吳文敏

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“圖形與幾何”作為主要教學(xué)內(nèi)容，需要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與分析能力，提升學(xué)生的分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想。在此以初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題教學(xué)為例，教師利用信息技術(shù)手段輔助教學(xué)，能夠幫助學(xué)生直觀地了解圖形變化過程，進而理解題目中各種變量的關(guān)系，為幾何教學(xué)注入新的活力?；诖耍疚南扔懻撛诔踔袛?shù)學(xué)動態(tài)問題教學(xué)中運用信息技術(shù)的優(yōu)越性，然后從審題、猜想、驗證、實踐的角度探究如何將信息技術(shù)運用到動態(tài)問題教學(xué)中，旨在通過此為教師開展解題教學(xué)提供參考。

一、初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題教學(xué)中使用信息技術(shù)的優(yōu)越性

信息技術(shù)在解決動態(tài)問題的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在：第一，能夠更直接地呈現(xiàn)問題中點變化時圖像的變化，激發(fā)學(xué)生的積極思維。在傳統(tǒng)動態(tài)問題教學(xué)中教師只能在黑板上做出靜止的圖形，精準度還不足，學(xué)生難以感受到動態(tài)問題中的運用過程，不能感受圖形的位置變化，導(dǎo)致在解動態(tài)問題的時候容易產(chǎn)生為難情緒，放棄學(xué)習(xí)。但是在信息技術(shù)的使用后，讓學(xué)生能夠加強對圖形變化的感知，直觀了解位置與數(shù)量的關(guān)系，減輕學(xué)生的解題壓力。第二，借助信息技術(shù)還能開闊學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在做中考試卷的時候不能借鑒輔助工具，需要在頭腦中形成動態(tài)思維解答問題，此需要學(xué)生掌握一定的動態(tài)思維。所以在課堂中運用信息技術(shù)開展解題教學(xué)，可以讓學(xué)生在觀看的時候主動思考問題，產(chǎn)生跳躍思維，自然地找到解決方法，靈活建構(gòu)知識。第三，借助信息技術(shù)實施解題教學(xué)還能提升教學(xué)效率。進行動態(tài)問題教學(xué)時，教師除了講解問題還要繪圖、書寫板書，此大大占用了課堂時間，影響教學(xué)效率。而信息技術(shù)的運用能直接借助多媒體展示圖畫與板書，減少教師繪畫與書寫的時間，繼而有更多時間深化問題，讓學(xué)生探究思考，進而能夠提升教學(xué)效率。

二、初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題教學(xué)中信息技術(shù)的運用策略

（一）借助信息展示動態(tài)問題，弄清題意

有時學(xué)生受讀題能力的影響，在讀題后不能有效挖掘條件，或者出現(xiàn)理解錯誤。特別是當學(xué)生面對動態(tài)問題的時候，難以有效聯(lián)想動點、動線、動角等。教師針對此的教學(xué)如果使用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，難以讓學(xué)生了解點或者線的運動過程，當然題目中包含的隱含條件更是難以發(fā)現(xiàn)。另外受初中生直觀想象能力的影響，還不能將題目中的未知與已知條件結(jié)合推敲聯(lián)想。基于此，學(xué)生難以找到數(shù)學(xué)動態(tài)問題的解題途徑。

信息技術(shù)的運用，能夠為學(xué)生清晰地展示動態(tài)問題，有效挖掘幾何動態(tài)問題中的隱藏條件，繼而找到未知與已知條件之間的關(guān)系，找出問題實質(zhì)。另外如果題目中包含大量的干擾信息阻礙學(xué)生解題思路的探究時，在借助信息技術(shù)中動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的時候還能清晰地為學(xué)生展示圖形中動態(tài)元素的變化，加強對問題的理解。

例如問題：如圖1，在直角三角形ABC中，∠C=90°，直角邊AC與BC相等，為4，點P是直角邊AC上的一動點，沿著直線BP折疊三角形BPC，點C的對應(yīng)點是點D，此時在折疊的過程中點D的路徑長是________。此類動態(tài)翻折類的問題解答時，需要學(xué)生先弄清題意，在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師難以為學(xué)生展示隨著三角形的折疊點D的變化，單靠學(xué)生自己的想象也難以想象出畫面。但是借助動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，則能夠清晰地展示三角形折疊的全過程，并能夠發(fā)現(xiàn)隱含條件，即三角形BPC沿著PB折疊后，△BCP和△DBP一直是全等的，此時PC=PD，BC=BD。

