王曉燕

（廈門市集美區(qū)寧寶小學(xué) 福建廈門 361021）

數(shù)學(xué)是一門非?？简炈季S能力的學(xué)科，需要理解，而不是死記硬背。數(shù)學(xué)知識需要理論聯(lián)系實際，把數(shù)形相結(jié)合才能解決數(shù)學(xué)難題。什么是數(shù)形結(jié)合呢？數(shù)形結(jié)合是解決實際問題時，首先要分析題目中的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合相應(yīng)的圖形進(jìn)行直觀的理解。數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，小學(xué)階段數(shù)學(xué)能力較差，正是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵時期，數(shù)形結(jié)合能直觀地表達(dá)題目中的數(shù)量關(guān)系，使問題變得簡單明了，容易解決問題，激發(fā)學(xué)習(xí)動力。數(shù)學(xué)與形的結(jié)合可以培養(yǎng)學(xué)生多方面的思考能力，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思維方式思考問題，小學(xué)教材要求學(xué)生自主探究，主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的多方面思考能力和解題能力，同時運用數(shù)學(xué)思維靈活解決問題。

一、數(shù)形結(jié)合簡述

1.數(shù)形互換百般好

在小學(xué)階段，常用的是數(shù)形結(jié)合一般有數(shù)形互換、以數(shù)助形、以形助數(shù)三種類型。數(shù)形互換是數(shù)字與圖形的轉(zhuǎn)換，是數(shù)形組合的一種重要表現(xiàn)。在解題時，我們經(jīng)常把數(shù)與形進(jìn)行換邊變，正如華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！崩?，按規(guī)律填數(shù)1、4、9、16、25、（ ）、……像這樣純粹是數(shù)字學(xué)生或許沒辦法發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，一旦把這些數(shù)字用相應(yīng)的正方形呈現(xiàn)，學(xué)生輕而易舉地就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。再如，用小棒擺正方形：

……

接著往下擺，擺n個小正方形需要多少根小棒呢？引導(dǎo)學(xué)生將圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)字推理題，很快就能推出n個正方形需要（3n+1）根小棒。數(shù)形互換是解題中不可忽略的一種策略，有多個優(yōu)點。

2.以形助數(shù)更直觀

以數(shù)助形，借助數(shù)的簡潔性和概括性來提煉事物或圖形的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中將具體形象放在支撐的地位，通過“數(shù)”來描述、詮釋“形”的特征，使數(shù)學(xué)達(dá)到深化、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男Ч?。以?shù)助形的方法能夠準(zhǔn)確表征圖形特征，也有利于開拓學(xué)生的解題思路。在教育教學(xué)中，教師應(yīng)該為學(xué)生挑選恰當(dāng)?shù)睦?，讓學(xué)生感知以數(shù)解形的方式方法。在日常教學(xué)講解和探索基礎(chǔ)知識過程中，教師應(yīng)該從多方面尋找數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)的素材，給學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的機會，幫助學(xué)生開闊眼界，拓寬知識面，讓學(xué)生積累豐富的經(jīng)驗，增強學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識。例如遇到判斷一個角是否為直角、兩邊是否相等、圖形的周長是多少等類似問題時，讓學(xué)生明確不僅僅可以直接進(jìn)行測量，還可以通過計算得出相應(yīng)結(jié)論。日常教學(xué)中，除了講解應(yīng)該掌握的知識外，教師可以根據(jù)學(xué)生掌握知識的實際水平，適當(dāng)拓展一些幾何與圖形的問題，以此增強學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的體驗，例如去探索一些平面圖形邊的長度關(guān)系，角、周長、面積的大小關(guān)系。

在實際的學(xué)習(xí)生活中，遇到以數(shù)解形的并不多，因此比較易被老師和學(xué)生所忽視。但是正是由于其稀少性，則教師更應(yīng)該抓住這種少有的機會鍛煉學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。面對小學(xué)生實際的知識儲備情況和思維發(fā)展水平，應(yīng)該加強學(xué)生用已經(jīng)掌握的數(shù)、算式、方程等來表示相關(guān)圖形的特征，使列寫出來的表達(dá)式子能夠恰當(dāng)?shù)慕鉀Q相關(guān)問題。例如（如下圖）：

