關鍵詞：中國古代數學；最小二乘法；顧澄；譯著

中圖分類號： N09 文獻標識碼： A 文章編號： 1673-8462（2023）04-0048-10

0 引言

概率論與數理統(tǒng)計學思想在晚清時期開始傳入中國。1880 年，英國傳教士傅蘭雅（John Fryer，1839-1928）與中國數學家華蘅芳合譯的《決疑數學》［1］一書的問世，是概率論與數理統(tǒng)計學知識傳入中國的開端。但此后中國概率論與數理統(tǒng)計學的發(fā)展陷入停頓，直到1910 年《最小二乘法》的出版才打破僵局。雖然《決疑數學》第十卷為最小二乘法的專門介紹，但其中對一般方法和相關例證的論述不夠全面。《最小二乘法》首次系統(tǒng)地將最小二乘法核心理論及其應用方法引入中國，其理論內容相對淺顯，實用性較強，適合理論知識儲備不足的國人閱讀與使用?！蹲钚《朔ā返膯柺肋M一步豐富了中國近代概率論與數理統(tǒng)計學的內容，具有重要學術價值。

學界對晚清數學史的研究已取得豐碩的成果，已有研究中不乏對《最小二乘法》一書的關注：王幼軍表示《最小二乘法》是20 世紀數理統(tǒng)計學知識傳入中國之始［2］；杜良考察了《最小二乘法》的譯者、翻譯情況和影響等［3］；唐麗娜和楊鎵萁指出《決疑數學》為清末翻譯的兩部英美概率統(tǒng)計著作之一［4］。其中，王幼軍與唐麗娜和楊鎵萁僅對《最小二乘法》有所關注，并未做相關研究；杜良則對《最小二乘法》底本版次的介紹有誤，也未確定該書所用底本版次。鑒于此，筆者結合相關資料系統(tǒng)考察《最小二乘法》的作者、底本、譯者、譯文、流傳與影響，以就教于方家。

1 《最小二乘法》傳入中國的社會背景

晚清以降，特別是自洋務運動以來，實用性科學知識在中國的關注度日益提高，“中學為體，西學為用”的氛圍愈加濃烈，作為應用數學之一的概率論與數理統(tǒng)計學知識隨之傳入中國。首先傳入中國的概率論與數理統(tǒng)計學譯著是《決疑數學》。隨著概率論與數理統(tǒng)計學知識進入國人視野，其實用價值也為中國社會所關注，1891 年發(fā)表于《格致匯編》上的一篇文章《格物雜說：以算學決疑說》表示：“保險保命之事自有把握，故西國每年開此公司者獲利甚巨，均賴算學之理始能辦理妥善也……以數決疑之理于人大有裨益，人賴此理即可不必信夫時運等空虛之談也?！保?］1895 年甲午戰(zhàn)爭后，隨著中華民族危機的加劇，晚清政府不僅掀起師日熱潮，而且繼續(xù)向西方學習，在教育方面推行興設學堂、頒行學制、廢除科舉、派遣留學生等，小學堂、中學堂、高等學堂、師范學堂和實業(yè)學堂等新式學校應運而生，西方列強也在中國創(chuàng)辦了不少教會學校，至1905 年由基督教創(chuàng)辦的教會學校的數量就已達到2585 所［7］。此外，“壬寅學制”①和“癸卯學制”相繼頒行，后者規(guī)定在格致科大學星學門和物理學門中分別設“星學及最小二乘法”和“物理實驗法最小二乘法”為主課，概率論與數理統(tǒng)計學相關課程隨之步入大學課堂［8］。隨著新式學校的創(chuàng)建和新學制的施行，新式教材的編譯也開始提上日程，概率論與數理統(tǒng)計學教材就在此列?！蹲钚《朔ā繁闶穷櫝卧诰煷髮W堂任教時所用的教材。