（二）借助信息展示關(guān)鍵信息，助力猜想

初中數(shù)學(xué)教材中幾何知識的呈現(xiàn)是通過嚴謹?shù)淖C明得到的，而利用相關(guān)知識解答動態(tài)問題的時候，我們根據(jù)波利亞解題理念要先進行猜想，即在學(xué)生找到題目中的已知條件和未知關(guān)系以及它們之間的聯(lián)系后，就可進行合理的猜想。而在傳統(tǒng)的動態(tài)問題解題教學(xué)中，教師使用傳統(tǒng)的手段難以幫助學(xué)生找出題目中的關(guān)鍵要素，再加上初中生的空間想象能力比較薄弱，所以很難獲得正確的猜想過程。所以在解答動態(tài)問題教學(xué)中，幫助學(xué)生找到題目中已知與未知量的內(nèi)在關(guān)系是教學(xué)難點。運用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)能夠為學(xué)生動態(tài)性地展示題目，幫助教師快速解決教學(xué)難點。實際教學(xué)中，教師可利用信息技術(shù)動態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)技術(shù)中的“跟蹤軌跡”功能，對幾何圖形進行動態(tài)化地處理，如此突破學(xué)生的動態(tài)想象障礙，在幾何圖形的動態(tài)變化下，對題目中的未知建立與已知條件的聯(lián)系，實施合理的猜想，繼而產(chǎn)生解題思路。

例如問題：如圖2，線段AB的長為10，點P是線段AB上的動點，然后以安AP和PB為邊分別做△APB和△PBD（△APB和△PBD在線段AB的同側(cè)），連接CD，G是CD的中點，點P從點A出發(fā)向點B出發(fā)過程中，點G的移動路徑長是________。此題中是雙動點問題，教師在教授學(xué)生“擬定計劃”的時候，提出問題：“點P是主動點，點G是從動點，在點P從A向B運動時，點G的運動路徑是什么？”請學(xué)生先聯(lián)想思考。然后針對沒有想象出來的學(xué)生，需要教師再進行引導(dǎo)：“動點G的移動路徑跟另一個動點P的路徑相同嗎？”“你能嘗試取幾個特殊點嗎？”請學(xué)生畫出草圖探究。若還是有的學(xué)生不能合理猜想，就可以運用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)為學(xué)生展示動點P的幾個特殊位置（與A點重合、與B點重合，在AB的中點上），然后觀察點G的運動軌跡是直線。繼續(xù)提問：“動點的運動軌跡是直線還是圓?。俊贝藭r學(xué)生已經(jīng)可以對自己的猜想有很大的把握，最后在信息技術(shù)中動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的運用下，讓學(xué)生確更好地猜想點G的運動路徑——直線。

（三）借助動態(tài)演示解析題目，深化解題

在學(xué)生們合理猜想之后，就進入到驗證猜想環(huán)節(jié)中，在此需要找到幾何動態(tài)問題中的已知與未知的關(guān)系。動態(tài)問題往往綜合性強，讓學(xué)生難以確定已知數(shù)據(jù)與未知量的內(nèi)在聯(lián)系，特別是在傳統(tǒng)的解題教學(xué)中，教師難以邊講解邊展示圖形運動的過程，在此若結(jié)合信息技術(shù)展示幾何圖形的動態(tài)變化過程，能夠幫助學(xué)生更深入地理解問題，解題教學(xué)達到事半功倍的效果。

例如問題：如圖3，平面直角坐標系中有一個矩形OABC，點A和C都在坐標軸上，點B的坐標為（2，），在矩形邊BC上分別取點E和F，讓三角形CEO沿著OE翻折，再將三角形BFA沿著AF翻折，此時點B落到點G上，得到的三角形為AGF，如果∠OGA=90°。（1）求過點A、O、G的二次函數(shù)的解析式與對稱軸。（2）二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點P，令△OPG是等腰三角形？在同學(xué)們解答完第一小問，確定拋物線的解析式與對稱軸之后，在求點P的坐標的時候，教師要先使用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)中的“隱藏”功能，將△OPG之外的矩形OABC、△AGF和OGE的圖形隱藏，讓學(xué)生直接減少對無關(guān)信息的干擾，然后利用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)中的“繪制”功能，以點O為圓心、G為圓心，OG為半徑做圓，圓與拋物線對稱軸的點為點P，以此找到點P的坐標。

