■潘 霞

一、緣起

2021年10月13日至15日，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室在鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)茅以升實(shí)驗(yàn)學(xué)校舉辦了“2021年江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)”，筆者參加了“蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)（上）‘角（2）’”這節(jié)課的評(píng)比，榮獲佳績(jī)。在這節(jié)課的設(shè)計(jì)過(guò)程中，用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。如何創(chuàng)設(shè)探索活動(dòng)，幫助學(xué)生搭建思維階梯，在用量角器畫一個(gè)角等于已知角的基礎(chǔ)上思考并遷移作圖方法呢？下面呈現(xiàn)此片段的教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析。

二、教學(xué)片段實(shí)錄與評(píng)析

活動(dòng)（一）用量角器畫一個(gè)角等于已知角。

師：同學(xué)們，你會(huì)畫一個(gè)40°的角嗎？怎么畫？

生：用量角器畫40°的角。

師：量角器可以畫一個(gè)大于0°小于180°的角。請(qǐng)大家動(dòng)手畫一下，并回顧一下用量角器畫一個(gè)角等于已知角的作圖步驟。

生：量角（對(duì)心、對(duì)線、讀數(shù)）——畫一邊（畫射線）——定關(guān)鍵點(diǎn)（對(duì)心、對(duì)線、描點(diǎn)）——畫另一邊（畫射線）。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生理解用量角器畫等角的關(guān)鍵步驟是要找到關(guān)鍵點(diǎn)，而關(guān)鍵點(diǎn)的位置是根據(jù)度量已知角時(shí)的讀數(shù)來(lái)確定的，從而啟發(fā)學(xué)生思考如何用特殊的量角器畫等角。

活動(dòng)（二）用特殊的量角器畫一個(gè)角等于已知角。

層次1：用沒(méi)有刻度的量角器畫一個(gè)角等于已知角。

師：（拿出一個(gè)半圓形紙片。）老師也帶來(lái)一個(gè)量角器，同學(xué)們觀察一下，老師的量角器跟你們的有什么區(qū)別？

生：沒(méi)有刻度線。

師：沒(méi)有刻度線的量角器，用它怎么畫一個(gè)角等于已知角？

生：可以先標(biāo)記號(hào)，再?gòu)?fù)制記號(hào)。

師：怎么標(biāo)記號(hào)？

生：用半圓形紙片對(duì)心對(duì)線，找到已知角的另一邊與量角器邊緣弧的交點(diǎn)，做標(biāo)記。

師：怎么復(fù)制記號(hào)？

生：作一條射線為角的一邊，將半圓形紙片與這條邊對(duì)心對(duì)線，描出記號(hào)，確定關(guān)鍵點(diǎn)，畫出角的另一邊。

層次2：用沒(méi)有零刻度線且沒(méi)有刻度的量角器畫一個(gè)角等于已知角。

師：（拿出一個(gè)兩邊都破損的半圓形紙片。）老師這里還有一個(gè)量角器，這跟剛才相比又有什么不一樣的地方？

生：沒(méi)有零刻度線。

師：用它怎么畫一個(gè)角等于已知角？怎么標(biāo)記號(hào)？

生：兩邊破損，沒(méi)有零刻度線，先任意折出一條零刻度線，接下來(lái)和剛才的方法一樣。

師：折零刻度線，相當(dāng)于找到了零刻度線與量角器邊緣弧的交點(diǎn)，也就是零刻度點(diǎn)。實(shí)際上作了幾個(gè)記號(hào)？

生：兩個(gè)，一個(gè)零刻度點(diǎn)，一個(gè)讀數(shù)的點(diǎn)。

師：零刻度線的位置固定嗎？

生：不固定。

師：那說(shuō)明這兩個(gè)標(biāo)記號(hào)的位置不唯一。

（也有同學(xué)直接找兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，再?gòu)?fù)制標(biāo)記點(diǎn)，視課堂生成靈活處理。）

層次3：用幾何畫板觀察兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)之間的距離隨著角的大小的變化而變化。

師：（打開(kāi)幾何畫板。）同學(xué)們，這兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)都標(biāo)在哪里？

生：量角器的邊緣弧上。

師：標(biāo)記點(diǎn)的位置不唯一（拖動(dòng)其中一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，引導(dǎo)觀察。），其中一個(gè)點(diǎn)的位置發(fā)生變化，另一個(gè)點(diǎn)也跟著發(fā)生變化，但不變的是什么？

生：兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。

師：（幾何畫板顯示兩點(diǎn)之間的距離，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。）如果角度改變，兩點(diǎn)之間的距離會(huì)發(fā)生變化嗎？（用幾何畫板演示，學(xué)生觀察。）

生：會(huì)，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離隨著角的大小的確定而確定，隨著角的大小的變化而變化。

