□福建省寧德市霞浦縣第六中學(xué) 陳麗平

幾何變換作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，其在初中幾何教學(xué)中具有不可替代的地位。通過對(duì)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、反射和縮放等操作，學(xué)生不僅能夠更深入地理解幾何圖形的性質(zhì)和關(guān)系，還能夠培養(yǎng)空間想象能力和創(chuàng)新思維。在解決幾何綜合題時(shí)，運(yùn)用幾何變換的方法往往能夠使問題簡化，找到問題的突破口，進(jìn)而巧妙解題。本論探討了如何在初中幾何綜合題的解答中運(yùn)用幾何變換的方法，以及這些方法如何幫助學(xué)生更有效地理解和解決問題，期望能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教師提供有效的教學(xué)參考，為學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)提供新的視角和思考路徑。

一、幾何變換思想的意義

幾何變換思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中的意義是多方面的，并非僅為一種解決幾何問題的強(qiáng)有力工具。

首先，幾何變換要求學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、反射或縮放等操作，需要學(xué)生在心中預(yù)先構(gòu)建圖形變換后的樣子。這種對(duì)圖形變化的預(yù)測(cè)和構(gòu)建有效地培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力。

其次，在運(yùn)用幾何變換解決問題時(shí)，學(xué)生需要識(shí)別圖形的基本性質(zhì)，選擇合適的變換方式，并邏輯性地推理變換后圖形的新屬性和新位置。這個(gè)過程促進(jìn)了學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。并且，幾何變換還能夠?qū)?fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為更簡單、更直觀的問題，有時(shí)甚至可以將非標(biāo)準(zhǔn)圖形轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圖形，從而優(yōu)化解題步驟，避免復(fù)雜的計(jì)算，提高解題效率和準(zhǔn)確性。

再次，通過幾何變換，學(xué)生可以從不同的角度觀察和理解圖形，深化對(duì)幾何概念和定理的理解。例如，通過旋轉(zhuǎn)變換，學(xué)生可以更好地理解旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。

最后，幾何變換還提供了解決問題的多種可能性，鼓勵(lì)學(xué)生探索和嘗試不同的變換方法來解題。這種開放性的思維方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

二、幾何變換在初中數(shù)學(xué)幾何解題中的應(yīng)用

（一）運(yùn)用平移變換，深化學(xué)生對(duì)平面幾何概念的理解

平移變換是幾何中的一種基礎(chǔ)變換，指的是把一個(gè)圖形沿著一個(gè)確定的方向移動(dòng)一定的距離，從而得到一個(gè)新的圖形。并且，平移變換是一種等距變換，既不改變圖形的大小和形狀，也不改變圖形內(nèi)部各部分的相對(duì)位置關(guān)系。這意味著在平移變換之后，線段的長度、角的度數(shù)、圖形的面積等幾何特性都保持不變。這有助于學(xué)生理解圖形的本質(zhì)屬性，并在解題時(shí)利用這些不變的性質(zhì)來簡化問題。因此，在解決幾何問題時(shí)，平移變換可以作為一種有效的解題策略，幫助學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為更易于理解和解決的形式。

例如，通過平移一個(gè)三角形，使其與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)或邊重合，可以更直觀地比較兩個(gè)三角形的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)它們的相似性或全等性。而且，平移變換要求學(xué)生在心中想象一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)到新的位置，這種想象可以鍛煉和增強(qiáng)學(xué)生的空間直觀感和空間想象能力，對(duì)于理解更加高級(jí)的幾何概念和解決更加復(fù)雜的幾何問題非常有益。總之，平移變換在初中平面幾何的學(xué)習(xí)中起到了關(guān)鍵的作用，不僅幫助學(xué)生深化對(duì)幾何概念的理解，還是解決幾何問題的有力工具，幫助學(xué)生以一種直觀和有效的方式認(rèn)識(shí)和理解幾何圖形之間的關(guān)系，從而巧妙地解決問題，也能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間直觀感、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重視平移變換的教學(xué)和運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生通過平移變換來探索和解決幾何問題。

