王娜

【摘要】為進(jìn)一步提升三角函數(shù)單元教學(xué)中教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，文章基于APOS理論，以三角函數(shù)單元中的重難點(diǎn)知識(shí)“弧度制”為例，按照APOS理論框架下“活動(dòng)、程序、對(duì)象、圖式”四個(gè)階段展開循序漸進(jìn)的教學(xué).根據(jù)教學(xué)完成后對(duì)學(xué)生進(jìn)行的課后測(cè)試結(jié)果可知，APOS理論下的教學(xué)方法對(duì)于提高學(xué)生知識(shí)掌握能力有著較為重要的作用，故有必要對(duì)該理論及其方法做進(jìn)一步的研究和推廣應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】APOS理論；三角函數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)

引 言

近年來，隨著核心素養(yǎng)等新興教育理念的不斷滲透，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)迎來了一定的創(chuàng)新發(fā)展，但在這一進(jìn)程中仍存在較多的難題，其中三角函數(shù)單元的教學(xué)就是一個(gè)典型.三角函數(shù)單元的抽象性較突出，且是高考中的一個(gè)主要內(nèi)容，其教學(xué)難度頗高，以往的教學(xué)模式難以確保學(xué)生掌握其精髓.為有效解決這個(gè)問題，教師就需要引入APOS理論，基于該理論對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行創(chuàng)新，確保學(xué)生能夠更好地掌握此章節(jié)知識(shí)，全面提升數(shù)學(xué)能力.

一、APOS理論概述

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基在自反抽象理論上進(jìn)一步研究得出的.該理論指出，學(xué)生想要真正掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，就必須在學(xué)習(xí)過程中逐步建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).具體來看，建立適當(dāng)心智結(jié)構(gòu)的過程主要包括以下四個(gè)階段：第一階段（Action）：此階段又稱為“活動(dòng)階段”，即教師讓學(xué)生通過參加各種實(shí)踐或思維活動(dòng)初步了解數(shù)學(xué)概念的起源，對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行初步感知；第二階段（Process）：此階段又稱為“過程階段”，即當(dāng)學(xué)生熟悉前一階段的活動(dòng)后，這種活動(dòng)就內(nèi)化為一種心理操作，形成一種類似于條件反射的行為；第三階段（Object）：又稱為“對(duì)象階段”，此階段主要是對(duì)已掌握的概念進(jìn)行壓縮和解構(gòu)，對(duì)應(yīng)“學(xué)以致用”；第四階段（Schema）：是“圖式階段”，即學(xué)生將前面所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，構(gòu)成一個(gè)知識(shí)體系，并準(zhǔn)確把握其外延和相關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系.

二、APOS理論下的三角函數(shù)單元教學(xué)策略———以“弧度制”為例

（一）課前準(zhǔn)備階段

為確保課堂教學(xué)的高效性，課前準(zhǔn)備是必不可少的.在此階段的工作中，教師主要應(yīng)結(jié)合學(xué)生情況對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析.學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中以“角度制”內(nèi)容為主，且這些內(nèi)容已經(jīng)在學(xué)生大腦中“先入為主”，這導(dǎo)致很多學(xué)生在理解“弧度制”這一新知識(shí)時(shí)感到困難.因此，如何引入“弧度制”這一概念就是教學(xué)的難點(diǎn)，教師也應(yīng)當(dāng)圍繞這一難點(diǎn)問題展開教學(xué).

（二）活動(dòng)階段

由于大多數(shù)學(xué)生對(duì)于弧度制較為陌生，因此，在活動(dòng)階段，教師要通過設(shè)置合理的探究問題讓學(xué)生一步步了解弧度制的本質(zhì)，即“用角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比來衡量一個(gè)角的大小”，此時(shí)引出弧度制的概念便水到渠成.在此環(huán)節(jié)中，教師列舉的案例應(yīng)當(dāng)本著從特殊到一般的順序，且確保這些案例是可操作的，不能急于求成.

此環(huán)節(jié)的案例列舉如下.

首先，由教師在黑板上畫出幾何圖形，如圖1所示.