這是人教版六年級上冊練習(xí)十四第11題（P66）的加星題，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的周長等相關(guān)知識，怎么求每組的繩長呢？引導(dǎo)學(xué)生分解捆圓的繩子，把繩長轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

兩個圓：一個圓的周長（兩個圓周長的一半）+2條直徑

四個圓：一個圓的周長（四個四分之一圓的周長）+4條直徑（1×4）

九個圓：一個圓的周長（四個四分之一圓的周長）+8條直徑（2×4）

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)挖掘知識：如果是捆十六個圓又是什么樣的情況呢？原本較復(fù)雜的圖形的問題，借助圖形中隱藏的相應(yīng)的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)的規(guī)律，學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

二、以形助數(shù)促學(xué)生思維發(fā)展——以人教版三年級下冊《計算經(jīng)過的時間》一課為例

以形助數(shù)，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)問題形象化、直觀化，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，是學(xué)生能順利解題的關(guān)鍵。在教學(xué)人教版三年級下冊《計算經(jīng)過的時間》一課時，教師創(chuàng)設(shè)“點燃航天夢”活動情境，以一把有魔法的時間尺貫穿整節(jié)課，以形助數(shù)，把無法觸及的、抽象的時間以具體的時間尺呈現(xiàn)，讓“時間”可視化、直觀化，引導(dǎo)學(xué)生解決多種計算時間的類型題，在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生的思維能力，學(xué)生的素養(yǎng)得到一定的提升。

1.以形助數(shù)易計算

（1）借用時間尺，直觀計算過程

教材例題是簡單的計算經(jīng)過時間，教師結(jié)合創(chuàng)設(shè)的情境改編例題：智慧列車一號9時出發(fā)，15時到站，經(jīng)過了多少小時？學(xué)生有的通過在鐘面上撥一撥得出答案；有的在時間軸上數(shù)一數(shù)得到答案；有的通過計算15-9=6，知道經(jīng)過了6小時。教師引導(dǎo)學(xué)生把算式與時間軸結(jié)合起來看，并用手比畫減的過程。以形助數(shù)，學(xué)生直觀計算方法，初步感受經(jīng)過的時間=結(jié)束的時間-開始的時間。

（2）借用時間尺，突破計算難點

智慧列車二號9：30出發(fā)，15：00到站，經(jīng)過了多長時間？學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上，舉一反三輕松列出算式，但是計算遇到困難。老師適時地引導(dǎo)學(xué)生，能不能在借用有魔法的時間尺來幫忙呢？學(xué)生通過在時間尺上標(biāo)出開始時間和結(jié)束時間，直觀地算出經(jīng)過的時間。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生說明其中的道理，學(xué)生有一下解法：

9：30-10：00經(jīng)過30分鐘，10：00-15：00經(jīng)過5小時，合計5時30分；先用10時減9時30分其實就是退位減（退1時當(dāng)60分）的過程。

9：30——14：30經(jīng)過了5時，14：30——15：00經(jīng)過了30分，合計5時30分。

學(xué)生均能借用時間尺算出答案，引導(dǎo)學(xué)生把在時間尺上數(shù)的方法轉(zhuǎn)化成算式，學(xué)生把直觀的體驗轉(zhuǎn)化成抽象的算式，在學(xué)生經(jīng)歷兩種方法的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生思考：15時-9時30=？怎么計算呢？學(xué)生輕松突破計算難點。時間尺，讓計算時間的難點直觀化、形象化。以數(shù)助形，學(xué)生直觀地進(jìn)行經(jīng)過時間的計算。

（3）借用時間尺，解決新問題

一天24小時，是一把時間尺。把一個月里每天的時間尺連接起來，又是一把新的時間尺，產(chǎn)生了新的計算經(jīng)過時間的問題。如明明21時上床睡覺，第二天早上7點起床，睡眠時間有多長？睡眠問題，源于學(xué)生生活，學(xué)生樂于解決。學(xué)生憑自己的生活經(jīng)驗，知道睡眠時間已經(jīng)跨日了，教師追問：“該如何解決這個問題呢？”借用時間尺，部分學(xué)生通過數(shù)，得到睡眠時間是10小時；大部分學(xué)生嘗試列式解決，此時出現(xiàn)兩種解法：①24時-21時=3時，3時+7時=10時；教師追問：7時是怎么來的？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其實7時也是結(jié)束時間（7時）-開始時間（0時）計算得到的，溝通了分段計算經(jīng)過時間其實就是分別利用結(jié)束時間-開始時間求得每一段的時間，最后再相加；②7時+24時=31時，31時-21時=10時，學(xué)生對于這種解法不太理解，引導(dǎo)學(xué)生借用時間尺來幫助理解。這位學(xué)生說：第二天早上7時就是在第一天的24時的基礎(chǔ)上加上7時，在用總的結(jié)束時間（31時）-開始時間（21時）=10時。以形助數(shù)，學(xué)生的思維被打開了，想出了不一樣的解題方法。

