楊芳艷

(江蘇省淮北中學 江蘇 淮北 235000)

從21世紀技能和《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》來看,發(fā)展學生的高階思維已成信息時代下人才培養(yǎng)的核心取向,是實現(xiàn)由知識本位向思維和素養(yǎng)本位轉變的關鍵所在。數(shù)學作為思維的體操,其核心就是思維教育。在《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》的前言部分中,特別指出數(shù)學課程要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力與創(chuàng)新能力方面不可替代的作用,課程性質中也明確強調(diào)要培養(yǎng)學生的抽象思維、推理能力、創(chuàng)新意識和實踐能力。[1]杜威認為高階思維不是自然發(fā)生的,而是由“困惑”和“疑問”引發(fā)的,高階思維的發(fā)生就是反思—問題生成—探究、批判—解決問題的過程?？梢妴栴}是培養(yǎng)高階思維的載體,在教學中必須堅持以問題為導向,設計符合學生思維發(fā)展的問題鏈,有效引領學生思考,將思維過程顯性化。思考和解決問題鏈的過程就是學生高階思維發(fā)展的過程,因此將問題鏈類型與數(shù)學高階思維要素相對應,探討在初中數(shù)學學科教學中通過設置恰當?shù)膯栴}鏈,培養(yǎng)學生數(shù)學高階思維的實現(xiàn)途徑,有助于初中數(shù)學課堂中有效地開展學生高階思維的培養(yǎng),落實發(fā)展學生核心素養(yǎng)的教學目標。

1.數(shù)學高階思維構成要素

高階思維是一種以較高層次認知水平為主的綜合性能力,在教學目標分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評價和創(chuàng)造,主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力。[2]數(shù)學學科是學生高階思維培養(yǎng)的重要途徑之一,數(shù)學高階思維除具有一般性高階思維的共同屬性外,還應具有符合數(shù)學學科本質特征的獨有屬性。國內(nèi)學者在突出數(shù)學思維過程的基礎上,通過探索性和驗證性分析構建了數(shù)學批判性思維、數(shù)學創(chuàng)造性思維、數(shù)學元認知能力、數(shù)學問題解決能力四維度的初中生數(shù)學高階思維的結構模型。[3]放眼國際,PISA2021數(shù)學素養(yǎng)的結構要素中與高階思維直接相關的,包括數(shù)學推理以及通過表示、使用和解釋數(shù)學來解決問題的能力,并突出強調(diào)了數(shù)學推理在數(shù)學素養(yǎng)中的重要地位。[4]再者由數(shù)學課程標準中所體現(xiàn)的數(shù)學思維來看,中美兩國課程標準均包括數(shù)學建模能力與數(shù)學模型思想的培養(yǎng),中澳兩國課程標準強調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維,而發(fā)展學生問題解決及推理的數(shù)學思維,是中美澳三國所共有的數(shù)學課程能力目標。[5]因此在借鑒已有數(shù)學高階思維結構的基礎上,結合數(shù)學學科特征和數(shù)學思維過程,依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中的十個核心概念、課程基本理念以及初中學段課程目標,將數(shù)學高階思維劃分為數(shù)學抽象思維、數(shù)學邏輯思維、數(shù)學模型思維、數(shù)學創(chuàng)新思維、數(shù)學批判思維,并對初中數(shù)學高階思維五大構成要素的具體內(nèi)涵分別進行闡釋。

1.1 數(shù)學抽象思維。能夠從情境中抽象出數(shù)學符號,從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,從數(shù)量關系與空間形式中抽象出數(shù)學研究對象及其關系(數(shù)量關系、圖形關系、隨機關系)、運算法則、一般規(guī)律等。

1.2 數(shù)學邏輯思維。能夠運用運算及估算技能、圖形與幾何的性質與判定以及數(shù)據(jù)進行推斷,通過觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明等方法層層深入分析問題;能夠運用合情推理探索數(shù)學思路和結論,用演繹推理證明結論;能夠厘清知識之間的實質性聯(lián)系,構建數(shù)學知識網(wǎng)絡結構;能夠進行有邏輯、有條理的表述。