根據(jù)此圖，教師向?qū)W生提問：“除了通過角度數(shù)來衡量角α的大小，能否用其他方式來表示該角的大?。坑昧踊B的長(zhǎng)度是否可行？”學(xué)生在思考后會(huì)回答：“不能，因?yàn)榱踊B的長(zhǎng)度會(huì)隨圓半徑的增大而增大，是不確定的數(shù)值.”由此，教師進(jìn)一步指出：“剛才同學(xué)們的回答很正確，接下來我們換一個(gè)角度思考.就剛才同學(xué)們的結(jié)論，我們能否用弧AB的長(zhǎng)度與圓半徑的比值來描述角α的值呢？”由此，教師在黑板上畫出另一個(gè)圖形（如圖2所示）.

在學(xué)生總結(jié)出任意角條件下該比值的計(jì)算公式后，教師即可引入“弧度制”的概念，指出剛才所做的工作即是弧度制發(fā)展過程中的一部分，然后對(duì)弧度制的起源和發(fā)展以及弧度制的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行簡(jiǎn)要講解，以加深學(xué)生對(duì)于弧度制的理解.

（三）過程階段

在過程階段，其主要目的是讓學(xué)生對(duì)弧度制的概念有更為發(fā)散的理解，從而為后續(xù)角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).此環(huán)節(jié)教師主要應(yīng)讓學(xué)生重復(fù)已有的操作過程，逐步加深對(duì)弧度制的理解.具體來看，此環(huán)節(jié)可通過以下案例逐步深入.

首先，教師提問：“剛才我們已經(jīng)初步了解了弧度制的概念，我們?cè)谝酝膶W(xué)習(xí)中接觸過一些常見的角度，如30°，45°，60°，90°和180°等，那么你們能否快速寫出這些角度對(duì)應(yīng)的弧度值嗎？”對(duì)于該問題，學(xué)生的反應(yīng)速度較快，能夠快速寫出正確答案.而后，教師繼續(xù)提問：“大家的答案都是正確的.接下來我們加大難度，哪名同學(xué)可以作圖表示出1弧度所代表的角度？”由此，教師引導(dǎo)學(xué)生作圖表示，學(xué)生可大致畫出圖形（如圖3所示）.

根據(jù)此圖，教師即可提出弧度制的定義方式，先說出該圖中的數(shù)量關(guān)系“該角度對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為1個(gè)半徑”，在此基礎(chǔ)上，按照上述環(huán)節(jié)進(jìn)一步作出2弧度和3弧度所對(duì)應(yīng)的角度值，讓學(xué)生直觀理解要求弧度值，只需已知弧長(zhǎng)和半徑，二者之比即為所求.

（四）對(duì)象階段

在弧度制教學(xué)的“對(duì)象階段”，其主要目的是讓學(xué)生理解角度和弧度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，讓學(xué)生掌握將弧度制看作一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行換算的操作方法.為達(dá)到這一目的，教師可通過以下案例進(jìn)行教學(xué).

（五）圖式階段

圖式階段主要是讓學(xué)生將所學(xué)到的知識(shí)及時(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題解決當(dāng)中，通過這種方式加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶和理解，避免機(jī)械記憶帶來的低效率或是遺忘等問題.在這一階段，教師需要引入實(shí)際問題讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)予以應(yīng)用.

具體來看，在此環(huán)節(jié)中，教師可應(yīng)用以下案例進(jìn)行圖式階段的教學(xué).

