重要成果之一，文獻[21]中已證明超螺旋算法具有穩(wěn)定性和有限時間收斂性，最基本的形式為：

(2)

文獻[21]中證明，如果式(2)中的擾動ρ1、ρ2全局有界，即

|ρ1|≤δ1|x1|1/2；ρ2=0。

(3)

而且k1、k2增益滿足：

(4)

則系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)收斂到滑模面，δ1是大于0的常數(shù)。

2.2 超螺旋滑模觀測器設計

基于上述超螺旋算法設計電流觀測器，將α-β坐標系下的電流當作狀態(tài)變量，即分別將x1=iα和x1=iβ代入式(2)中，則式(2)可以寫成：

(5)

擾動項ρ1為：

(6)

將式(6)代入式(5)可以得到電流觀測器方程為：

(7)

將式(6)代入式(3)中，式(3)可以重寫成：

(8)

對于足夠大的δ1，式(8)很容易滿足。

由式(7)減去式(1)得：

(9)

(10)

2.3 變滑模增益STA-SMO設計

雖然STA-SMO可以減小抖振，但是為保證電機在高速域的穩(wěn)定運行，滑模增益值必須足夠大且滿足式(4)中的穩(wěn)定性條件。但當電機運行在低速域時，較大的增益值會加劇觀測器的抖振，降低轉(zhuǎn)速的估計精度。同理，較小的滑模增益可能造成觀測器高速范圍內(nèi)的不穩(wěn)定。

因此，為提高STA-SMO的轉(zhuǎn)速估計精度，本文提出一種如圖1所示的滑模增益值隨估計轉(zhuǎn)速變化的變增益STA-SMO，滑模增益值為：

(11)

因為在較短的采樣周期內(nèi)，可認為轉(zhuǎn)速是保持不變的，所以在穩(wěn)定性分析時將式(11)中的k1、k2看作常數(shù)。根據(jù)電流觀測器方程和超螺旋算法原理，α軸擾動項ρ1可以表示為

(12)

(13)

由以上可知，全局有界性條件可以重寫成

(14)

(15)

(16)

必定存在足夠大的常數(shù)σ2滿足式(16)。

由以上分析可知，k1、k2滿足穩(wěn)定性條件(4)，即證明提出的基于變增益的超螺旋滑模觀測器是穩(wěn)定的。

3 新型滑模控制器設計

3.1 基于新型趨近律的轉(zhuǎn)速控制器設計

針對基于STA-SMO的控制系統(tǒng)中PI轉(zhuǎn)速控制器的魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題，提出一種新型滑模趨近律：

(17)

以下給出新型趨近律的穩(wěn)定性證明。

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(18)

對式(18)求導得

(19)

以上提出的新型滑模趨近律滿足滑模到達條件，可以保證運動軌跡在有限時間到達滑模面。

基于新型趨近律的滑模轉(zhuǎn)速控制器設計步驟和基于傳統(tǒng)趨近律的轉(zhuǎn)速控制器的設計步驟相同。

首先，設計滑模切換面

(20)

對滑模切換面求導得

(21)

基于STA-SMO的控制系統(tǒng)中PMSM的機械運動方程是

(22)

式中：J是轉(zhuǎn)動慣量；iq是q軸電流；TL是負載轉(zhuǎn)矩；B是阻尼系數(shù)。

將式(22)代入式(21)可得

(23)

將式(17)新型趨近律代入上式整理得

(24)

式(24)是基于新型趨近律設計的永磁同步電機滑模控制器輸出，即q軸電流的給定值，實現(xiàn)對永磁同步電機的轉(zhuǎn)速控制。

3.2 新型轉(zhuǎn)矩觀測器設計

根據(jù)文獻[22]中的擾動觀測器模型，PMSM新型轉(zhuǎn)矩觀測器可以設計成

(25)

轉(zhuǎn)矩的估計誤差可以表示為

(26)

將式(22)代入式(26)可得

(27)

因在采樣周期內(nèi)TL是定值，系統(tǒng)的動態(tài)誤差方程為

(28)

式(27)中含有估計機械角速度的導數(shù)項，而求導會導致估計轉(zhuǎn)矩值中出現(xiàn)噪聲，會影響觀測結(jié)果，從而對控制系統(tǒng)的魯棒性造成影響。

因此，將式(27)中含有導數(shù)項的部分看作一個整體的中間變量，即

(29)