1.3 數(shù)學模型思維。能夠從生活或具體情境中抓住研究對象的本質特征,發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系,利用方程與不等式、函數(shù)關系、幾何圖形選擇合適的數(shù)學模型或建立數(shù)學模型解決問題;能夠根據(jù)實際意義檢驗模型并進行完善。

1.4 數(shù)學創(chuàng)新思維。能夠靈活、綜合地運用已有的數(shù)學知識和方法,甚至借助信息技術,尋求多樣化和最優(yōu)化的問題解決策略;能夠將一般性的規(guī)律和模型遷移應用到其他情境中,注重數(shù)學知識內(nèi)部、數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科的聯(lián)系和綜合運用。

1.5 數(shù)學批判思維。能夠獨立思考,進行分析、判斷、甄別和評價,敢于質疑并發(fā)表觀點;能夠對自己的知識技能、數(shù)學思維、解決問題的思想方法、情感態(tài)度進行反思評價和自我監(jiān)控調(diào)節(jié);能夠反思總結一般性的數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學結論等。

2.基于問題鏈的初中數(shù)學高階思維培養(yǎng)路徑

數(shù)學教學的一大任務是訓練學生思維,而數(shù)學問題鏈教學通過構建思考型問題引導學生進行清晰、明確、有邏輯的深入思考,同時問題間的跨度也可以使學生開展多樣的思維探索,[6]為促進學生高階思維發(fā)展提供了可實施的路徑和有效手段。初中數(shù)學的四能目標與高階思維的發(fā)生過程“反思—問題生成—探究、批判—解決問題”有著總體一致性,[7]故以發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題、解決問題、發(fā)展問題和反思問題為五大課堂教學環(huán)節(jié),分別從以情境型問題鏈導入,以階梯型問題鏈展開,以探究型問題鏈建模,以發(fā)散型問題鏈拓展,以反思型問題鏈深化五個方面探索了初中數(shù)學課堂教學高階思維的培養(yǎng)路徑,指向學生的數(shù)學抽象思維、數(shù)學邏輯思維、數(shù)學模型思維、數(shù)學創(chuàng)新思維、數(shù)學批判思維五大數(shù)學高階思維的發(fā)展。

2.1 發(fā)現(xiàn)和提出問題:以情境型問題鏈導入,培養(yǎng)數(shù)學抽象思維。在發(fā)現(xiàn)和提出問題的導入環(huán)節(jié)主要培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)學關系的抽象思維能力,而在導入環(huán)節(jié)經(jīng)常會遇到教師創(chuàng)設了一定的教學情境,卻好像只是為了創(chuàng)設情境,其教學仍停留在發(fā)展學生記憶和理解等較低層次的思維水平上,缺少有效的情境型問題鏈,難以培養(yǎng)學生抽象思維能力。史寧中認為抽象有兩個層次,一是從感性具體到理性具體,二是符號化,[8]這既要求學生能將現(xiàn)實的問題數(shù)學化,又要求學生能從提取到的數(shù)學要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系、概念、命題等,故有效的情境型問題鏈應當是具有真實性和思考性的問題鏈。首先要基于真實性情境設置問題鏈,情境越真實、意蘊的問題越本原,越能引發(fā)學生的高階思維,調(diào)動學生的親身經(jīng)歷和已有知識,引起情感上的共鳴,在此基礎上還應包含學生所不熟悉的新信息和新知識,制造學生想知道卻又不知的認知沖突,誘發(fā)學生積極主動地從真實性情境中識別數(shù)學要素,抽象出數(shù)量或圖形的數(shù)學關系。其次,情境型問題鏈還應該具有思考性,教師在把握知識結構和數(shù)學的本質基礎上,應減少僅通過簡單的回憶、記憶、理解就能夠回答的問題,有意識地讓學生處于觀察、分析、比較、概括等復雜思考中,從而逐步抽象出數(shù)學問題的本質,促進學生的思維由直覺思維向抽象思維轉變。

