張振榮，趙 凱

(1.青島黃海學院 數(shù)學教學部，山東 青島 266427；2.青島大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 青島 266071)

函數(shù)空間理論一直是調(diào)和分析的重要內(nèi)容之一，函數(shù)空間的拓展和刻畫，以及其上奇異積分算子的有界性問題始終被許多學者關注.自20世紀90年代中期始，Herz型Hardy空間及其上許多積分算子的有界性問題研究取得了豐碩的成果，這包括經(jīng)典的Herz型Hardy空間、各項異性的Herz型Hardy空間、變指標的Herz型Hardy空間和與算子相關的Herz型Hardy空間等[1-8].我們知道，雖然雙倍條件在經(jīng)典調(diào)和分析理論中起著重要的作用，然而，許多作者在非雙倍條件下證明了一些函數(shù)空間理論以及算子有界性問題的相應結論依然是成立的[9-12].

2010年，Hyt?nen在文獻[13]中引入了一類既滿足上雙倍條件又滿足幾何雙倍條件的非齊度量測度空間，這類空間同時包含文獻[14]的齊型空間和文獻[10]的非雙倍測度空間.文獻[15-16]的作者引入了非齊度量測度空間上的Hardy空間，并討論了一些等價刻畫和奇異積分算子的有界性等.此后，關于非齊度量測度空間上的函數(shù)空間和奇異積分算子及交換子的有界性問題被許多學者關注[17-22].

基于上述研究，我們在非齊度量測度空間上引進了一類Herz-Morrey-Hardy空間，并討論了它的分解；作為應用，利用非齊度量測度空間的性質(zhì)，借助于非齊度量測度空間上Calderón-Zygmund算子的Lq有界性，得到了Calderón-Zygmund算子是從Herz-Morrey-Hardy空間到Morrey-Herz空間有界的結果.

1 基本知識

定義1[13]設 (X,d)是一個度量空間，如果 μ是X上的Borel測度，并存在一個控制函數(shù)λ:X×(0,∞)→(0,∞)，使得對每一個x∈X，λ (x,r) 關 于r都單調(diào)不減，且存在一個依賴于 λ 的正常數(shù)C(λ)，使得對任意的x∈X和r∈(0,∞)，有

則稱度量測度空間 (X,d,μ) 是 上雙倍的.記 l og2C(λ)=υ.

引理1[16]設 (X,d,μ) 是 上雙倍的，λ 是X×(0,∞) 上 的控制函數(shù)，則存在另一個控制函數(shù)λ? ，使得 λ?≤λ，C(λ?)≤C(λ)，并且對于所有的x,y∈X，若d(x,r)≤r，則有

定義2[14]設 (X,d)是 一個度量空間，如果存在某個正整數(shù)N0，使得對任意的球B(x,r)?X，其中x∈X,r∈(0,∞)，都存在至多N0個球構成B(x,r)的 一個覆蓋，則稱度量空間 (X,d)是幾何雙倍的.

如果度量測度空間 (X,d,μ)既滿足上雙倍條件又滿足幾何雙倍條件，則稱其為非齊度量測度空間.以下總假設 (X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，并且控制函數(shù) λ滿足(2)式.

定義3[13]令 α,β>1，若 μ(αB)≤βμ(B)，則球B?X被 稱 為是 一 個 (α,β)-倍 球，其 中對 于 所 有 的球B=B(cB,rB)和 ρ∈(0,∞)，ρB=B(cB,ρrB).

在文獻[13]中，作者證明了如果 (X,d,μ)是 一個滿足上雙倍條件的度量測度空間，α,β>1，并且則對于任意的球B?X，存在一個正整數(shù)j使得 αjB是 ( α,β)-倍的.

定義4[18]設 η>0 ，若對所有的r∈(0,2diam(X))和存在一個只依賴于a和X的常數(shù)C(a)>1，使得對于所有的x∈X，λ(x,ar)≥C(a)λ(x,r)，并且則稱控制函數(shù) λ 滿足 η-弱逆倍條件.

定義5[15]對于任意2個球B?S?X，令 ρ >1，p∈(0,1]，離散系數(shù)是

對于任意整數(shù)k，記Bk={x∈X:d(x0,x)<2k}x0Ck=BkBk-1χk=χCk，其中 是X的一固定點，，且 .非齊度量測度空間上的齊型Herz空間定義如下.