同時，國人意識到統(tǒng)計學對于國家進步的重要意義，如1902 年，陳黻宸在其撰寫的《獨史》一文中強調：“夫歐美文化之進，以統(tǒng)計為大宗?！保?］631晚清政府開始注重統(tǒng)計學教育的普及，將統(tǒng)計學課程引入大學課堂并不斷增設：1902 年，《欽定學堂章程》規(guī)定在仕學館理財學門第三學年開設統(tǒng)計學課程，此為中國首次開設統(tǒng)計學課程［10］；1904 年，《奏定學堂章程》將國內大學劃分為8 科，規(guī)定政法科大學政治門于第三學年開設全國土地民物統(tǒng)計學課程；1907 年，清政府學部奏請在進士館房舍基礎上設立京師法政學堂，計劃于正科政治門第三學年時開設統(tǒng)計學課程［11］。既包含數學知識，又與統(tǒng)計學聯系密切的《最小二乘法》，便在這一社會背景下傳入中國。

2 《最小二乘法》的作者與底本

《最小二乘法》的底本是時任利哈伊大學土木工程學教授的曼斯菲爾德·梅里曼所著的《最小二乘法教科書》（ A Text ? book on theMethod of Least Squares）。曼斯菲爾德·梅里曼，美國土木工程師，1848 年3 月 27 日出生于美國康涅狄格州的索辛頓，1871 年畢業(yè)于耶魯大學謝菲爾德科學學院，先后任職于美國工程兵團、耶魯大學和利哈伊大學，1881 年當選美國哲學學會會員。曼斯菲爾德·梅里曼在水力學、橋梁設計、建筑、純數學等方面取得重要成就，著有《水力學論》（Treatise on Hydraulics）、《屋頂和橋梁教科書》（A Textbook on Roofsand Bridges）、《美國土木工程師袖珍書》（American Civil Engineers' Pocket Book）、《數學中的娛樂》（Recreations in Mathematics）、《最小二乘法要素》（Elements of the Method ofLeast Squares）、《最小二乘法教科書》（ A Text?book on the Method of Least Squares ）等②。

《最小二乘法教科書》的初版時間為1884年，是在1877 年出版的《最小二乘法要素》的基礎上完成的。《最小二乘法要素》著眼于兩點：一是以簡單的方式呈現最小二乘法的基本原理和過程，并通過簡單實用的例子說明其應用，使沒有受過拓展數學訓練的土木工程師也能夠使用它；二是進一步闡述了最小二乘法理論，以滿足不斷增加的學生的需求。該書第1～5 章為實踐應用，即關于工程觀測的調整和比較，包括緒論、對單個量的直接觀測、對幾個量的獨立觀測、條件觀測和關于物理觀測的討論；第6～7 章為理論闡釋，即關于最小二乘法和可能誤差理論，包括基本原理的推導，以及有關實用方法和公式的發(fā)展［12］。

相比于《最小二乘法要素》，《最小二乘法教科書》修改和添加了許多內容，以至于其幾乎成為一本新的著作，而非《最小二乘法要素》第2 版。此書修改和添加了以下內容：一是調換了實踐和理論兩部分的順序，先在第1～4 章中介紹了數學原理、方法和公式的發(fā)展，后在第5～9 章中將這些數學原理、方法和公式應用于不同類別的觀測，并通過許多實際例子進行說明；二是增添了德國土木工程師哈根（Got?thilf Heinrich Ludwig Hagen，1797-1884）和高斯（Johann Carl Friedrich Gau?， 1777-1855）對誤差概率定律的推導；三是更關注誤差的傳播規(guī)律、正規(guī)方程的求解和經驗公式的推導；四是在每章結尾處給出一些問題或疑問；五是附表中有方便計算的8 個表格等［13］。

