［摘? 要］ 說理能力，是數(shù)學(xué)思維能力的外在表現(xiàn). 提高說理能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 基于理論研究與教學(xué)實(shí)踐，文章提出培養(yǎng)說理能力的路徑，即引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特點(diǎn)說理，引導(dǎo)學(xué)生抓住計(jì)算的算理過程說理，引導(dǎo)學(xué)生抓住應(yīng)用題的思路說理，引導(dǎo)學(xué)生抓住證明題的推理過程說理.

［關(guān)鍵詞］ 說理；概念；算理；應(yīng)用題；證明題

數(shù)學(xué)語言區(qū)別于其他語言，它既是一種自然語言，又是一種符號(hào)語言和圖形語言，如何利用數(shù)學(xué)語言的不同表現(xiàn)形式進(jìn)行說理，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)不可忽視的內(nèi)容. 學(xué)生的說理能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的外在表現(xiàn). 提高學(xué)生的說理能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 教學(xué)中教師該如何培養(yǎng)學(xué)生的說理能力呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)抓住不同教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，有的放矢地加以科學(xué)指導(dǎo).

引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特點(diǎn)說理

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，概念教學(xué)中，學(xué)生不僅要說清楚數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特點(diǎn)，而且要準(zhǔn)確無誤地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延. 因此，概念教學(xué)中，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特點(diǎn)教學(xué)放在首位，保障學(xué)生能說出關(guān)鍵性的詞語. 此外，對(duì)于某些近似概念，教師應(yīng)讓學(xué)生說出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并加以對(duì)比［1］.

比如，在圓錐曲線的教學(xué)中，如何看待橢圓和雙曲線？由此，教師可以先讓學(xué)生完成折紙、畫圖等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓與雙曲線的形成過程，感悟這兩種二次曲線的圖像特點(diǎn)，然后根據(jù)定義明晰兩者之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

橢圓與雙曲線的共同點(diǎn)：（1）都是二次曲線；（2）都是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形；（3）都是有心曲線；（4）都有焦點(diǎn)在橫軸上和縱軸上兩種情形.

不同點(diǎn)：（1）橢圓是封閉曲線，而雙曲線是開放曲線；（2）它們的離心率的范圍不一樣；（3）橢圓在一個(gè)矩形之內(nèi)，且與矩形的邊相切，而雙曲線被夾在兩條漸近線之間.

對(duì)概念的理解，教師也可以讓學(xué)生“看圖說話”，看橢圓和雙曲線的圖形，分別說出它們的定義圖形的特征，這種數(shù)形結(jié)合思想更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特征.

引導(dǎo)學(xué)生抓住計(jì)算的算理過程說理

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開計(jì)算，而計(jì)算往往離不開推理，邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩個(gè)要素. 學(xué)生通過計(jì)算，可以鞏固并提高所學(xué)的計(jì)算方法，同時(shí)通過有理有據(jù)的計(jì)算，可以培養(yǎng)邏輯推理能力. 在計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)算理教學(xué)，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“算”，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“說”，這樣既能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也能培養(yǎng)學(xué)生的說理能力. 那么，應(yīng)讓學(xué)生說什么呢？在解答問題前，可以讓學(xué)生先審題：先說說題目的條件與結(jié)論，再說說所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，然后說說解答問題的思路與策略，最后說說解題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤. 教學(xué)中，教師可以讓一個(gè)學(xué)生完成，也可以像成語接龍那樣讓多位學(xué)生組合完成，體現(xiàn)新課標(biāo)合作學(xué)習(xí)的理念［2］.

（1）求角B的大??；

（2）若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，OA=2OB=4，記∠AOB=α，用含α的三角函數(shù)式表示平面四邊形OACB的面積并求面積的最大值．

面對(duì)此題，教師可以讓學(xué)生三說：

第一，讓學(xué)生說題：（1）運(yùn)算對(duì)象是角B，由三角函數(shù)的恒等變換可求出B的值. （2）運(yùn)算對(duì)象是平面四邊形OACB面積的表達(dá)式和面積的最大值．由題意可得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式及余弦定理可求得平面四邊形OACB的面積關(guān)于α的表達(dá)式，從而求出平面四邊形OACB面積的最大值.

第二，讓學(xué)生說解題過程（略）.

第三，讓學(xué)生說解題感悟（略）.