定義6[20]假設 (X,d,μ)是 非齊度量測度空間，令 -∞<α<∞，0

非齊度量測度空間上的齊型Morrey-Herz空間是如下的概念.

定義7[21]假設 (X,d,μ) 是 非齊度量測度空間，令 - ∞<α<∞，0

顯然，如果令v=0，則

為了表述Herz型Hardy空間，先看原子塊的定義.

定義8[20]設 (X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，0

(ⅰ)存在一個球B使得 s uppb?B=B(x0,r)，r>0；

(ⅲ)對于j=1,2 ，存在支在球Bj?B上 的函數(shù)aj和常數(shù) λj∈C，使得b=λ1a1+λ2a2，且

則稱b是一個 ( α,p,q,γ,ρ)λ-原 子塊，并記

若r=2k，其中k∈Z ，則(α,p,q,γ,ρ)λ-原子塊稱為是二進的.

借助原子塊的概念，在文獻[20]中作者引進了一類Herz型Hardy空間.

定義9[20]設 (X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，0

這里的下確界取遍f所有的分解.原子Herz型Hardy空間定 義 為 在p-擬 模下的完備化.

同時，在文獻[20]中作者還指出，原子Herz型Hardy空間與 γ 和 ρ的取值無關.非齊度量測度空間上原子Herz型Hardy空間的分解是下面的結果.

引理2[20]設(X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，0

這里的下確界取遍f所有的分解.

2 Herz-Morrey-Hardy空間

現(xiàn)在，給出非齊度量測度空間上Herz-Morrey-Hardy空間的定義.

定義10設 (X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，令 0

則稱f是屬于的.并且定義

這里的下確界取遍f所有的分解.Herz-Morrey-Hardy空間定 義為在p-擬 模下的完備化.

顯然，當v=0時 ，Herz-Morrey-Hardy空間就是定義9的原子Herz型Hardy空間類似于文獻[16]和[20]的討論，同樣可以得知Herz-Morrey-Hardy空間與 γ 和 ρ的取值無關，也可以得到如下的結論.

定理1設 (X,d,μ) 是 一個非齊度量測度空間，令 0

進一步有

這里的下確界取遍f所有的分解.

證明若則由定義知結論成立.

因此，

3 Calderón-Zygmund算子的有界性

非齊度量測度空間上Calderón-Zygmund算子的定義如下.

定義11[17]設函數(shù)(X×X{(x,x):x∈X}).如果存在一個正常數(shù)C(K)，使得：

(ⅰ)對于任意的x,y∈X,x≠y，有

(ⅱ)存在 0 <δ≤1和 正常數(shù)c(K)，使得對任意x,x?,y∈X，且d(x,y)≥c(K)d(x,x?)，有

則稱函數(shù)K(x,y)為非齊度量測度空間上的Calderón-Zygmund算子核.

若K是非齊度量測度空間上滿足(5)和(6)的Calderón-Zygmund算子核，對于所有的(μ)=的支集有界}，

則稱T是非齊度量測度空間上的Calderón-Zygmund算子.

對于此Calderón-Zygmund算子有下面的重要結果.

引理3[17]假設 (X,d,μ)是一個非齊度量測度空間，令T是一個Calderón-Zygmund算子，則以下結論是等價的：

(ⅰ)T在L2(μ)上是有界的；

(ⅱ) 對于q>1，T在Lq(μ)上是有界的；

(ⅲ)T是L1(μ)到 弱 -L1(μ)有界的.

非齊度量測度空間上的Calderón-Zygmund算子在Herz-Morrey-Hardy空間的有界性見下面的定理2.

定理2設 (X,d,μ)是 一個非齊度量測度空間，0

證明對任意由定理1知存在( α,p,q,γ,ρ)λ-原 子塊序列Bj,i?Bj，其中Bj=B(x0,2j)，使得

因此

對于I2，由引理3知T是Lq有界的，應用原子的大小條件(4)，再由(3)式蘊含著并注意到0

對于I1，注意到j≤k-2,x∈Ck,y∈Bj，則x∈X2Bj，意味著 λ(x,d(x,y))～ λ (x0,d(x,x0)).因此，由原子的消失性條件和算子核定義(6)式、H?lder不等式，以及原子的大小條件和知

同時，注意到 0

因此

證畢.