《最小二乘法》于1910年在中國出版之前，《最小二乘法教科書》已有7 版。目前能搜集到的有第1 版（1884）、第3 版（1888）［14］、第6版（1893）［15］和第7 版（1897）［16］。第1 版和第3版的結構、內容一致。從第6 版“ 前言”結尾處的補充說明中可推斷出，第4 版和第5 版也未做較大調整。第6 版除了修改了明顯的印刷錯誤，還改寫了第107 條的內容，并在附錄中增加了對文中所述若干問題的解答，關于一些問題的解決方案的提示，以及對某些理論難點的解釋說明。第7 版則在第6 版的基礎上進行了大幅修改和調整，如：改變了正規(guī)方程中系數的表示法；增加了關于常微分方程的新章節(jié)，其中特別提到了數值計算的最佳方法；提出了關于可能誤差的不確定性和中值的新問題，并給出許多例證等。通過對比發(fā)現，《最小二乘法教科書》第7 版（1897）與《最小二乘法》最接近，雖然在結構上稍有出入，但是在內容上幾乎一一對應。相較于其他版本，兩者皆含有第51 節(jié)和第52 節(jié)有關“不等重率之獨立觀測”的內容；皆含有第十編“規(guī)則方程式之解法”這一內容，具體包括“規(guī)則方程式”“規(guī)則方程式之作法”“ 戈氏解法”“ 重率觀測”“ 對數計算法”“ 均勻值之概差”和“ 問題”；第48 節(jié)處皆列舉了從5 個觀測方程式作各未知數之規(guī)則方程式的例子等［13-17］。因此可以斷定，《最小二乘法教科書》第7 版（1897）即為《最小二乘法》的底本。

3 《最小二乘法》的譯者與翻譯情況

《最小二乘法》（圖2）的譯者是時任京師大學堂數學教授的顧澄。顧澄（1882-約1947），原名浩然，字養(yǎng)吾，號澄亞，江蘇無錫人，1904 年畢業(yè)于清朝江南格致書院數學科。畢業(yè)后輾轉任教于“ 自治學社”、京師大學堂（1912 年5 月更名為北京大學）、清華學堂、北京政法專門學校、北平女子文理學院、北平師范大學、東北大學、上海交通大學等校。期間，顧澄參與組織立達學社，參加南社、數理化學會等社團活動；參與籌備、創(chuàng)建中國數學會，并被推選為董事。民國初期進入政壇，任職于北洋政府教育部、財政部。譯有《普通教育幾何教科書（平面之部）》《定列式之理論》《四原原理》《最小二乘法》《普通教育代數教科書》《統(tǒng)計學之理論》《新撰平面三角法教科書》《ABC 對數表》等十余種著作，合稱“ 元健齋叢書”［3］?！蹲钚《朔ā繁涣袨椤霸↓S數學叢書”之第十二。

顧澄翻譯《最小二乘法》的主要原因在其譯著的陳述中有跡可循。一是最小二乘法具有非常重要的應用價值。顧澄多次強調這一理論的用處十分廣泛，如：“最小二乘法之用，不僅可施于天文地理射擊航海等科，即凡物理現象與政治現象，亦無不可以之?！薄皩こ祵W，只能馭確定之事，范圍尚狹。自概率學興，事之不確定者，均可以數馭之。”“斯學之應用最廣者，為天文學、測地學、海陸軍學（射擊航海在內）、土木工學（鐵路在內）、采礦學、理論物理學、理論化學……”［17］譯余贅語二是由于《最小二乘法》將理論與實踐一分為二，適合統(tǒng)計學初學者閱讀：“此書所載實例，雖偏重測量，但其理論則與統(tǒng)計學理至有關系，研究統(tǒng)計者茍能熟讀是書，則進研精深之統(tǒng)計學，將有庖丁解牛之樂矣?！保?8］同時又方便數學一般者應用：“惟斯學理論，至深至奧，非精高等數學者不易解得。本書欲便于時用，特區(qū)理論、應用為二……凡測量家之未習高等數學者，讀本書時，略其理論，識其范式，詳考實例，自能明其用法?！保?7］譯余贅語

