趙文慶 陸萬順

摘?? 要：基于2021-2022年8套高考數(shù)學全國卷，從考查知識、試題特點和命題導向三個方面對試卷中應(yīng)用到構(gòu)造函數(shù)法的試題進行統(tǒng)計分析.

基于高考在高中教學中的導向作用，提出在函數(shù)教學時應(yīng)加強對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，注重構(gòu)造思想的滲透.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)法；數(shù)學解題；高考數(shù)學

中圖分類號：G632???????? 文獻標識碼：A???????? 文章編號：1008-0333（2023）07-0041-04

1 問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）指出：“函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，是貫穿高中數(shù)學課程的主線.”然而，函數(shù)具有的高度抽象性和形式化等特點，增加了學生對函數(shù)本質(zhì)理解的困難，使得學生難以把握變量之間的關(guān)系以及建立適當?shù)暮瘮?shù)模型來解決現(xiàn)實世界中的實際問題.

在中學數(shù)學中，構(gòu)造法因其獨特的思維方式而備受關(guān)注，是一種常用的解題方法.所謂構(gòu)造法是指依據(jù)常規(guī)思維或解題方法解決某些問題存在困難時，能夠從題設(shè)條件以及結(jié)論的性質(zhì)和特征等新角度出發(fā)，把握題設(shè)條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，以頭腦中已有的數(shù)學知識為支架，構(gòu)造出滿足題設(shè)條件或結(jié)論并且能夠展現(xiàn)出原問題隱含關(guān)系的新的數(shù)學對象，并借助其他數(shù)學工具快速解決問題的方法.構(gòu)造法伴隨著數(shù)學的產(chǎn)生而產(chǎn)生，中國的《九章算術(shù)》和西方的《幾何原本》中含有大量構(gòu)造思想，在數(shù)學發(fā)展的起始階段，存在著大量的直觀經(jīng)驗，而這些經(jīng)驗都是需要加以總結(jié)和提高的，也就是在此時，構(gòu)造方法體現(xiàn)出了極強的應(yīng)用價值，所以無論東方還是西方，構(gòu)造法都有著極其深遠的影響.

2 試卷分析

主要采用文本分析的方法對2021-2022兩年的高考數(shù)學全國卷（包括2021年全國理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷以及2022年全國理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷共8套試卷，下文稱全國卷）進行定量統(tǒng)計和定性分析，明晰構(gòu)造函數(shù)法在高考試卷中相關(guān)試題的分值及分值占比，呈現(xiàn)試題的特點以及命題導向，根據(jù)研究的實際呈現(xiàn)結(jié)果為構(gòu)造函數(shù)法的教學提出合理可行的建議.

2.1 試卷總體分析

由表1和表2可知，與函數(shù)有關(guān)的試題在考查函數(shù)相關(guān)知識點的同時，更側(cè)重于構(gòu)造思想方法的滲透.從考查總分來看，全國卷對構(gòu)造函數(shù)法的考查總分穩(wěn)定在10-20之間，選填題和解答題都有涉及考查，以中等及以上難度的題目為主.

從考查知識來看：試題考查的知識覆蓋必修和選修函數(shù)這一主題的各個章節(jié)，包括：函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性等）以及一元函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系等；此外，由于函數(shù)在高中數(shù)學解題中的工具性，在圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的幾何性質(zhì)及最值問題、隨機變量的分布列及期望、錐體與球的綜合問題、等差數(shù)列的證明、不等式的范圍等相關(guān)問題的解決過程中，也可能需要構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)作為解決問題的工具.

從試題類型來看：對選填題的統(tǒng)計表明，8套試卷中共考查了10道選填題，大多位于選填題的中間或壓軸位置，著重考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)或是以構(gòu)造出的函數(shù)作為工具解決圓錐曲線、錐體與球等相關(guān)問題，對于解答題的統(tǒng)計表明，8套試卷中共考查了8道解答題，一般出現(xiàn)在壓軸題或次壓軸題的位置，主要在導數(shù)相關(guān)知識的考查中體現(xiàn)構(gòu)造法的思想解決方程根的問題、證明不等式、極值問題、函數(shù)零點問題、參數(shù)取值范圍問題. 此外，在新高考試卷中出現(xiàn)了通過構(gòu)造合適的函數(shù)來證明隨機變量的期望、等差數(shù)列的證明.由此可以看出，高考試卷在選填題和解答題上都側(cè)重對函數(shù)性質(zhì)的考察，解答題還注重導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系.考查知識明確，考查題型穩(wěn)定，考查難度偏難，偶有難度減小現(xiàn)象，試題對函數(shù)內(nèi)容的考查逐漸深入，注重學科知識的融合性.