【案例1】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”導入片段問題1:同學們?nèi)コ匈徫锒甲^自動人行扶梯嗎?你知道它傾斜的角度是多少嗎?問題2:你能從這個情境中抽象出一個怎樣的數(shù)學圖形呢?問題3:現(xiàn)已測量出扶梯所連接兩層間的高度和扶梯坡面長,你能求出扶梯的傾斜角度嗎?問題4:我們之前從哪些角度研究過直角三角形?還可以研究什么?問題5:假如超市一、二樓之間的高度為3m,要修建一個傾斜角度為30°的扶梯需要準備多長的扶梯坡面的材料呢?問題6:你能把這個問題轉化成數(shù)學問題嗎?已知了什么?要求什么?在學習銳角三角函數(shù)之前,學生已學過函數(shù)、三角形相似和勾股定理的知識并具備一定生活經(jīng)驗。問題1首先將學生帶入超市自動人行扶梯的生活情境,一是激活學生的生活經(jīng)驗,為銳角三角函數(shù)的學習提供真實性的生長點,引出學習三角函數(shù)的必要性;二是還原銳角三角函數(shù)在生活中的實際背景,在既熟悉卻又不知如何求解的認知沖突中,激發(fā)學生思考如何求扶梯傾斜角度的求知欲,使學生帶著期待和問題投入學習。問題2和問題3由情境到數(shù)學自然引入所要研究的數(shù)學問題,將學生置于觀察、分析、聯(lián)想之中,從貼近日常生活的真實情境中分別抽象出直角三角形的數(shù)學圖形以及“已知直角三角形的斜邊和一條直角邊,求這條直角邊所對的銳角度數(shù)”的數(shù)學問題。接著問題4通過回顧已研究過的直角三角形的邊與邊、角與角之間的關系,從數(shù)學內(nèi)部需要的角度引出將要研究的直角三角形邊和角的關系。最后問題5和問題6從解決實際問題需要的角度引發(fā)數(shù)學問題,不僅使學生了解引入三角函數(shù)的原因,還培養(yǎng)了學生用數(shù)學之眼觀察生活、從實際情境中抽象出數(shù)學圖形、將實際問題抽象成數(shù)學問題的習慣,強化抽象思維,打通學生較高層次的思路,實現(xiàn)從直觀經(jīng)驗到抽象為數(shù)學知識的過渡。

2.2 分析問題:以階梯型問題鏈展開,培養(yǎng)數(shù)學邏輯思維。邏輯思維能力是指通過分析、綜合、比較、判斷、推理、概括等進行合理思考的能力,在分析問題過程中離不開學生運用邏輯思維一步步厘清事物的性質、本質和相互關系。在課堂教學分析問題的過程中,教師往往為了在有限的時間內(nèi)追求“效率”,將知識填塞給學生,教師的提問也顯得較為隨機且沒有層次性和針對性,缺少“為什么”“怎么樣”等進一步深入的問題,表面上看似所用的時間減少了,實際上只是將書本上的知識“灌”給學生,學生缺少分析、綜合的邏輯思維過程,僅停留在被動接受知識等低層次的思維活動中,久而久之,勢必會影響學生高階思維的發(fā)展。而階梯型問題鏈注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,強調(diào)利用正向或逆向的思維方式提出一連串由淺入深的問題組,[11]需要學生運用精準的知識與方法和嚴謹?shù)倪壿嬎季S綜合分析問題。教師在創(chuàng)設階梯型問題鏈的過程中,首先要關注學生目前所處的認知水平和思維結構,從較為簡單、在學生已有經(jīng)驗范圍內(nèi)的問題入手,為思維的進階提供“腳手架”。其次關注知識的整體結構,避免那些分散和無意義的問題,使問題鏈成為一個系統(tǒng)性的組合。依據(jù)這兩個方面從簡單到復雜、從現(xiàn)象到本質、從低階到高階層層遞進,以合適的梯度螺旋上升,引導學生拾級而上,有邏輯地開展問題分析,向思維更深處邁進。

