［摘? 要］ 從學生生活中熟悉的現(xiàn)象出發(fā)，以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，經(jīng)歷簡單問題數(shù)學建模的全過程，在自主探究和合作學習中，體驗其蘊含的數(shù)學思想方法，適應(yīng)初高中數(shù)學學習方式的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)自身個性持續(xù)發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；數(shù)學思想；數(shù)學建模

背景介紹

1. 時代背景

隨著《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的發(fā)布，我國課程改革進入了新階段，其本質(zhì)特點是從“以知識為本”的教育教學向“以人為本”的教育教學轉(zhuǎn)變. 過去的教育是為了學會知識，現(xiàn)在的教育不僅僅要掌握知識，更重要的是要讓學生學會學習，實現(xiàn)從知識到能力再到素養(yǎng)的跨越，所以在教學設(shè)計上，更應(yīng)關(guān)注學生思維品質(zhì)的發(fā)展，使其在主動學習和知識應(yīng)用的過程中，逐步形成和發(fā)展核心素養(yǎng).

2. 教學內(nèi)容

順應(yīng)時代的發(fā)展，《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》將高中數(shù)學內(nèi)容分為四個模塊，并加入了預備知識. 其中預備知識作為初高中銜接的橋梁引領(lǐng)學生走進高中數(shù)學，它為學生后期的學習提供了“知識”和“思想”兩方面的準備，教師在教學設(shè)計時，應(yīng)抓住每節(jié)課的特點，研究教材安排內(nèi)容獨到的一面，挖掘內(nèi)涵，拓展外延.

“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”這節(jié)課有其獨特的地方，首先，生活中存在著大量的不等關(guān)系，抽象出的不等式、不等式組在解決實際問題時有著重要的應(yīng)用，本節(jié)課中的一元二次不等式亦是如此，它在后續(xù)研究函數(shù)時也有一定的應(yīng)用，熟練掌握其內(nèi)涵能為高中數(shù)學學習提供工具方面的支持. 其次，與初中的學習方式不同，高中數(shù)學學習更加關(guān)注知識背后一般的思想方法，設(shè)計本節(jié)課時，更應(yīng)關(guān)注思想方法的提煉，使學生經(jīng)歷三個“一次”關(guān)系同三個“二次”關(guān)系的類比，從求解特殊的一元二次方程歸納為一般的一元二次方程的解法，用函數(shù)思想整合方程和不等式的全過程，形成函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識，為后面函數(shù)的學習奠定基礎(chǔ).

教學目標與重難點

1. 教學目標

通過類比自主構(gòu)建一元二次不等式的概念，通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的聯(lián)系，獲得用二次函數(shù)求解一元二次不等式的一般性解法，體驗用函數(shù)觀點看等式、不等式的豐富內(nèi)涵.

2. 教學重難點

借助于二次函數(shù)求解一元二次不等式，認識函數(shù)的重要性，體會數(shù)學的整體性，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

教學設(shè)計

1. 源于生活，建構(gòu)模型

生活現(xiàn)象：開學初，我們會在教室后墻設(shè)計一個學習園地. 你會如何設(shè)計？

分析：布置學習園地源于學生生活，他們參與過或者見過這個現(xiàn)象，以此為切入點，能充分調(diào)動學生的積極性與參與度，形成以學生為主體的課堂氛圍. 讓學生深切感知數(shù)學就在身邊，從而引發(fā)他們對生活的思考，潛移默化地用數(shù)學的眼光觀察世界.

生1：我會先設(shè)計一個框架，圍上花邊，然后在上面貼上“學習園地”的圖案.

生2：一般情況下，會設(shè)計成矩形框架，根據(jù)學習園地的面積、后墻空間和美觀程度進行設(shè)計.

師：現(xiàn)有花邊24分米，你將如何設(shè)計？

生3：優(yōu)先考慮學習園地的使用價值，將24分米的花邊全部用于設(shè)計，求其最大面積.

生4：假設(shè)矩形學習園地的一邊長為x分米，則另一邊長為（12-x）分米，面積為S平方分米. 因為x>0，12-x>0，所以S=x（12-x）≤2=36（平方分米）. 當且僅當x=6時取等號.即設(shè)計邊長為6分米的正方形的面積最大.

師：同學們對這個設(shè)計方案有什么看法？

生5：生活中我們很少見到正方形的學習園地. 面積不一定要求最大，只要達標，即滿足日常需求，就可以根據(jù)其他因素靈活設(shè)計.