2.2 試題特點分析

2.2.1 重視基礎(chǔ)知識的考查

全國卷作為使用范圍最廣的高考試卷，重點考查基礎(chǔ)知識、基本經(jīng)驗、基本技能和基本方法.試題在教材的基礎(chǔ)上推陳出新，對教材進行了激活，體現(xiàn)了命題源于教材又高于教材的特點.通過對基礎(chǔ)知識的重新變式或拓展，賦予時代特色，體現(xiàn)全國卷的設(shè)計理念，例如2022年新高考Ⅰ卷22題第（2）問對等差數(shù)列的證明，體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)，側(cè)重對學生基本知識的考查.

2.2.2 重視創(chuàng)新能力的考查

《深化新時代教育評價改革總體方案》提出：構(gòu)建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題的開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象. 例如2021年新高考Ⅱ卷第14題，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造符合題目要求的函數(shù)解析式，著重考查學生的思維靈活性，試題形式為開放性試題，有利于數(shù)學學科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，發(fā)揮了高考數(shù)學試卷的選拔功能.

2.3 命題導向分析

以試題的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，聯(lián)系試題特點，繼續(xù)對命題導向進行分析探討，具體如下.

2.3.1 考查知識綜合化

結(jié)合表1和表2可以看出，對構(gòu)造函數(shù)這一方法考查總分占比穩(wěn)定.全國卷中對單一知識點進行考查的試題明顯減少，重視知識綜合.隨著文理不分科的實行，試題考查有著綜合化的趨勢，重視函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的性質(zhì)與導數(shù)的關(guān)系等知識在試題中的融合考查；強調(diào)基礎(chǔ)內(nèi)容和主干知識，關(guān)注知識間的聯(lián)系；素養(yǎng)考查上，側(cè)重以題目中已知元素作為原件進行構(gòu)造，側(cè)重創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)以及邏輯思維能力的發(fā)散.

2.3.2 考查題型多樣化

《中國高考評價體系》明確指出“四層”為高考的考查內(nèi)容，即“核心價值、學科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”，“四翼”為高考的考查要求，即從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的角度對素質(zhì)教育的目標進行評價. 試題的答案不再是唯一的，開放性試題和結(jié)構(gòu)不良試題登上高考試卷舞臺，要求學生具備靈活運用知識的能力.如2021年新高考Ⅱ卷14題，開放性試題為學生提供了更多展示空間、發(fā)散思維、綜合解答問題和探究創(chuàng)新的可能.開放性試題是考查學生核心素養(yǎng)和數(shù)學能力的重要方式，也是綜合性和創(chuàng)新性的集中體現(xiàn).

3 構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用評析

函數(shù)在高考試卷中占有重要地位，運用一些傳統(tǒng)方法解決問題遇到困難時，可以轉(zhuǎn)變解題思路，通過構(gòu)造適當形式的函數(shù)模型達到解決問題的目標.

3.1 構(gòu)造函數(shù)比較大小

例1?? （2022年新高考Ⅰ卷7）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（????? ）.A.a

C.c

比較大小問題經(jīng)常用到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾類常見的基本初等函數(shù)，綜合應(yīng)用指數(shù)運算、冪運算、對數(shù)運算，通過構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用對應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，形象直觀地處理相關(guān)的比較大小問題，可以很好地考查函數(shù)與方程思想、抽象概括、推理論證、運算求解能力，以及數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、比較大小等知識，破解此類問題的關(guān)鍵：一是細審題，如本題，題眼“a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9”，能發(fā)現(xiàn)它們的共性；二是巧構(gòu)造，即會構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，注意活用導數(shù)法或初等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；三是會放縮，即會利用放縮法比較大小.

3.2 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例2?? （2021年新高考Ⅰ卷22）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，如何構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造什么形式的函數(shù)是一個難點，并且滿足所構(gòu)造的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù).本題作為2021年新高考Ⅰ卷壓軸大題，以對數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及構(gòu)造函數(shù)證明不等式.以函數(shù)作為工具解決不等式問題時，需要深刻地認識各類初等函數(shù)的具體特征，即一般的基本初等函數(shù)y=f（x）及其反函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象變換等），第（2）問中的不等式證明，對學生的邏輯思維能力和運算求解能力和創(chuàng)新能力進行了深層次的考查，需要注意培養(yǎng)學生理性思維和數(shù)學探索等素養(yǎng).