【案例2】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”分析片段問題1:你能用數(shù)學的符號和語言表達我們抽象出的問題嗎?問題2:在直角三角形ABC中,你能求出AB的值是多少嗎?依據(jù)是什么?問題3:如果一、二樓之間的高度是4m,扶梯的傾斜角度不變,我們需要多長的坡面材料呢?問題4:如果一、二樓之間的高度是am,扶梯的傾斜角度不變,又需要多長的坡面材料呢?問題5:你發(fā)現(xiàn)了什么?∠A的對邊與斜邊的比值與三角形的大小有關系嗎?問題6:能夠得到什么數(shù)學結論呢?問題7:用數(shù)學公式怎么表示∠A的對邊與斜邊的關系呢?問題1完全拋開實際背景,使學生整理思路,用有邏輯的數(shù)學語言表征出數(shù)學問題,在學生依據(jù)“Rt△ABC中,30°所對的直角邊是斜邊的一半”回答問題的基礎上,進一步按照學生思維的發(fā)展性和知識結構之間的內(nèi)在邏輯,從具體的數(shù)到用字母表示、從文字語言到符號語言兩個維度循序漸進地設置系統(tǒng)性的問題鏈。由于銳角三角函數(shù)的概念具有一定抽象性,問題3和問題4首先由數(shù)過渡到字母,初步感受直角三角形中銳角固定不變時,對邊與斜邊之間的變化關系,為實現(xiàn)正弦中幾何知識與函數(shù)觀點之間的跨度搭建起橋梁。而后問題5使思維再上一個臺階,進一步體會∠A的對邊與斜邊的比值是固定值,并嘗試據(jù)此得出數(shù)學結論,再以問題7引導學生用準確的數(shù)學符號語言表達∠A的對邊與斜邊的關系,關注點轉向“比值”研究,將問題分解為“小步子”,一層一層進行邏輯嵌套,在文字語言歸納和概括的基礎上進一步上升到符號語言表達,環(huán)環(huán)相扣、層層遞進引發(fā)學生有邏輯地思考問題,既引導了學生進行有邏輯地表述形成規(guī)范化結論,構建知識網(wǎng)絡,又能將學生思維過程暴露出來,實現(xiàn)學生邏輯思維“質”的飛躍。

2.3 解決問題:以探究型問題鏈建模,培養(yǎng)數(shù)學模型思維。在經(jīng)歷分析問題之后往往需要構建數(shù)學模型最終解決數(shù)學問題,數(shù)學建模既屬于問題解決的一部分,也可以視為問題解決的一種特殊模式。而在課堂教學中往往會出現(xiàn)不經(jīng)歷帶領學生建模的思考過程,教師直接告訴學生結論,或者是將活動和任務派給學生,缺乏問題引領的現(xiàn)象,在看似忙碌而又熱鬧的課堂氛圍背后學生卻不知道怎樣合理地進行探究,也不知道怎樣有效調(diào)用數(shù)學模型思想來解決問題,更不用說培養(yǎng)和提升學生的模型思維了。探究型問題鏈是教師啟發(fā)學生大膽探索、獨立思考、構建模型解決問題的問題鏈,在設置探究型問題鏈時要注意把握以下兩個特征:一是具有挑戰(zhàn)性,不具有挑戰(zhàn)性的問題任務僅運用無意識的自動化策略或者已知的數(shù)學知識就可以完成,無法提起學生的學習興趣,只有有挑戰(zhàn)性的問題才能激發(fā)學習者的欲望,使學生渴望像研究者一樣逐步突破思維障礙,從而主動地去探索合適的數(shù)學方法來解決問題;二是具有思考性,用富有思考性的問題充分調(diào)動學生的積極性,激發(fā)學生的潛能去大膽地思考和探究,在探究中掌握數(shù)學的思想方法,在思考中提升模型思維,鍛煉數(shù)學學習能力。探究型問題鏈也被視為“有效教學的核心”,是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的有效路徑,是發(fā)展用模型思維解決問題的有效方法,更是培養(yǎng)探究型人才的有效途徑。