平移變換作為一種基本的幾何操作，對(duì)于深化學(xué)生對(duì)平面幾何概念的理解起到至關(guān)重要的作用。例如，在探索平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，教師可以通過平移變換來揭示其內(nèi)在的特點(diǎn)：假設(shè)有一個(gè)平行四邊形ABCD，其中AB 平行于CD，AD 平行于BC。為證明對(duì)角線AC 和BD 互相平分，教師可以使用平移變換。首先，將三角形ABC 沿著向量AD 的方向平移，使得點(diǎn)A 與點(diǎn)D 重合，點(diǎn)B 與點(diǎn)C 重合。由于平移變換是等距變換，因此平移后的三角形A'B'C'與原三角形ABC 全等。此時(shí)，發(fā)現(xiàn)線段A'C'與線段BD 重合，并且A'與D、B'與C 分別重合。由于A'和D 是線段AC 的端點(diǎn)，B'和C 是線段BD 的端點(diǎn)，這就證明了線段AC 被BD 平分于它們的交點(diǎn)，同理線段BD 也被AC 平分。通過例子可以看出，平移變換不僅能幫助學(xué)生更好地理解幾何圖形的性質(zhì)，還能夠在解決幾何問題時(shí)提供一種直觀、有效的方法，將復(fù)雜的問題簡化，將抽象的概念具體化，從而加深學(xué)生對(duì)平面幾何概念的理解和運(yùn)用。通過這種方式，學(xué)生能夠建立幾何圖形的聯(lián)系，培養(yǎng)空間想象力和邏輯推理能力。總之，平移變換在深化平面幾何概念理解中占據(jù)了不可替代的地位，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分。

（二）運(yùn)用對(duì)稱變換，提高學(xué)生的幾何題目解題效率

對(duì)稱變換是幾何變換中的一種重要類型，包括軸對(duì)稱變換（反射）和中心對(duì)稱變換。在初中幾何綜合題中，對(duì)稱變換可以幫助學(xué)生從不同的角度分析問題，找到解決問題的思路。

首先，對(duì)稱變換可以將復(fù)雜的幾何問題簡化。通過識(shí)別圖形的對(duì)稱性，學(xué)生可以減少不必要的計(jì)算，直接得出結(jié)論。例如，利用“中線是等腰三角形的對(duì)稱軸”這一知識(shí)點(diǎn)，可以立即得出中線同時(shí)也是高和角平分線，從而簡化了問題。其次，在面對(duì)幾何問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)感到無從下手，對(duì)稱變換思想能夠?yàn)閷W(xué)生提供一種明確的解題思路。識(shí)別對(duì)稱性后，學(xué)生可以沿著對(duì)稱軸進(jìn)行探究或者利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)來解決問題，這樣可以更快地找到解題的切入點(diǎn)。關(guān)鍵的是，對(duì)稱變換是一種精確的幾何工具，它可以幫助學(xué)生避免在解題過程中的推理錯(cuò)誤。對(duì)稱性的存在往往意味著某些角度相等或者線段長度相等，這些關(guān)系可以直接用于證明，而不需要復(fù)雜的輔助線構(gòu)造或者繁瑣的計(jì)算?？傊?，對(duì)稱變換思想在初中幾何解題中的應(yīng)用能夠有效提高學(xué)生的解題效率，對(duì)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和知識(shí)應(yīng)用能力的提升都有著重要的推動(dòng)作用。因此，作為教師，我們應(yīng)當(dāng)重視對(duì)稱變換思想教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在幾何問題解決中靈活運(yùn)用對(duì)稱變換，培養(yǎng)他們的綜合素質(zhì)。

例如，已知等腰三角形ABC 中，AB=AC，點(diǎn)D 是底邊BC 上的一個(gè)點(diǎn)，要求證明AD 是角BAC 的角平分線。在這個(gè)問題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用線對(duì)稱的概念來簡化解題過程。

第一步，提醒學(xué)生等腰三角形的基本性質(zhì)之一是它有一個(gè)對(duì)稱軸，即連接頂點(diǎn)和底邊中點(diǎn)的線段。在這個(gè)例子中，假設(shè)這條對(duì)稱軸是線段AM，其中M 是底邊BC 的中點(diǎn)。