則有

(30)

改進后的觀測器方程為：

(31)

根據(jù)李雅普諾夫理論對觀測器穩(wěn)定性分析

(32)

對式(32)求導得

(33)

將式(28)代入式(33)得

(34)

當滿足K<0，轉(zhuǎn)矩觀測器是穩(wěn)定的。

最終，設計的轉(zhuǎn)速滑?？刂破鞯碾娏鹘o定值是

(35)

基于變增益的STA-SMO和改進滑模轉(zhuǎn)速控制器的控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

4 仿真和實驗驗證

4.1 改進滑模無位置傳感器控制仿真結(jié)果

為驗證所提方法的有效性，在MATLAB/Simulink中，分別搭建基于固定增益值和基于變增益值的STA-SMO控制系統(tǒng)仿真模型，兩者都采用正交鎖相環(huán)的方法獲取轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，速度環(huán)都采用PI控制器。固定超螺旋滑模觀測器的滑模增益值k1=40，k2=200 000；變滑模增益值σ1=0.04，σ2=0.2；鎖相環(huán)的參數(shù)kp=2 000，kI=500；PI轉(zhuǎn)速環(huán)控制器的參數(shù)Kp=0.3，KI=0.7。

仿真中采用固定步長2e-7，仿真時間設置1 s，仿真和實驗中PMSM的參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM模型的參數(shù)

圖4是空載0時給定轉(zhuǎn)速300 r/min和0.5 s時給定轉(zhuǎn)速1 000 r/min，固定增益的STA-SMO轉(zhuǎn)速估計誤差，由圖中可以看出低速300 r/min時因為較大增益值的存在，估計誤差最大可達1.5 r/min。

由圖5變增益STA-SMO轉(zhuǎn)速估計誤差和圖4對比得，低速300 r/min時最大估計誤差僅有0.15 r/min，明顯提高低速時估計精度。

由圖6固定增益和圖7變增益STA-SMO轉(zhuǎn)子估計誤差可知，兩者都有較高的轉(zhuǎn)子位置估計精度，最大誤差僅有0.28 rad，但低速時變增益STA-SMO轉(zhuǎn)子位置估計精度更高。因為變增益STA-SMO中σ1、σ2的值是在估計轉(zhuǎn)速1 000 r/min時計算出的，所以當給定轉(zhuǎn)速是1 000 r/min時，固定增益和變增益的k1、k2值相等，可保證高速時STA-SMO是穩(wěn)定的。

圖8和圖9是變增益的k1和k2的波形圖。

由圖8和圖9中變增益值放大部分可知，隨估計轉(zhuǎn)速的增加，滑模增益逐漸增大，從而減小電機在低速時過大的滑模增益值造成抖振的現(xiàn)象，同時高速時足夠大的滑模增益值可以保證STA-SMO的穩(wěn)定性。

圖10和圖11是變增益STA-SMO估計的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置同實際的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置對比圖。

由圖10放大部分可知，在極短的時間內(nèi)變增益的STA-SMO可實現(xiàn)對實際轉(zhuǎn)速的準確估計。而且，由圖4的轉(zhuǎn)速估計誤差可看出，在給定轉(zhuǎn)速300 r/min時，最大估計誤差有15 r/min。在0.5 s，給定轉(zhuǎn)速是1 000 r/min時，轉(zhuǎn)速估計誤差僅有5 r/min。同樣，由圖11可得出，在整個1 s仿真時間內(nèi)，變增益STA-SMO能夠始終保持對轉(zhuǎn)子位置的精確估計。

為進一步驗證突加減負載時變增益STA-SMO轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置估計精度，在0和0.5 s給定轉(zhuǎn)速分別是300 r/min和1 000 r/min的基礎上，0.2 s時和0.6 s時分別加載4 N·m和卸載。

由圖12可知，在突加減載時，轉(zhuǎn)速估計誤差僅有最大0.6 r/min的變化，而且在極短的時間內(nèi)即可恢復。同樣，由圖13可得，加減負載對轉(zhuǎn)子位置估計精度影響較小，證明所提出的變增益STA-SMO具有一定的魯棒性。

