李榮

［摘 要］“大樹(shù)有多高”這節(jié)綜合與實(shí)踐課是通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)等探究活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證“同時(shí)同地，物體高度與影子長(zhǎng)度成正比例關(guān)系”這一規(guī)律，從而運(yùn)用規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題，讓學(xué)生在動(dòng)手中生長(zhǎng)智慧，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效培養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；思考；學(xué)具操作

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）02-0037-04

一、課前慎思

“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開(kāi)始?！本C合與實(shí)踐課是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的重要載體。如何通過(guò)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“大樹(shù)有多高”這一課教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)測(cè)量樹(shù)的高度產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望，并在探究的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)？筆者在課前做了如下分析。

1.條件制約，限制課堂實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展

這節(jié)課涉及地理知識(shí)——太陽(yáng)高度角，因此，開(kāi)展課堂活動(dòng)受到客觀條件的限制，具體表現(xiàn)在：①實(shí)施測(cè)量影子長(zhǎng)度的活動(dòng)需要考慮天氣，如果當(dāng)天天氣不好就無(wú)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；②由于實(shí)驗(yàn)操作易受客觀因素影響，操作不規(guī)范則降低實(shí)驗(yàn)成功率，以及活動(dòng)時(shí)間有限，制約實(shí)驗(yàn)樣本多樣性的采集，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差；③室外教學(xué)使課堂紀(jì)律難以保障，探究效果大打折扣。

2.工具開(kāi)發(fā)，創(chuàng)造數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的可能

工欲善其事必先利其器。針對(duì)上述問(wèn)題，筆者依據(jù)科學(xué)原理，兼顧兒童年齡特征，開(kāi)發(fā)了一套實(shí)驗(yàn)工具（如圖1）。

3.學(xué)科融合，培植學(xué)習(xí)興趣的沃土

興趣是最好的老師。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以使學(xué)生對(duì)不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)象以及問(wèn)題產(chǎn)生好奇，從而進(jìn)行深入探究。有趣的情境創(chuàng)設(shè)、富有挑戰(zhàn)的問(wèn)題設(shè)計(jì)、探索式的教學(xué)形式都能極好地激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。此外，數(shù)學(xué)不應(yīng)是一門(mén)孤立的學(xué)科，應(yīng)將各學(xué)科融入數(shù)學(xué)體系中，對(duì)此，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的整合，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，會(huì)用數(shù)學(xué)和善用數(shù)學(xué)。如課堂伊始，給學(xué)生介紹太陽(yáng)高度角計(jì)算軟件的使用方式；課中，通過(guò)給學(xué)生講述泰勒斯巧測(cè)金字塔高度的故事，讓學(xué)生巧算東方明珠塔的高度；課堂尾聲，介紹現(xiàn)代的測(cè)高工具。將數(shù)學(xué)知識(shí)與地理知識(shí)、數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)代科技有效融合，可不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心。

4.問(wèn)題導(dǎo)向，引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)的方法

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。綜合與實(shí)踐課是以真實(shí)問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)課。筆者通過(guò)設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)：

（1）筆者引入問(wèn)題情境：學(xué)校的操場(chǎng)上有一棵大樹(shù)，要想知道這棵大樹(shù)的高度，可以怎樣做？

（2）筆者在講述泰勒斯巧測(cè)金字塔高度的故事時(shí)，向?qū)W生提問(wèn)：“為什么通過(guò)測(cè)量影子長(zhǎng)度就能計(jì)算出金字塔的高度？影子的長(zhǎng)度與物體的高度有什么關(guān)系呢？”

（3）在學(xué)生對(duì)影子的長(zhǎng)度與物體的高度關(guān)系展開(kāi)研究前，筆者又提問(wèn)：“除了物體本身的高度，還有哪些因素也會(huì)影響影子的長(zhǎng)度？”

（4）筆者提出本課探索的核心問(wèn)題：“同時(shí)同地，物體的高度與影子的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？”“同時(shí)同地，物體的高度與影子的長(zhǎng)度成正比例的數(shù)學(xué)原理是什么？”最后，在應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者又拋出問(wèn)題：“當(dāng)受到條件限制，無(wú)法測(cè)量影子的長(zhǎng)度時(shí)該怎么計(jì)算物體的高度？”

一個(gè)個(gè)問(wèn)題緊密相連，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生對(duì)知識(shí)有了深刻理解。

5.“歸納+演繹”，構(gòu)建科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論

數(shù)學(xué)結(jié)論的形成一般有兩種方式：一種是從已有的事實(shí)出發(fā)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推斷某些結(jié)果；另一種是從已有的定義、公理、定理等出發(fā)，推理證明。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有很多數(shù)學(xué)方法、結(jié)論、規(guī)律，在條件允許的情況下，教師有必要用“歸納+演繹”相結(jié)合的方式推出數(shù)學(xué)結(jié)論，以發(fā)展學(xué)生合情推理與演繹推理的能力。