師：依據(jù)上面問(wèn)題的解決，用特殊量角器畫等角的步驟有哪些？

生：畫一邊——標(biāo)記號(hào)——復(fù)制記號(hào)——畫另一邊。

設(shè)計(jì)意圖：從用量角器到用沒(méi)有刻度的量角器，再到用破損的量角器畫一個(gè)角等于已知角，經(jīng)歷從有刻度的量角器（讀數(shù)），到?jīng)]有刻度的特殊量角器（標(biāo)記）的過(guò)程，借助幾何畫板的演示讓學(xué)生感受到兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的位置與角的大小的關(guān)系，從而歸納出用特殊量角器畫等角步驟：畫一邊——標(biāo)記號(hào)——復(fù)制記號(hào)——畫另一邊，而這個(gè)步驟與用尺規(guī)作等角的步驟是一脈相承的。

活動(dòng)（三）學(xué)生嘗試用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角。

師：如果將作圖工具換成沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，如何標(biāo)記號(hào)并復(fù)制記號(hào)，從而作出一個(gè)角等于已知角？請(qǐng)小組合作思考并嘗試解決問(wèn)題。

（小組合作：先獨(dú)立思考，再小組交流，最后派代表展示交流。）

（如果學(xué)生沒(méi)有思路，可以適當(dāng)引導(dǎo)。）

師：記號(hào)標(biāo)在量角器的邊緣弧上，量角器的邊緣弧是什么形狀？

生：半圓。

師：記號(hào)是角的兩邊與半圓的交點(diǎn)，半圓怎么畫？用什么工具？

生：用圓規(guī)畫半圓。

師：半圓的半徑是否有要求？

生：沒(méi)有，任意半徑的半圓。

師：記號(hào)找到了，接下來(lái)如何復(fù)制記號(hào)？先復(fù)制哪個(gè)記號(hào)？

生：先復(fù)制角的一邊與半圓的交點(diǎn)，再?gòu)?fù)制角的另一邊與半圓的交點(diǎn)，復(fù)制后的兩點(diǎn)與之前的兩點(diǎn)在相同半徑的半圓上。

設(shè)計(jì)意圖：類比用特殊量角器畫等角的步驟，用復(fù)制的觀點(diǎn)思考如何借助尺規(guī)標(biāo)記號(hào)、復(fù)制記號(hào)來(lái)畫一個(gè)角等于已知角。讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)（刻度）到形（標(biāo)記），從有形（量角器）到（用圓規(guī)）造“形”，從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具象到抽象，架設(shè)通往用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角的梯子，逐步引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。

活動(dòng)（四）歸納用尺規(guī)作等角的步驟。

（教師總結(jié)步驟：畫一邊——作弧——定點(diǎn)——作另一邊。隨后引導(dǎo)學(xué)生用三角形的穩(wěn)定性檢驗(yàn)兩角是否相等，并美化過(guò)程。學(xué)生獨(dú)立完善作圖過(guò)程。）

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在觀察、探索、交流的基礎(chǔ)上，嘗試歸納出“作一個(gè)角等于已知角”的方法，給出規(guī)范的作圖步驟，完善作圖過(guò)程，并美化作圖過(guò)程。

活動(dòng)（五）感受用尺規(guī)作圖的必要性。

（教師介紹用尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)史，播放生活中用尺規(guī)作圖應(yīng)用的小視頻。）

設(shè)計(jì)意圖：適時(shí)引入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生了解用尺規(guī)作圖的由來(lái)并感受學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖的必要性，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是為了更好地服務(wù)生活。

三、教學(xué)思考

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)初步地認(rèn)識(shí)了角，會(huì)用量角器畫一個(gè)角等于已知角，但學(xué)生對(duì)如何用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角既缺乏知識(shí)基礎(chǔ)也缺乏經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。本節(jié)課的難點(diǎn)是如何在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上想到用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角。

為了化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，需要給學(xué)生搭建合適的梯子讓學(xué)生逐級(jí)攀爬，達(dá)到會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的目的。筆者通過(guò)四個(gè)思維遞進(jìn)的活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)畫一個(gè)角等于已知角的操作流程：（1）如何用一副三角尺畫出一個(gè)特殊角；（2）如何用量角器畫出一個(gè)角等于已知角；（3）如何用特殊的量角器畫出一個(gè)角等于已知角；（4）如何用尺規(guī)畫等角。這四個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具象到抽象的思維過(guò)程，讓學(xué)生在做的過(guò)程中通過(guò)前后活動(dòng)操作的關(guān)系分析，體驗(yàn)和感悟畫一個(gè)角等于已知角的實(shí)質(zhì)，從而內(nèi)化知識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

筆者在用量角器畫等角的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思考用尺規(guī)畫等角。從讀“數(shù)”到標(biāo)“形”，從“有形”到“造形”，摒棄了傳統(tǒng)的按部就班根據(jù)步驟畫圖的教學(xué)模式，一步一步引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)知識(shí)生長(zhǎng)和思維發(fā)展的過(guò)程，在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過(guò)從特殊到一般的研究思路，類比量角器畫一個(gè)角等于已知角，思考如何用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角。通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐操作，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高他們解決問(wèn)題的能力，讓他們充分感受“做”數(shù)學(xué)的魅力。