由圖14可知，當0.2 s突加負載時，估計轉(zhuǎn)速和實際轉(zhuǎn)速下降12 r/min，且在0.3 s內(nèi)未能恢復到給定轉(zhuǎn)速。同樣在0.6 s突減負載時，轉(zhuǎn)速上升9 r/min且恢復時間較長。由以上仿真結(jié)果可知，變增益的STA-SMO在加減負載時依舊能夠保持對轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的精確估計，但是PI轉(zhuǎn)速控制器存在魯棒性差和動態(tài)響應慢的問題。

圖15是采用新型負載轉(zhuǎn)矩觀測器估計轉(zhuǎn)矩值和實際轉(zhuǎn)矩值的對比圖。

圖16是采用改進滑模轉(zhuǎn)速控制器的無位置系統(tǒng)中估計轉(zhuǎn)速和實際轉(zhuǎn)速的對比圖。

由圖16和圖14相比可知，基于新型轉(zhuǎn)矩觀測器和新型趨近律的滑模轉(zhuǎn)速控制器在0.2 s突加負載時，轉(zhuǎn)速只有不到3 r/min的下降而且恢復時間只有3 ms。在0.6 s突減負載時，轉(zhuǎn)速雖較低速時波動更大，但依舊能夠迅速達到給定轉(zhuǎn)速，而且在整個過程中估計轉(zhuǎn)速始終保持對實際轉(zhuǎn)速的精確估計，證明所提出的變增益的STA-SMO和新型趨近律的滑模控制器的理論正確性。

4.2 改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)實驗驗證

搭建如圖17所示的基于DSP28335的實驗平臺，驗證改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)的正確性。為驗證低速時所提方法的可靠性，給定轉(zhuǎn)速是400 r/min，在3 s時突加4 N·m的負載。圖18是基于以上實驗條件下實際轉(zhuǎn)矩和估計轉(zhuǎn)矩波形圖，圖19和圖20分別是轉(zhuǎn)速估計誤差和轉(zhuǎn)子位置估計誤差，圖21是估計轉(zhuǎn)速波形圖。

圖18表明當3 s突加負載時，新型轉(zhuǎn)矩觀測器可以在1 s時間內(nèi)實現(xiàn)對負載轉(zhuǎn)矩的觀測，而且具有較高的觀測器精度，證明所提新型轉(zhuǎn)矩觀測器理論是有效的。

由圖19和圖20變增益STA-SMO轉(zhuǎn)速估計誤差和轉(zhuǎn)子位置誤差可知，當在低速穩(wěn)定運行時，估計誤差不到1 r/min，轉(zhuǎn)子位置誤差保持在0.2 rad，證明變增益的STA-SMO具有較高的估計精度。

由圖21可得，在0.6 s時估計轉(zhuǎn)速達到給定轉(zhuǎn)速，超調(diào)較小。當3 s突加負載時，估計轉(zhuǎn)速雖具有一定程度的下降，但很快可以達到給定轉(zhuǎn)速并保持穩(wěn)定運行，證明基于新型轉(zhuǎn)矩觀測器和新型趨近律的滑模轉(zhuǎn)速控制器動態(tài)響應快，具有強魯棒性。由以上的實驗結(jié)果可知，本文所提出的改進滑模無位置傳感器控制系統(tǒng)具有可行性。

5 結(jié) 論

針對固定滑模增益STA-SMO低速時轉(zhuǎn)速估計精度低和基于STA-SMO的無位置傳感器控制系統(tǒng)中PI轉(zhuǎn)速控制器魯棒性差的問題，本文提出一種改進滑模無位置傳感器控制方法。通過仿真和實驗得出以下結(jié)論：

1)相較固定增益的STA-SMO，增益值隨轉(zhuǎn)速變化的變增益STA-SMO可以減小低速時轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置估計誤差，同時保證高速時觀測器的穩(wěn)定性。

2)基于新型轉(zhuǎn)矩觀測器和新型趨近律設計的滑模轉(zhuǎn)速控制器在加減負載時，相較PI轉(zhuǎn)速控制具有更快的動態(tài)響應和更強的魯棒性，而且在基于變增益STA-SMO估計出的機械角速度下，新型轉(zhuǎn)矩觀測器可以實現(xiàn)對負載轉(zhuǎn)矩的精確估計，從而保證新型滑模控制器具有更高的控制精度。

3)提出的改進滑模無位置傳感器控制方法，不僅可以提高轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的估計精度，還可以突加減負載時保持對給定轉(zhuǎn)速的準確跟蹤，從而實現(xiàn)高精度控制。