當(dāng)學(xué)生推導(dǎo)出上述答案后，教師要趁熱打鐵，讓學(xué)生將所推導(dǎo)出的公式進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.因此，教師提問：“大家推導(dǎo)出的結(jié)果是正確的.下面讓我們來看這樣一道題：若已知某扇形的圓心角為2rad，且半徑為2，請(qǐng)同學(xué)們利用剛才推導(dǎo)出的公式計(jì)算該扇形的弧長(zhǎng)和面積.”由此，學(xué)生可直接將相關(guān)數(shù)據(jù)代入推導(dǎo)出的公式當(dāng)中，快速算出最終答案.從實(shí)際情況來看，雖然教師提出的這個(gè)問題難度較低，但其對(duì)于加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶和理解有著突出的作用.此時(shí)，學(xué)生對(duì)于本節(jié)課所學(xué)的“弧度制”的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)更為熟知，能夠?qū)⑦@些內(nèi)容作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)納入自己既有的知識(shí)體系當(dāng)中.在認(rèn)知層面上，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入初步的圖式階段.當(dāng)然，以上階段的教學(xué)還不能完全滿足要求，為此，教師在課程結(jié)束后還要布置適當(dāng)?shù)恼n后作業(yè)，讓學(xué)生在解決三角函數(shù)的相關(guān)問題過程中運(yùn)用弧度制知識(shí)，使其進(jìn)一步加深對(duì)弧度制的理解.

三、APOS理論下的三角函數(shù)單元教學(xué)實(shí)施效果

為驗(yàn)證基于APOS理論的三角函數(shù)單元教學(xué)實(shí)施效果，在本節(jié)關(guān)于“弧度制”的課程講解結(jié)束后，教師可布置一定數(shù)量的課后習(xí)題，這些習(xí)題要涵蓋活動(dòng)階段、程序階段、對(duì)象階段和圖式階段所學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)生自主解答完這些習(xí)題后，教師進(jìn)行批改.

由于本次APOS理論僅面向一個(gè)教學(xué)班進(jìn)行了實(shí)踐，因此同時(shí)收集另外一個(gè)平行班的課后測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，分析結(jié)果如表1所示.

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)變化可知，實(shí)驗(yàn)組在APOS的四個(gè)階段中，前兩個(gè)階段的數(shù)據(jù)較為平穩(wěn)，從第三階段開始呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)，這表明大部分學(xué)生對(duì)于本節(jié)所學(xué)知識(shí)的掌握程度可達(dá)到程序階段，而從程序階段向?qū)ο箅A段的轉(zhuǎn)變對(duì)于一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生而言存在較大難度.從另一角度分析，實(shí)驗(yàn)組在各個(gè)階段的得分率均明顯高于對(duì)照組，這初步證明了基于APOS理論進(jìn)行教學(xué)能夠取得更大的成效.

為進(jìn)一步印證學(xué)生基于APOS理論方法的學(xué)習(xí)取得了更大的進(jìn)步，筆者隨機(jī)抽查了三名學(xué)生針對(duì)課后作業(yè)第一題“請(qǐng)簡(jiǎn)單說明一下什么是弧度制”的答案，抽查發(fā)現(xiàn)，三名學(xué)生對(duì)于此題給出的答案存在一定的差異，學(xué)生甲回答：“把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，記作1rad.”學(xué)生乙回答：“1弧度是作為單位來度量角的單位制.”學(xué)生丙回答：“把圓分成等長(zhǎng)于圓半徑的弧的所對(duì)角.”相對(duì)而言，學(xué)生甲的回答最接近準(zhǔn)確的定義方式，而學(xué)生乙和丙的回答不夠嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，但也從自己的角度指出對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí).整體來看，通過本次教學(xué)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于弧度制的概念都有了較為深刻的理解和認(rèn)知，這對(duì)于其在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)上有一定的推動(dòng)作用，同時(shí)印證了本次基于APOS理論開展課堂教學(xué)的有效性.

結(jié) 語(yǔ)

APOS理論對(duì)于三角函數(shù)單元教學(xué)有著積極的指導(dǎo)價(jià)值，這一理論不僅深度契合學(xué)生學(xué)習(xí)過程的客觀規(guī)律，也為教師教學(xué)提供了更具實(shí)效性的方案.通過應(yīng)用APOS的理念和方法開展教學(xué)，教師的教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量均得到顯著提升，學(xué)生課后作業(yè)的成績(jī)可印證這一結(jié)論.由此可見，應(yīng)用APOS理論的現(xiàn)實(shí)意義較為突出，可在今后的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作中進(jìn)一步推廣.

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