《最小二乘法》的排版方式已西化，將文字橫排，即自左向右，自上而下。該書正文共11編，每編分為若干節(jié)，共170 節(jié)，其中“ 前四編論理論，專備數學家之研究；后六編言法，專備測量家之應用；末附補遺及表一編，理論、應用二者皆具，以補前十編之不足”［17］。在翻譯《最小二乘法》時，顧澄保留了底本對前十編的結構安排，僅對第十一編的結構做了適當調整，將“History and literature”（歷史與文獻）移至“ 譯余贅語”，將“Constant numbers”（常數）和“Answers to problems； and notes”（注及問題之答）的順序調換（表1）。

顧澄對書中數學知識的理解比較到位，翻譯時不拘泥于底本并將英文轉化為半文言文，既能較準確地傳遞原文含義，又適應了當時的中文語境。如“Direct observation are thosewhich are made directly upon the quantitywhose magnitude is to be determined. Such aremeasurements of a line by direct chaining，ormeasurements of an angle by direct readingwith a transit.They occur in the daily practice ofevery engineer.”［16］2 他將上述譯為“ 直接觀測：徑測所求之量者，曰直接觀測。如以測連直接測定一直線之測數，與以轉鏡經緯器直接測定一角之測數等皆是。此類觀測乃工師所習見而日遇者也”［17］2。顯而易見，顧澄用半文言文的方式簡單直白地解釋了“ 直接觀測”一詞的含義。

顧澄幾乎保留了底本的全部內容，僅刪改了某些不恰當的或錯誤的內容，如為了更加貼合“任意個單事所成之復事”這一知識點，他調整了第16 節(jié)中的第6 個問題。原文為：“Apurse contains nine dimes and a nickel. A sec?ond purse contains ten dimes. Nine coins aretaken from the first purse and put into the sec?ond， and then nine coins are taken from the sec?ond and put into the first. Which purse has thehighest probable value？”［16］12譯文為：“設隨意作兩個六位數，則適得第一數之各位不大于第二數中相當之各位之概率如何?！保?7］14顧澄糾正了底本中的計算錯誤，如第105 節(jié)中v2 的計算結果應為“0.0812”，而非“0.0756”。此外，他還在一些地方添加解釋說明，以便于國人學習，如在第5 節(jié)處增加“ 常誤差”的定義，即“ 一物之測數與其真值之差曰誤差”；在第7 節(jié)處增加“失誤”的定義，即“誤差之起于人之失誤者，曰失誤”等［17］。可見，顧澄在翻譯《最小二乘法》時，對結構安排和內容翻譯進行深思熟慮，力圖中西并舉、言辭達意、刪繁就簡、補偏救弊等。

4 《最小二乘法》的術語處理與符號表示

顧澄對術語命名較有見解，認為“欲明此字用法之不同，須先言數種記號之定義。蓋必記號之義先定，再述各書以同此一字或名此號或名彼號；其分歧情形始易清楚也”。他表示翻譯名詞是一件難事：“覺譯名之難雖不一端，而莫如同一英文原名而各書之用法不一，往往顧此失彼，無法兼通?！蓖瑫r，顧澄也較注重術語的統(tǒng)一，于20 世紀30 年代積極參與中國數學會主持的數學名詞審查工作，并稱贊此工作“將數千譯名，多年懸案，完全解決，告一段落，厥功不可謂不偉”［19］。

《最小二乘法》中的術語在前人基礎上進一步規(guī)范，如“The method of least squares”一詞從“最小平方法”改譯為“最小二乘法”。因這里的“Squares”是數之平方，而非幾何學中的平方，此譯法可避免二者混淆（受日譯名的影響，且1904 年《奏定京師大學堂章程》中已采用“最小二乘法”這一譯名。）。“Square”則被譯為“二乘冪”，因為若被譯為“二乘”，則與“以二乘三”之“二乘”相混。此外，顧澄認為“冪”字在古書中專指“平方”，此譯法稍有遷就，但“近今日本代數及吾國新譯各種代數，亦多用二乘冪、三乘冪等，學者用此等名詞，已極習慣，故本書從之”?！癙robability”被改譯為“ 概率”，因“吾邑華若汀先生曾譯為決疑數，日本有譯為適遇者、諒必者、公算者、蓋然者、確カラシサ者，皆嫌不甚恰當”。對于其他譯名，顧澄表示因“急于脫稿，心知其不甚妥洽，而無暇更定者亦甚多，各附英文原名于頁末，以便讀者對勘，海內學者，幸賜教正”［17］譯余贅語。至于名詞命名原則，顧澄雖未說明，但大致沿襲了前人的以舊譯名為主、盡量意譯、簡單明晰等原則。茲選取《最小二乘法》中的部分譯名（附今譯名），借此分析概率論與數理統(tǒng)計學名詞的流傳情況（表2）。