本題是較常見的一類三角函數(shù)綜合題. 解答本題必須理解運(yùn)算對(duì)象：本題運(yùn)算的是一個(gè)三角函數(shù)中的求角問題和面積最值問題，主要考查的是三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用，考查的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力. 只有明確了運(yùn)算對(duì)象，方可找到解題策略：（1）求角B的值，必然要對(duì)已知等式cosC+（cosA－sinA）cosB=0進(jìn)行恒等變形. 該等式共有三個(gè)量，肯定需要將其中一個(gè)量轉(zhuǎn)化成另外兩個(gè)量并表示出來，再對(duì)轉(zhuǎn)化成的兩個(gè)量進(jìn)行變形，從而達(dá)到只剩其中一個(gè)量的目的. （2）思路很明確，通過余弦定理求出AB的關(guān)系式，得到平面四邊形OACB的面積表達(dá)式，利用三角函數(shù)的有界性求出最值. 求出平面四邊形OACB的面積表達(dá)式是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)！

事實(shí)上，在解題教學(xué)中，說如何解題比純粹解題的要求更高，能讓學(xué)生“知其然又知所以然”，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界.

引導(dǎo)學(xué)生抓住應(yīng)用題的思路說理

數(shù)學(xué)解題貴于解題思路的梳理，而解題思路源于數(shù)學(xué)題本身. 所謂思路，就是學(xué)生在解題時(shí)分析思考的方法. 而解題思路的形成，離不開數(shù)學(xué)閱讀能力. 實(shí)際應(yīng)用題是高中數(shù)學(xué)中比較常見的一類問題，這類問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，難在文字關(guān)、事理關(guān)和數(shù)理關(guān). 這三關(guān)分別考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)解題能力，每一步轉(zhuǎn)化都必須有理有據(jù)，步步為營，教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生說題，說數(shù)學(xué)模型，說解題過程，通過“說”來突破實(shí)際應(yīng)用題的“三關(guān)”［3］.

例2 南京市江北新區(qū)計(jì)劃在一個(gè)豎直長度為20米的瀑布AB正前方修建一座觀光電梯DE. 如圖1所示，瀑布底部A距離水平地面的高度AC為60米，電梯上設(shè)有一個(gè)安全拍照口P，P上升的最大高度為60米. 設(shè)P距離水平地面的高度為a米，P處拍照瀑布的視角∠BPA為θ. 攝影愛好者發(fā)現(xiàn)，要使照片清晰，視角θ不能小于30°.

（1）當(dāng)a=50時(shí)，視角θ恰好為30°，求電梯和山腳的水平距離CD.

（2）要使電梯拍照口P的高度a在52米及以上時(shí)，拍出的照片均清晰，請(qǐng)求出電梯和山腳的水平距離CD的取值范圍.

本題所含的信息量較大，教師可以先讓學(xué)生讀懂題目要表達(dá)的意思，然后尋找數(shù)學(xué)模型，最后進(jìn)行解答. 解答后，再請(qǐng)學(xué)生重述解題過程.

生1：對(duì)于第（1）問，先設(shè)CD=x米，再過P作PH⊥BC，垂足為H. 利用兩角差的正切公式建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出CD=x=10（米）.

讓學(xué)生說思路、說解法遠(yuǎn)遠(yuǎn)比教師一個(gè)人“自圓其說”所得效果好得多，這樣不僅可以鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，還能提高學(xué)生分析問題與解決問題的數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生感受到應(yīng)用題其實(shí)并不可怕.

引導(dǎo)學(xué)生抓住證明題的推理過程說理

在高中數(shù)學(xué)中，立體幾何證明題是唯一必考的證明題，主要考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，解題過程處處體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化思想. 如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)就是一個(gè)說理過程，教師可用其培養(yǎng)學(xué)生的說理能力.

例3 在如圖2所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）求多面體ABCDE的體積．

教師首先可以請(qǐng)學(xué)生說思路：

生3：在平面ABC內(nèi)作輔助線OF→證明DE∥OF→將多面體ABCDE分割成兩個(gè)三棱錐→求兩個(gè)三棱錐的體積之和.

然后請(qǐng)學(xué)生說步驟：

生4：第一步，畫出必要的輔助線，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化；第二步，寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分；第三步，明確寫出所證結(jié)論；第四步，對(duì)多面體進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化（分割或拼補(bǔ)）；第五步，分別計(jì)算分割的幾何體的體積并求和（或拼補(bǔ)的幾何體的體積并求差）；第六步，反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及答題是否規(guī)范.

最后請(qǐng)學(xué)生規(guī)范解答（略）.

解題教學(xué)中有三個(gè)步驟，即教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生分析問題、表達(dá)問題和證明問題，能大大提高學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力和說理能力.

從某種意義上講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是為了讓學(xué)生明事理、辨是非. 因此，培養(yǎng)與提高學(xué)生的數(shù)學(xué)說理能力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一方.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 李曉波. 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“問題串”設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（07）：6-10.

［2］? 宋輝. 一個(gè)問題的算法、算理及變式研究［J］. 數(shù)學(xué)之友，2020（01）：66-68.

［3］? 黃英芬，顏寶平，龍紅蘭. 從應(yīng)用題到建模問題的回譯——一種開發(fā)數(shù)學(xué)建模素材的新思路［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（09）：34-37.

作者簡介：周穎（1990—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.