【案例3】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”探究建模片段問題1:任意畫一個Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,計算∠A的對邊與斜邊的比BCAB,你能得出什么結論?問題2:任意畫一個Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=60°,計算∠A的對邊與斜邊的比BCAB,你能得出什么結論?問題3:當∠A取其他度數(shù)的銳角時,其對邊與斜邊的比是否也是一個固定值呢?問題4:當∠A的度數(shù)發(fā)生改變時,這個“固定值”會跟著發(fā)生改變嗎?我們借助幾何畫板來觀察,當∠A的度數(shù)變化時,什么在變,什么是不變的?當∠A的度數(shù)不變,改變邊長的長度時,什么在變,什么沒有變?問題5:你能證明我們得到的“在直角三角形中,當銳角一定時,比值是固定值”的猜想嗎?首先從問題1“∠A=45°”和問題2“∠A=60°”的特殊情況入手,由簡單、易于解決的問題出發(fā),調(diào)動學生積極性的同時為后續(xù)正遷移的發(fā)生奠定基礎。其次從∠A為任意度數(shù)、∠A度數(shù)變化兩個方面設置探究型問題鏈,經(jīng)歷從特殊到一般的過程,為學生設置挑戰(zhàn)和思考的階梯,一方面通過探究、歸納等方法發(fā)現(xiàn)直角三角形中,當銳角一定時,其對邊與斜邊的比值的特點,加深對“對邊與斜邊比值”的認識,強化以模型思想探究問題的能力;另一方面借助幾何畫板的演示,滲透數(shù)形結合思想,引導學生觀察概括在動態(tài)過程中變與不變的量,使學生有效調(diào)用模型思想,提煉問題本質,檢視自己的思維過程,總結出動態(tài)變化過程中的規(guī)律,這是學生自己剖析問題、發(fā)現(xiàn)結論的過程,而非教師直接告訴答案。同時問題5為學生提供自主探究的空間,證明猜想的合理性,引導學生表達思考的路徑,最后引出固定值叫作正弦的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,把銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對邊斜邊=ac。只有讓學生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和探究過程,并有邏輯地進行證明和表達,才能使學生的理解由單一表面上升到統(tǒng)一整體的模型思維層面,以探究型問題鏈建模促進了對知識的深度理解,更滲透了數(shù)學的思想方法。

2.4 發(fā)展問題:以發(fā)散型問題鏈拓展,培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新思維。當前應試型的課堂教學中教師往往僅通過提問學生“是不是”“對不對”等諸如此類低級而又封閉性的問題來檢查學生對知識的理解程度,或者企圖讓學生沉浸在高密度、低認知的提問和大容量、重復式的習題訓練中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維既不能啟發(fā)學生多角度思考問題,又不利于發(fā)生知識遷移,更談不上培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。數(shù)學創(chuàng)新思維的培養(yǎng)需要發(fā)散型的問題鏈作為土壤,幫助學生思維枝葉般地生長,思考和解決發(fā)散型問題的過程就是數(shù)學創(chuàng)新思維孕育和成長的過程。設置發(fā)散型問題鏈一方面要確保立體性,從不同角度、不同層次促進學生思考,能夠發(fā)現(xiàn)解決問題的多種方法甚至選擇出最優(yōu)之法,打破以往的思維定勢和思維慣性,引導學生思維向縱深和拓寬發(fā)展;另一方面要具備開放性,即圍繞中心問題,輻射出其他相關聯(lián)的問題,這些問題是不能直接從教材中找到答案的,或者沒有固定答案,是與數(shù)學內(nèi)在知識本質相聯(lián)系,或與其他學科和生活實際相聯(lián)系的問題鏈,幫助學生在更廣闊的空間里使創(chuàng)新性思維茁壯成長。