《最小二乘法》中有些名詞仍沿用《決疑數學》中的譯名，如“Mean”（中數）、“Mean error”（中差）、“Line”（線）、“Angle”（角）、“Constant”（常數）等。但是相較于《決疑數學》，《最小二乘法》中的譯名更加書面化，更為準確易懂，如“The method of least squares”一詞，前者譯為“ 極小平方之法”，后者譯為“ 最小二乘法”；“Probability”一詞，前者譯為“決疑，決疑數，決疑率”，后者譯為“概率”；“Compound event”一詞，前者譯為“叢事”，后者譯為“復事”；“Sim?ple event”一詞，前者譯為“ 原事”，后者譯為“單事”等。這反映了譯者對中西語言文化差異的進一步認知和對相關數學知識更深層的理解。后者保留至今者更多，其余譯名也大都與今譯名含義相近。同時，顧澄也創(chuàng)譯了一些名詞，如“比倫數”（Correlative）和“中央數”（Me?dian），但這兩詞未能流傳下來［17］。

《決疑數學》的譯者傅蘭雅與華蘅芳沿襲了李善蘭創(chuàng)造的一些中算符號和用漢字或其偏旁來替代西算符號的翻譯方式，即阿拉伯數字（1、2、3 等）被替換為中國數字（一、二、三等）；希臘字母“α”“β”“γ”“π”“λ”“ω”等被譯為28 星宿里的角、亢、氐、房、虛、柳等；運算符號“ + ”“ - ”“d”“∫”“l(fā)og”“Σ”“F”“Π”被替換為“┴”“┬”“彳”“禾”“對”“口昂”“口函”“婁”等。不過，“×”“=”“÷”“（）”“［］”等西式符號得以保留。這套符號體系加上特別的書寫順序（如分數的分子與分母上下調換等），使數學表達式變得頗為繁雜，如：

這表明國人心態(tài)發(fā)生轉變且中國科學開始融入世界科學體系。

5 《最小二乘法》的流傳與影響

顧澄熱衷于翻譯，將推動中國學術進步寄希望于譯書事業(yè)：“如編譯館設立以后，能取高等各科分別精譯。積以日月，諸科咸備。于是重訂學制，減少西文鐘點…… 則學生之學年可短，學費可省，吾國學術之進步亦自可因之而速”［20］?！蹲钚《朔ā返姆g便是顧澄這一愿望的具體體現。最小二乘法在概率論與數理統(tǒng)計學中占有重要地位，而該書首次系統(tǒng)地闡述了最小二乘法的理論及其應用方法，進一步填補了中國近代概率論與數理統(tǒng)計學的空白。不過，由于普及書局倒閉，受損甚巨，顧澄的“元健齋數學叢書”無法繼續(xù)刊印，加上顧澄本人涉足政治，意欲別有建樹，對已出之書亦無暇再版，以至于《最小二乘法》的刊刻次數不多［21］?！蹲钚《朔ā返牧鱾骱陀绊懛秶草^窄，作為顧澄在京師大學堂任教時所用的教材，主要在京師大學堂師生間流傳并對該校的數學教育產生影響。至于坊間流傳，則僅查閱到薛鴻志編著的《教育統(tǒng)計學大綱》［22］（1922 年出版）一書參考過《最小二乘法》。

