福建省福州高級中學(350007) 賴曉暉

“互聯(lián)網(wǎng)+”教育為個性化學習帶來便利.目前的高中數(shù)學在線學習,通常是文本、視頻講解為主,輔之以在線答疑.高中數(shù)學教學中經(jīng)常遇到含參數(shù)的動態(tài)圖形問題,動態(tài)圖形問題常是教學難點.在線學習中,學生只能看視頻中教師的演示過程,無法親自動手參與實驗,重復看視頻錄像,也只是重復看同一個演示過程,還有沒有其他可能呢?學生無法確認.這樣還是不能很好地突破難點.如果學生能動手操作數(shù)學實驗,“經(jīng)歷直觀感知、操作確認,猜想驗證”[1],升華到思辨論證,可以較好地建構知識體系.筆者嘗試將在線測試與GeoGebra數(shù)學實驗融合,獲得了較好的教學效果.

1 GeoGebra數(shù)學實驗

GeoGebra是一款集作圖、運算、交互為一體的功能強大的數(shù)學軟件.GeoGebra是基于JavaScript編寫的開源軟件,用GeoGebra制作的實驗課件很適合于在線呈現(xiàn)與操作.它可用繪圖工具、指令、腳本編程完成作圖,制作的數(shù)學實驗的交互功能很好.“點、線、面、幾何體都是GeoGebra的對象,通過屬性設置或編寫腳本,可以個性化地設置、改變對象的屬性[2].”在GeoGebra官網(wǎng),可以在線制作數(shù)學實驗,也可以在本機上制作數(shù)學實驗課件,再生成在線實驗.

2 在線題組測試

GeoGebra官網(wǎng)提供了“活動”頁面,“活動”可以將GeoGebra課件、單項/多項選擇、圖片、文字符號、文件、視頻、鏈接集中在一個頁面.利用這個頁面,筆者設計出基于GeoGebra數(shù)學實驗的在線題組測試.“活動”可以應用為“課程”,在線學習的學生進入課程后,就可以進行在線測試和在線探究實驗,教師可以在線查看測試的實時結果,明了每個學生每道題答題的正確與錯誤,知曉每位學生測試的實時進度.

數(shù)學題組可以圍繞某一類知識,采用題目訓練的方式,讓學生針對該類知識和相關問題進行練習,以達到對該類知識的充分理解和在具體的問題情境中活學活用,從而讓學生在針對某類知識的題目中找尋規(guī)律,發(fā)現(xiàn)題組中蘊含的知識和解題技巧[3].這一類知識,可以是一個微專題,甚至更小的一個知識塊,通過設計有內(nèi)在邏輯關系的數(shù)學題組來揭示問題的基本原理、進行變式訓練.設計數(shù)學題組要求由淺入深、層層遞進,引導學生積極思考、主動探究,進而突破難點、掌握規(guī)律、理解問題本質(zhì).

在實驗探究過程中,無論是二維圖形,還是三維圖像,GeoGebra都能直觀地呈現(xiàn)動態(tài)變化圖像,學生可以通過在線操作數(shù)學實驗,觀察由參數(shù)變化引起的觀測量的具體變化,還可以用GeoGebra 度量、計算某個量,從而驗證或否定自己的疑問或猜想,或者在觀察變化情況后主動探求規(guī)律.這些都有利于提升學生在線學習的興趣和效果.

教師通過在線題組測試結果可以了解每個學生完成題組情況(如圖1 圖2),準確了解教學目標達成情況,適當調(diào)整線上或線下的教學進度.

圖1 學生完成測試的進展

圖2 各選項選擇的人數(shù)

3 在線題組測試的結構

經(jīng)過多次實踐、總結,筆者認為探究性的在線測試的構成可以是:

(1)引言: 對即將探究的問題作概要描述,還可以對核心知識點作解析;

(2)測試1: 對很基礎的內(nèi)容進行測試,也就是后續(xù)學習中需要掌握的內(nèi)容;

(3)測試2: 該在線題組希望解決的問題,難度高于測試1,也是本題組和實驗探究要突破的問題;

(4)GeoGebra 數(shù)學實驗1: 以測試2 為基礎制作的數(shù)學實驗,學生可以動手操作,這個實驗可以包括后面的測試將涉及的實驗;

(5)視頻/文字講解、小結: 講解測試2;

(6)測試3: 與測試2 難度相當?shù)淖兪絾栴};

(7)測試4: 比測試2 難度相當或稍大的變式問題;

(8)GeoGebra 數(shù)學實驗2: 如果GeoGebra 數(shù)學實驗1 不能涵蓋測試3 和4,可以增加一個或兩個數(shù)學實驗;

(9)視頻/文字講解、小結: 對測試3、4 解答、小結,甚至提出新問題給學生思考.

通過有梯度、遞進的題組的引導及動手實驗,學生專注于某一小類問題的探究與實驗, 題組將學生思維引向深入,有梯度的題組能降低問題解決的門檻,讓學生感到對學習解決這類問題有信心、能上手,遞進式題組帶給學生成功的體驗,有成就感.一大類問題可以設置多個題組,小步子遞進,能讓一部分學生感到學有所得,又能提升學生的問題意識、引導學生思考,讓學生感到還有更深入的問題可以探究.