第二步，指導(dǎo)學(xué)生如何運(yùn)用對(duì)稱性。由于AM 是對(duì)稱軸，點(diǎn)D 在底邊BC 上，所以可以構(gòu)造點(diǎn)D 關(guān)于對(duì)稱軸AM 的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)E。由對(duì)稱性質(zhì)可知，線段MD 和ME 相等，且線段AD 和AE 相等，角DAM 和角EAM 也相等。

第三步，引導(dǎo)學(xué)生觀察得到的新圖形。在三角形ADE 中，已知AD=AE（對(duì)稱點(diǎn)的連線等于對(duì)稱軸的兩倍），角DAM=角EAM（等腰三角形的底角相等），因此可以判斷出三角形ADE 是等腰三角形，所以角ADE 等于角AED。

第四步，讓學(xué)生將注意力轉(zhuǎn)回原問題。由于角ADE 等于角AED，且這兩個(gè)角是角BAC 的一部分，繼而得出結(jié)論，AD 實(shí)際上平分了角BAC。這種利用對(duì)稱變換思想簡化解題過程的方法，避免了復(fù)雜的角度計(jì)算或輔助線的構(gòu)造，提高了解題效率，不僅向?qū)W生展示了如何運(yùn)用對(duì)稱變換來解決幾何問題，還教會(huì)了學(xué)生一種思考問題的新方式。在這個(gè)過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了識(shí)別和利用圖形的對(duì)稱性質(zhì)，提高了解題效率，并在實(shí)踐中加深了對(duì)等腰三角形性質(zhì)和線對(duì)稱性質(zhì)的理解。

（三）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力

空間想象力是指?jìng)€(gè)體在沒有直接觀察對(duì)象的情況下，對(duì)空間對(duì)象及其相互關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確想象和推理的能力。旋轉(zhuǎn)變換作為一種基本的幾何變換，要求學(xué)生理解一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)按照特定角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的新位置，這需要學(xué)生能夠在心中構(gòu)建原圖形和變換后圖形的空間關(guān)系。

首先，通過這種思考過程，學(xué)生對(duì)圖形的方位、角度和對(duì)稱性等空間屬性的理解會(huì)更加深刻，并且通過旋轉(zhuǎn)變換的訓(xùn)練，學(xué)生可以更快地在腦海中構(gòu)建圖形的旋轉(zhuǎn)效果。這種幾何直覺的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生在面對(duì)新問題時(shí)能夠迅速找到解題思路極為有利。其次，旋轉(zhuǎn)變換為學(xué)生提供了一種新的解題視角和思考路徑。在一些對(duì)稱性質(zhì)的問題中，通過旋轉(zhuǎn)圖形，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的對(duì)稱軸或者等價(jià)的圖形，從而簡化問題的復(fù)雜度，提高解題效率。最后，旋轉(zhuǎn)變換還能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。為了運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解題，學(xué)生需要在腦海中進(jìn)行抽象思考，這種對(duì)非具體、非直觀圖形的操作是一種創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，有助于學(xué)生在面對(duì)未知和復(fù)雜問題時(shí)，能夠跳出傳統(tǒng)的思考模式，發(fā)揮創(chuàng)造力找到解決方案。總之，旋轉(zhuǎn)變換不僅是一個(gè)幾何工具，還是一種能夠全面提升學(xué)生空間想象力的教學(xué)策略，讓學(xué)生在實(shí)踐中鍛煉空間想象能力，培養(yǎng)幾何直覺和創(chuàng)造性思維，深化對(duì)數(shù)學(xué)語言的理解與應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的教學(xué)活動(dòng)。

第一步，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。教師可以展示一個(gè)五角星的圖形，并引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)五角星是否具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性？

第二步，引導(dǎo)學(xué)生探究五角星繞中心旋轉(zhuǎn)72度（即360 度除以5）的效果。通過這個(gè)活動(dòng)，學(xué)生開始在心中想象五角星的旋轉(zhuǎn)，并嘗試尋找旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第三步，要求學(xué)生動(dòng)手繪制一個(gè)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的圖案，如設(shè)計(jì)一個(gè)可以繞中心旋轉(zhuǎn)60 度后與原圖重合的雪花圖案。學(xué)生在繪制過程中需要不斷地思考和驗(yàn)證，激發(fā)空間想象力，體會(huì)到旋轉(zhuǎn)變換的美妙性和實(shí)用性。這種抽象的思考過程對(duì)提升學(xué)生的空間想象力至關(guān)重要。