《最小二乘法》在當時流傳和影響有限的原因與時局動蕩、學科發(fā)展滯后、同類型著作的不斷出現有關。首先，在《最小二乘法》問世之時，晚清中國社會深陷危難之中，處于危急存亡之際，無法為科學技術的發(fā)展提供穩(wěn)定的環(huán)境。因此，概率論與數理統(tǒng)計學雖已引起晚清政府和國人的注意，但由于“水土不服”而未找到合適的生存土壤，無法有效發(fā)揮其應用價值。其次，概率論與數理統(tǒng)計學在此時雖已傳入中國，不再處于空白狀態(tài)，但此前傳入的知識量少、相對簡單且距離這時已有30 年。對于國人來說，《最小二乘法》中的知識仍舊很陌生，很難順利為國人所接受。最后，1912 年后，概率論與數理統(tǒng)計學同類型著作相繼出現，如《統(tǒng)計學之理論》《統(tǒng)計學原理》《統(tǒng)計方法大綱》《統(tǒng)計學原理及應用》《測驗統(tǒng)計概要》《最小二乘式》《統(tǒng)計新論》等。這些著作很快取代《最小二乘法》，成為時人學習與研究概率論和數理統(tǒng)計學的最佳選擇。但總體而言，《最小二乘法》的翻譯質量較好，譯文凝練、力求意譯，數學譯名大多數貼切且多數沿用至今，對中國近代概率論與數理統(tǒng)計學的發(fā)展產生了一定的推動作用。晚清學者李楚珩評價《最小二乘法》：“首尾厘然，有條不紊……足促數學之進步也?！保?7］序

6結語

隨著19 世紀中葉第二次西學東漸的推進和民族自強對實用知識的需求的增加，概率論與數理統(tǒng)計學知識開始傳入中國并逐漸引起重視。1895 年甲午戰(zhàn)爭的失敗在加劇民族危機的同時，也加速了國內教育改革的步伐，數學和統(tǒng)計學愈發(fā)受到國人和晚清政府的重視?！蹲钚《朔ā纺軌蛟谥袊鴨柺琅c這一社會背景密切相關。

《最小二乘法》的底本為美國曼斯菲爾德·梅里曼所著的《最小二乘法教科書》第7 版（1897）。作為土木工程師，曼斯菲爾德·梅里曼就數學知識在工程建設中的實際應用方面積累了豐富的經驗?！蹲钚《朔ń炭茣芬粫碚撆c應用相結合，采用西方的推理論證方式來闡述最小二乘法理論，主要強調這一理論的廣泛應用性，不僅列舉出許多經典有趣的例題，如骰子點數問題、紅白球問題等，而且內容通俗易懂，具有代表性，適合國人學習與研究。這些優(yōu)點也是吸引顧澄選擇翻譯該書的主要原因。

顧澄本人較看重翻譯西方書籍之事，且具備基本的翻譯技能。他在翻譯《最小二乘法》時基本保留了底本的原有面貌，僅對結構和內容進行小幅調整、刪改或添加，采用半文言文的方式來精練地表達語句，在名詞術語方面既重視舊譯名，又基于自身理解對已有譯名加以改進并創(chuàng)譯新詞，對數學符號的表示則與西方接軌。總之，顧澄既在中西并舉的同時力圖意譯，又在刪繁就簡的同時補偏救弊，有意追求嚴復的“信、達、雅”翻譯標準。

《最小二乘法》首次系統(tǒng)地闡述了最小二乘法理論及其應用方法，是繼《決疑數學》之后的第二部概率論與數理統(tǒng)計學著作，時隔30年重啟了這一學科在中國的發(fā)展，在這一學科史上占有重要地位。但遺憾的是，由于社會環(huán)境和學科發(fā)展的限制以及同類型著作的沖擊，《最小二乘法》流傳不廣且影響較微，其強調的最小二乘法理論也未能立即在中國引起反響。20 世紀30 年代之后，隨著概率論與數理統(tǒng)計學相關領域留學生的歸國和編譯、教學、研究工作的開展，最小二乘法理論最終扎根于中國。

［責任編輯 黃祖賓 楊小平］