師：假如我們要求學習園地的面積大于20平方分米，你又會如何設(shè)計呢？

生6：根據(jù)這樣的假設(shè)，我們得到了不等式x（12-x）>20，先求解x，再進一步研究.

分析：簡化現(xiàn)實問題，將其抽象為數(shù)學模型，通過計算求解，得出面積最值；在親身經(jīng)歷中產(chǎn)生疑問，修改模型以尋求更優(yōu)解，自然將目光轉(zhuǎn)向不等式，從而與新知識完美銜接. 在經(jīng)歷簡單問題的數(shù)學建模的過程中，發(fā)展了學生的直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

2. 類比為橋，自然生成

師：不等式x（12-x）>20有什么特點？你還能舉出相似的不等式嗎？

生7：這是一元二次不等式. （學生舉例，過程略）

師：你能給出一元二次不等式的定義嗎？它的一般形式是什么？

生8：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.

師：相似的事物存在著一定的聯(lián)系，我們能快速得到一元二次不等式的定義正是源于這種相似性，你能說一說一元二次不等式定義的源頭嗎？

生9：一元二次方程，二次函數(shù).

分析：思維的前提是學生已有的知識結(jié)構(gòu)，通過回顧舊知強化學生調(diào)動知識之間的聯(lián)系，為學生自主建構(gòu)新知奠定基礎(chǔ). 在高中的開始階段，這樣的回憶很有必要，通過初期積累，學生都會有點滴的收獲和感悟，當他們面對新問題時會自覺地去搜索以前解決過的與當前問題緊密相關(guān)的知識、方法和數(shù)學思想，從而提高分析問題、解決問題的能力.

師：你能找到二次函數(shù)與一元二次方程x（12-x）=20的聯(lián)系嗎？

生10：選擇函數(shù)y=x2-12x+20，它與x軸交點的橫坐標就是方程x2-12x+20=0的解.

生11：選擇函數(shù)y=-x2+12x-20，結(jié)論也一樣.

師：利用函數(shù)的“形”直觀呈現(xiàn)了方程的“數(shù)”，上述結(jié)論可以推廣到一般的情況嗎？

生12：利用數(shù)形結(jié)合可以找到函數(shù)與方程的聯(lián)系，分三類得到一般性結(jié)論. （過程略）

師：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），我們把使函數(shù)值為0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點.

分析：對于規(guī)定性定義，只能通過教師講授，學生無法建構(gòu)生成. 但是函數(shù)零點這個概念有豐富的內(nèi)涵，教學時可以引導學生在以下幾方面多思考：首先，為什么要引入函數(shù)零點這個概念？在本節(jié)課學習中，我們需要從不同角度理解函數(shù)與方程的聯(lián)系，“零點”正好搭建了這一橋梁，借助于函數(shù)的觀點去理解方程的意義，實現(xiàn)函數(shù)與方程的統(tǒng)一. 其次，加深對“點”的理解，學生理解得較多的是平面直角坐標系中的點，這是二維點，除此之外，還有一維點、三維點等. 零點反映了函數(shù)與方程的聯(lián)系，它是一維點. 最后，對概念進行外延和拓展，除了二次函數(shù)可以定義零點外，其他函數(shù)也可以采用同樣的研究方式.

師：結(jié)合函數(shù)y=x2-12x+20，分析二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的關(guān)系.

生13：畫出函數(shù)y=x2-12x+20的圖像，它的零點將x軸（數(shù)軸）分成三部分：當x<2時，函數(shù)上點的縱坐標都大于零，即x2-12x+20>0；當x>10時，函數(shù)上點的縱坐標也大于零，即x2-12x+20>0；當2<x<10時，函數(shù)上點的縱坐標都小于零，即x2-12x+20<0.

分析：結(jié)合特殊的二次函數(shù)，經(jīng)歷從“更高、更統(tǒng)一”的觀點理解不同數(shù)學對象的過程，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的聯(lián)系，進而把握不同數(shù)學對象的共性和關(guān)系，體驗用函數(shù)觀點看等式、不等式的豐富內(nèi)涵.

3. 數(shù)形結(jié)合，歸納通法

師：上述結(jié)論可以推廣到一般的情況嗎？（分組討論）

生14：展示二次函數(shù)的零點與一元二次方程、一元二次不等式的解的對應(yīng)關(guān)系. （用表格呈現(xiàn)關(guān)系，表略. ）

分析：從特殊到一般進行歸納概括，在合作學習中獲得相應(yīng)的數(shù)學活動經(jīng)驗，借助于二次函數(shù)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯(lián)系，學生在主動探究的過程中進一步發(fā)展用函數(shù)觀點認識方程、不等式的思想方法，這個過程有利于學生認識函數(shù)的重要性，體會數(shù)學的整體性.