實驗探究除了幫助學生解答疑問、理解問題,將帶給學生更多啟發(fā)和思考.自己提出問題并嘗試自己解決問題是GeoGebra 數(shù)學實驗探究的目標.能提出問題是學生的思維充滿活力的表現(xiàn).應當鼓勵學生對問題大膽猜想,并借助于適當?shù)墓ぞ?如: GeoGebra 數(shù)學實驗)驗證自己的猜想是否正確.這是學生學會研究的必經(jīng)之路,也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的有效途徑.

GeoGebra 數(shù)學實驗將抽象問題可視化, 學生在思考問題之后,能用直觀圖形幫助理解,利于直觀想象素養(yǎng)的提升.“如果要用一句話描述數(shù)學教育的根本,那就是培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀,因為數(shù)學的結論是‘看’出來的,不是‘證’出來的,依賴的是數(shù)學直觀,這是‘三會’的現(xiàn)實表現(xiàn).數(shù)學直觀是一個人長期進行數(shù)學思維形成的,是逐漸養(yǎng)成的一種思維習慣.這個思維習慣日積月累就形成了數(shù)學素養(yǎng)[4].”

筆者認為,按上述結構,基于GeoGebra 數(shù)學實驗的在線題組測試可以實現(xiàn)在線測試與實驗探究的相互融合.

4 在線題組測試舉例

活動1球與正方體的截切問題

問題1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則以該正方體的中心O為球心,當球O與正方體外接時,球半徑為( )

問題2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則以該正方體的中心O為球心,當球O與正方體的12 條棱相切時,球O與正方體的交線長為( )

A.6πB.C.D.12π

數(shù)學實驗1: 小球的球心是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O,當球半徑變化時,請觀察球與正方體的位置關系.特別注意三種位置關系: 球與正方體內(nèi)切、球與正方體的棱相切、球與正方體外接.

問題3以D為球心,半徑為1 的球D與棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1相交,則球D與正方體的交線長為( )

A.2πB.C.πD.

問題4以D為球心,半徑為的球D與棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1相交,則球D與正方體的交線長為( )

A.2πB.C.D.

數(shù)學實驗2: 小球的球心是正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點D, 當球半徑變化時, 請觀察球與正方體的位置關系.注意球半徑r在下列情況下的交線:r ＜1、r= 1、

活動1 的題組比較側(cè)重于對球與正方體位置關系的判斷,四個問題可以使用同一個數(shù)學實驗完成探究,數(shù)學實驗1截圖如圖3,數(shù)學實驗2 當時截圖如圖4.所以在視頻、文字的解析中,結合動態(tài)圖像、截圖,告訴學生球半徑等于多少的時候,符合題目所述的情形.問題4(如圖5)有一定難度,也是下一個題組要解決的問題.

圖3

圖4

圖5

活動2與球相關的交線長度問題

問題1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則以該正方體的中心O為球心,若正方體的面ABCD截球O所得圓O1與正方形ABCD內(nèi)切,則球半徑為( )

問題2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則以該正方體的中心O為球心,為半徑的球與正方體的表面的交線長為( )

A.0 B.2πC.4πD.6π

數(shù)學實驗1: 以該正方體的中心O為球心,半徑在變化的小球,當半徑變化時,請觀察球與正方體的棱相切到外接的交線的變化,可以通過按鈕改變觀察的視角.

問題3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則以該正方體的面ABCD的中心M為球心,為半徑的球與正方體的表面的交線長為( )

問題4已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,球O與該正方體的各個面相切,則平面ACB1截此球的截面的面積為( )

數(shù)學實驗2: 小球以正方體的頂點D為球心,當球D的半徑變化時,請觀察球與正方體交線的變化.(如圖10)

圖10

問題2 的直觀圖和正視圖截圖如圖6、7,學生可以通過設置的按鈕控制視角,便于全方位觀察幾何圖形.通過直觀圖和正視圖的對比觀察,學生容易理解這個問題.數(shù)學實驗1是解決問題2 所需要的數(shù)學實驗,和上一個活動的實驗1 類似,但觀察要求不一樣.

圖6

問題3 的截圖如圖8,要求學生在實驗操作及視頻講解后基本掌握截面問題.問題4 的截圖如圖9,球心到截面的距離d的計算稍有變化,可以加深了R2=r2+d2的理解.

圖8

圖9

經(jīng)過兩個題組的訓練、四個數(shù)學實驗的操作驗證,學生對球與正方體的截面問題會有個較全面、深刻的認識.在每個題組中,問題與數(shù)學實驗緊密相關、相互支撐.題組與數(shù)學實驗設計的目標是: 學生通過實驗操作、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算,適當遷移,能夠理解、掌握一類數(shù)學問題的數(shù)學本質(zhì).

圖7

5 結語

通過有限的幾道題, 引導學生解決一小類問題.通過有限個在線數(shù)學實驗, 引導學生研究問題、增長素養(yǎng).基于GeoGebra 數(shù)學實驗的在線題組測試讓在線學習也可以有不小的收獲.