（四）通過動手操作，積累解題經(jīng)驗

新課程標準要求教師在設(shè)計課程的時候融入現(xiàn)代信息技術(shù)手段，在解動態(tài)問題的時候，還希望學(xué)生能夠利用信息技術(shù)手段有效思考問題，以此優(yōu)化教與學(xué)的方法，讓學(xué)生能夠主動投入到探究性的學(xué)習(xí)活動中。對學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的培養(yǎng)不是一朝一夕能夠完成的，需要循序漸進，讓學(xué)生逐漸積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更好地了解數(shù)學(xué)問題中的包含的規(guī)律。所以在解題教學(xué)中教師要為學(xué)生創(chuàng)造適合的條件，引導(dǎo)其觀察、猜測、推理與解答，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

例如問題：如圖4，點G是正方形ABCD中CD邊上的動點，以CD為邊做正方形CGFE，連接DE與BG，求線段DE與BG的關(guān)系？在學(xué)生們解答完問題后，對此類問題產(chǎn)生了初步認知，教師再設(shè)計變式題繼續(xù)幫助學(xué)生鞏固知識，請學(xué)生自主操作，積累解題經(jīng)驗。變式一，將原題中的正方形CGFE圍繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度后，請問原題中的線段DE和BG的關(guān)系還存在嗎？變式二，原題中的正方形變?yōu)榫匦?，兩個矩形邊的關(guān)系為：AB=x，BC=y；EC=kx，CG=ky（x和b≠0，k>0），然后提問線段DE與BG的關(guān)系？矩形CGFE圍繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度后，請問原題中的線段DE和BG的關(guān)系還存在嗎？請學(xué)生利用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)改變題目條件，自主實踐探究，找到問題的答案。

三、初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題教學(xué)中信息技術(shù)的運用實踐

以圖形旋轉(zhuǎn)類問題為例，問題為：點G是正方形ABCD中CD邊上的動點，以CD為邊做正方形CGFE，連接DE與BG，求線段DE與BG的關(guān)系？教學(xué)過程為：第一，借助信息技術(shù)手段幫助學(xué)生弄清題意。使用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，在圖4的基礎(chǔ)上，設(shè)置點G為CD上的動點，使用“變量尺”功能控制點G的位置，讓其能夠在線段CD上運動，請學(xué)生觀察，輔助其理解問題。第二，引導(dǎo)學(xué)生進行合情猜想。在學(xué)生審題之后，發(fā)現(xiàn)不能直接利用已知條件求出線段DE與BG的關(guān)系。在此教師要引導(dǎo)學(xué)生先猜想線段BG和DE的長度與位置關(guān)系，受其空間想象能力的影響，運用線段動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)讓學(xué)生觀察，如將圖中的線段BG和DE變藍加粗，然后延長線段BG與DE相交于點O，然后拖動點G，觀察隨著點G 的變化，兩條線段長度的變化、∠BOD的大小變化，如此獲得猜想。第三，動態(tài)演示深入理解。結(jié)合問題中的條件，引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明剛剛的猜想。先證明猜想BG=DE，即證明它們所在的三角形GCB和ECD全等，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到BG=DE。再證明猜想BG⊥DE，可以制作輔助線DE’⊥DE與AB相交于點E’，然后證明DE’∥BG，繼而推導(dǎo)出DE⊥BG。很多學(xué)生因為不能想到做這個輔助線，此時教師可以運用幾何畫板為學(xué)生演示三角形CDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°的動畫，最后點A和點C重合，點E落到線段AB上直接與E’重合，以此能夠加強學(xué)生的理解，并指導(dǎo)為什么制作輔助線DE’。

通過在初中動態(tài)問題教學(xué)中運用信息技術(shù)策略的研究，討論動態(tài)問題教學(xué)的優(yōu)化路徑，可以有效提升動態(tài)問題教學(xué)效果，為提升教師教學(xué)質(zhì)量提供可行參考。同時通過信息技術(shù)的運用還能幫助學(xué)生提升解題能力，建立積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感態(tài)度，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供參考。