4. 數(shù)學運用，提升思維

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（如圖2所示），求這個二次函數(shù)的零點和一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

例2 求下列不等式的解集.

（1）x2-5x+6>0；

（2）9x2-6x+1>0；

（3）-x2+2x-3>0.

分析：通過具體實例深化學生對三個“二次”關(guān)系的理解，梳理求解一元二次不等式的步驟，形成一般性認識.

5. 反思總結(jié)，承接函數(shù)

師：簡述一元二次不等式的解法，以求解ax2+bx+c>0（a>0）形式的不等式為例.

（學生總結(jié)步驟，過程略. ）

師：你能從思想方法這個角度總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容嗎？

生15：利用數(shù)形結(jié)合與函數(shù)思想研究了二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯(lián)系.

師：“函數(shù)”是貫穿高中數(shù)學課程最重要的概念，用函數(shù)觀點理解方程和不等式也是數(shù)學中的基本思想方法，這一思想方法在后續(xù)的學習中有著大量的應(yīng)用.

師：回歸最初的問題，你會設(shè)計學習園地了嗎？

生16：邊長在2分米與10分米之間，根據(jù)實際情況靈活設(shè)計.

分析：從知識和思想兩個角度進行總結(jié)，把對方程和不等式的求解統(tǒng)一為對相應(yīng)函數(shù)變化規(guī)律的研究，建立起了函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系. 最后回歸現(xiàn)實問題，利用獲得的數(shù)學結(jié)果解釋現(xiàn)實現(xiàn)象，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的完整過程，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

教學反思

1. 在知識的生成中形成素養(yǎng)

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展要以知識為載體，若離開對知識的理解和應(yīng)用，數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展將成為一句空話；而要真正掌握數(shù)學知識，依靠傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”是無法實現(xiàn)的，必須親身經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，在自主建構(gòu)中達到知識的自然生成. 對于本節(jié)課的內(nèi)容，學生有著良好的知識儲備，面對問題時，學生能從容分析，恰到好處地解答. 因此教學時要展現(xiàn)學生的主體地位，使其在自主探究和合作學習中獲得良好的數(shù)學體驗，從而牢固掌握基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能，積累相應(yīng)的活動經(jīng)驗，更好地支撐其數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 在思想的感悟中發(fā)展素養(yǎng)

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展得適應(yīng)學生個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的需要，今后學生會學習不同的知識，獲得不同的技能. 隨著時間的積累，學生總會思考獲得的知識和技能背后所蘊含的思想，通過對思想方法的感悟和總結(jié)，對所學的東西加以精煉，并應(yīng)用于后期的學習. 本節(jié)課的內(nèi)容正處于這個節(jié)點，學生探索時能活用“一次”同“二次”的類比，函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)聯(lián)，從特殊到一般的歸納；同時，教師教學時應(yīng)該引導學生感悟函數(shù)思想，即體驗利用函數(shù)提煉方程、不等式的過程，重新認識函數(shù)的重要性，為后期學習奠定基礎(chǔ)，進而順其自然地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3. 在數(shù)學的應(yīng)用中體現(xiàn)素養(yǎng)

學生核心素養(yǎng)的發(fā)展必須經(jīng)歷兩個重要的過程，一是學習過程，也就是“四基”的交融發(fā)展過程；二是運用所學知識解決問題的過程. 學習的最終目的是解決生活中的問題，所以本節(jié)課一開始就從生活現(xiàn)象入手，通過簡單問題的數(shù)學建模，使學生在發(fā)展“四能”的過程中形成素養(yǎng). 另外，學生需要通過對具體的數(shù)學習題的解決進一步鞏固自身剛發(fā)展的素養(yǎng)，所以選擇習題時，重在利用函數(shù)圖像通過數(shù)形結(jié)合解決問題，發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

結(jié)語

預備知識是整個高中數(shù)學學習的前哨站，它既為學生后續(xù)的學習提供了知識和思想的準備，也為學生學習方式的轉(zhuǎn)變提供了依托. 在教學設(shè)計時，教師應(yīng)該體現(xiàn)“以人為本”的教育理念，以數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能為載體，以數(shù)學思想方法為主線，讓學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗的同時感受數(shù)學的魅力，通過不斷地學習慢慢擁有數(shù)學的眼光，養(yǎng)成數(shù)學思維，熟練數(shù)學語言，為核心素養(yǎng)的發(fā)展鋪平道路.

作者簡介：陳小琴（1980—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.