3.3 構(gòu)造函數(shù)求值或參數(shù)范圍

例3?? （2021年全國甲卷21）已知a>0且a≠1，函數(shù)f（x）=xaax（x>0）.

（1）當a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

本題作為壓軸大題，主要考查導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及方程根的問題中的應(yīng)用，第（2）問中首先將曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點轉(zhuǎn)化為方程lnxx=lnaa有兩個不同的解，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnxx，通過求導得到g（x）的單調(diào)性，進而有g(shù)（x）max=1e.又g（1）=0，從而得到0

3.4 根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造具體函數(shù)

例4?? （2021年新高考Ⅱ卷14）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx=.

（1）f（x1x2）=f（x1）f（x2）；

（2）當x∈0，+∞時，f ′（x）>0；

（3）f ′（x）是奇函數(shù).

本題要求學生從已有條件出發(fā)，列舉出一個滿足條件的函數(shù).看似是一個“舉例問題”，但其本質(zhì)上仍是一個構(gòu)造問題，構(gòu)造出一個函數(shù)f（x）符合題目中的要求、性質(zhì)等信息.由于答案開放，所以在邏輯思維的靈活性方面起到了很好地考查作用，同時也為不同層次、不同水平的學生提供充分發(fā)揮自己數(shù)學能力的空間.

通過以上對構(gòu)造函數(shù)法例題的分析可以看到，構(gòu)造法確實是一種解決函數(shù)問題的好途徑，當使用常規(guī)思維方法無法解決問題時，合理構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)，直觀簡單明了地解決問題，啟迪學生數(shù)學思維，開拓學生解題思路，同時也提高了學生分析問題、解決問題的能力，起到事半功倍、出奇制勝的效果.

4 研究啟示

4.1 加強對函數(shù)概念本質(zhì)的理解

學生學習數(shù)學概念的過程，就是學生掌握數(shù)學本質(zhì)的過程.張奠宙先生認為數(shù)學本質(zhì)是“數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學規(guī)律的形成過程，數(shù)學思想方法的提煉，數(shù)學理性精神的體驗.”從概念上看，函數(shù)是一類特殊的映射，其本質(zhì)是兩個非空實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，那么學生除了要理解“對應(yīng)”的思想，還要準確地認識集合、定義域、值域等， “函數(shù)思想”就是以此為基礎(chǔ)建立的，通過解決相關(guān)的問題，學生在原有的認知基礎(chǔ)上，提出質(zhì)疑，認真反思，逐步加強對函數(shù)概念的理解，學生清晰地認識了對應(yīng)思想后，才能更好地理解函數(shù)的本質(zhì)特征，在解題過程中把握函數(shù)思想，提高學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

4.2 注重構(gòu)造思想的滲透

構(gòu)造法的應(yīng)用很多，針對不同的數(shù)學問題可以采用不同的構(gòu)造方法，但并不是所有的問題都能夠通過構(gòu)造適當?shù)臄?shù)學模型得以有效解決.在平常的數(shù)學教學活動中，教師應(yīng)注意循序漸進地對學生進行構(gòu)造思想的滲透，在潛移默化中增加對學生構(gòu)造思想的體驗.運用構(gòu)造法解決問題有助于學生構(gòu)建數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，在建構(gòu)過程中，通過對已有的數(shù)學知識經(jīng)驗進行整合重組，構(gòu)造一個新的數(shù)學對象，形成新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).運用構(gòu)造思想解決問題是一個綜合了抽象思維、形象思維、邏輯思維等多種思維成分的復雜思維過程，這一過程同時也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的過程.

參考文獻：

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［3］ 陳旗.構(gòu)造法在高中數(shù)學中的應(yīng)用探究［D］.西安：西北大學，2016.

［責任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡介：趙文慶（1998-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，從事數(shù)學教學研究；

陸萬順（1981-），男，寧夏彭陽人，碩士，副教授，從事數(shù)學教學研究.

基金項目：寧夏自然科學基金項目（項目編號：2022AAC03329）;寧夏高等學?？茖W研究項目（項目編號：NXG2022098）