2.以形助數(shù)明區(qū)別

實際生活中，除了計算經(jīng)過幾時幾分，常見的還有計算天數(shù)、月份、年份等，學(xué)生在解題過程中，要靈活運用掌握的知識，借用時間尺解決生活中更多更難的問題。

教師出示：航天科技小制作的征集時間從4月18日到4月25日，一共經(jīng)過了多少天呢？大部分學(xué)生脫口而出：7天，因為25-18=7天。教師不做點評，讓學(xué)生在時間尺上數(shù)一數(shù)，驗證答案。感知沖突，學(xué)生的興趣被點燃，通過計算是7天，實際是8天，到底哪個環(huán)節(jié)出了問題？少算的1天是哪一天？

學(xué)生以4人小組為單位，借用時間尺，探究其中的奧秘。

通過探究、交流、分享，學(xué)生借用時間尺的直觀，知道25-18=7（天），7天對應(yīng)的是時間尺上的19日、20日、21日、22日、23日、24日、25日，在時間尺上直觀地發(fā)現(xiàn)18日這天沒有算，因此要加上1天，一共經(jīng)過了8天。原本抽象的、不可觸及的時間，形象地在時間尺上呈現(xiàn)，大大降低了難度。

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)計算經(jīng)過天數(shù)的方法，并追問：為什么計算經(jīng)過幾時幾分用結(jié)束時間-開始時間就行，而計算經(jīng)過天數(shù)要用結(jié)束日期-開始日期+1，為什么要加1？你能說說其中的道理嗎？

教師同時出示兩把時間尺，讓學(xué)生分別在24時時間尺上找9時、月的時間尺上找18日，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩把時間尺上找到的不一樣，9時在24時時間尺上是一個點，18日在月的時間尺上是一段。在學(xué)生感知的基礎(chǔ)上，教師揭示時間點與時間段的差別，計算經(jīng)過的天數(shù)要算的是經(jīng)過幾個時間段，結(jié)束日期減開始日期會把開始的日期當(dāng)天也減掉，所以要加1。

從“時間點”到“時間段”的認(rèn)識，對學(xué)生而言，是認(rèn)知的飛躍。以形助數(shù)，

借時間尺之直觀，把復(fù)雜的問題簡單化，把兩者的區(qū)別可視化。

3.以形助數(shù)巧聯(lián)系

匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何知識點的最正確的途徑是有自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深、也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！庇嬎憬?jīng)過的時間與計算經(jīng)過的天數(shù)，看似不同，實則相同。當(dāng)學(xué)生分別掌握了的解題的辦法后，教師拋出挑戰(zhàn)性的問題：計算經(jīng)過的時間和經(jīng)過的天數(shù)有什么聯(lián)系嗎？同時出示兩條時間軸，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形思考。

借助時間尺，學(xué)生清晰地溝通了計算經(jīng)過時間與計算經(jīng)過天數(shù)之間的聯(lián)系，二者都可以用總時間-未開始的時間。其中，計算經(jīng)過的天數(shù)需明確未開始的時間即（開始日期-1）。溝通知識之間的聯(lián)系，把碎片知識系統(tǒng)化，是學(xué)好數(shù)學(xué)、輕松學(xué)數(shù)學(xué)的前提。以形助數(shù)，學(xué)生結(jié)合時間尺，利用減法的含義把二者巧妙聯(lián)系。

以形助數(shù)有魔力，本節(jié)課以時間尺貫穿始終，學(xué)生動腦、動手、動口，多種感官齊參與，把抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化。借助時間尺，化抽象為具體，實實在在地觸摸“時間”，利用操作、觀察、思考相結(jié)合，解決關(guān)于經(jīng)過時間的系列問題，激發(fā)學(xué)生多向思維，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力和邏輯思維能力。