第四步，鼓勵(lì)學(xué)生在解決幾何題目時(shí)，主動(dòng)嘗試運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的思想。

綜上所述，教師設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)、動(dòng)手繪制、解決挑戰(zhàn)性問題、利用多媒體工具展示動(dòng)態(tài)效果以及鼓勵(lì)主動(dòng)應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換思想等一系列教學(xué)活動(dòng)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，激發(fā)他們對(duì)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

（四）綜合運(yùn)用幾何變換，幫助學(xué)生高效解決平面幾何問題

幾何綜合題是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的重要組成部分，不僅涉及具體的幾何知識(shí)點(diǎn)，還要求學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和空間想象能力。幾何變換是解決幾何問題的一種有效手段，包括平移、旋轉(zhuǎn)、反射和中心對(duì)稱等。

首先，在解決幾何綜合題時(shí)，教師可以綜合運(yùn)用幾何變換幫助學(xué)生快速識(shí)別圖形之間的關(guān)系，尤其是對(duì)稱性質(zhì)，能夠簡化解題步驟，提高解題效率。其次，空間想象能力既是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)，也是解決復(fù)雜幾何問題的關(guān)鍵。在幾何變換的過程中，學(xué)生需要在心中進(jìn)行圖形的“移動(dòng)”和“變形”，這種操作有助于鍛煉和提高學(xué)生的空間想象能力。最后，幾何變換也體現(xiàn)了一種對(duì)稱和規(guī)律的美感。通過幾何變換，學(xué)生可以更深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力和美學(xué)價(jià)值，從而激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣?？傊?，綜合運(yùn)用幾何變換來解決初中幾何綜合題，不僅能提升學(xué)生的解題技能，還能夠在更深層次上促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生在解決幾何問題時(shí)靈活運(yùn)用多種幾何變換相結(jié)合的方法，以簡化問題，提高學(xué)生的解題效率和空間想象力。

例如，假設(shè)現(xiàn)有一道幾何綜合題，需要證明在兩個(gè)不同的三角形中，兩條對(duì)應(yīng)的高是相等的。因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的位置和方向完全不同，所以這個(gè)問題看起來比較復(fù)雜。在這種情況下，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生使用平移變換，將一個(gè)三角形移動(dòng)到另一個(gè)三角形的旁邊，使它們的底邊在同一直線上。然后，指導(dǎo)學(xué)生使用旋轉(zhuǎn)變換，將其中一個(gè)三角形繞底邊的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 度，使兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)對(duì)齊。這樣，學(xué)生可以直觀地看到兩條高線在空間中的相對(duì)位置，并發(fā)現(xiàn)它們的相等性。因此，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在解決幾何問題時(shí)，不要局限于單一的變換方法，而應(yīng)該嘗試將平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱和反射等變換相結(jié)合使用，讓學(xué)生從不同的角度審視問題，找到更簡單、更直觀的解決路徑。同時(shí)，這種策略還能夠提升學(xué)生的創(chuàng)造力和解決問題的能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中收獲更多的樂趣。

三、結(jié)語

總而言之，幾何變換在初中幾何教學(xué)中占據(jù)不可或缺的地位，不僅是解決幾何問題的關(guān)鍵，還是培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的重要途徑。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)當(dāng)重視幾何變換在幾何綜合題解決中的作用，引導(dǎo)學(xué)生掌握并熟練運(yùn)用各種變換策略，通過舉例論證、圖形演示、動(dòng)手操作等多種教學(xué)手段，幫助學(xué)生建立對(duì)幾何變換的直觀認(rèn)識(shí)和深刻理解。同時(shí)，教師還應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生在解題過程中大膽假設(shè)、積極探索，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和解決問題的靈活性。在未來的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)不斷探索幾何變換的教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的過程中享受到解題的樂趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。