6.小組協(xié)作，數(shù)學(xué)課堂高效的助力板

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。以學(xué)生自主參與為主的小組學(xué)習(xí)形式有別于課堂上教師的直接講授，能讓每個(gè)學(xué)生在活動(dòng)中找到合適的“崗位”，如測(cè)量影子的長(zhǎng)度時(shí)，小組分工如下：一名學(xué)生負(fù)責(zé)調(diào)整光源高度及光照角度，兩名學(xué)生負(fù)責(zé)物體的擺放與影子長(zhǎng)度的測(cè)量，兩名學(xué)生負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的記錄，兩名學(xué)生負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的計(jì)算。學(xué)生雖各有分工，但卻共同經(jīng)歷活動(dòng)的全過(guò)程，得到的結(jié)論是在小組探討的基礎(chǔ)上達(dá)成的共識(shí)。小組成員之間相互配合、彼此關(guān)照、互相提醒，有效提高了學(xué)習(xí)效率，能力素養(yǎng)得到全方位提升。

二、課中篤行

1.課前談話，感受探索之趣

師（引出太陽(yáng)角計(jì)算器，如圖2所示）：同學(xué)們，在不同的時(shí)間，太陽(yáng)以不同的角度照射大地，你知道此刻太陽(yáng)照射大地時(shí)所形成的角度是多少嗎？

（教師指導(dǎo)學(xué)生利用太陽(yáng)角計(jì)算器計(jì)算不同時(shí)間太陽(yáng)高度角）

【設(shè)計(jì)意圖】從太陽(yáng)的照射角度入手，引入太陽(yáng)角計(jì)算器，讓學(xué)生感知不同時(shí)間的太陽(yáng)照射角度不同，為后續(xù)影子長(zhǎng)度和物體高度的測(cè)量做鋪墊。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)綜合與實(shí)踐課從生活出發(fā)，向生活求索的特質(zhì)。同時(shí)，太陽(yáng)角計(jì)算器也以其新鮮有趣的形式使學(xué)生初步體驗(yàn)課堂的快樂(lè)，為后續(xù)學(xué)習(xí)積蓄活力。

2.創(chuàng)設(shè)情境，用問(wèn)題引領(lǐng)思考

師：同學(xué)們，學(xué)校的操場(chǎng)上有一棵大樹(shù)，這棵樹(shù)到底有多高呢？（揭題）要想知道一棵大樹(shù)的高度，可以怎樣做？

生1：可以爬上去。

生2：拿一把足夠長(zhǎng)的尺子，豎起來(lái)量一量。

師：還有其他方法嗎？

生3：可以量出影子的長(zhǎng)度。

師：量出影子的長(zhǎng)度，這個(gè)想法有創(chuàng)意！兩千多年前，古希臘的一位智者也遇到了類(lèi)似的問(wèn)題，他的做法和生3所說(shuō)的不謀而合。我們一起來(lái)聽(tīng)一聽(tīng)，看他是怎樣解決問(wèn)題的。

（播放錄音）金字塔在建成的一千多年里，人們都無(wú)法測(cè)量出它的高度，因?yàn)樗鼘?shí)在太高了。一位叫泰勒斯的智者游歷到埃及，法老向這位智者求助：“你能幫我們測(cè)量出金字塔的高度嗎？”泰勒斯經(jīng)過(guò)一番思考后，說(shuō)：“只需給我一根木棍，我就能測(cè)出金字塔的高度。”

泰勒斯選了一個(gè)陽(yáng)光明媚的日子，將木棍直立在金字塔旁的地面上。等木棍的影子和木棍一樣長(zhǎng)的時(shí)候，他先量了金字塔影子的長(zhǎng)度和金字塔底面邊長(zhǎng)的一半，再把這兩個(gè)長(zhǎng)度加起來(lái)，這樣得到的數(shù)據(jù)就是金字塔的高度。

師：泰勒斯靠著測(cè)量影子長(zhǎng)度的方法，計(jì)算出了金字塔的高度。同學(xué)們，我們想知道的是高度，測(cè)量的卻是影子長(zhǎng)度，物體高度與影子長(zhǎng)度之間存在怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)大膽猜一猜。

生4：成正比例關(guān)系。

師：真的是那樣嗎？驗(yàn)證猜測(cè)是否正確的最好方法就是實(shí)驗(yàn)。

【設(shè)計(jì)意圖】筆者從本課的核心問(wèn)題出發(fā)，將學(xué)生的猜想和歷史故事相聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生對(duì)利用測(cè)量影子長(zhǎng)度來(lái)求得物體高度的探索興趣，為后續(xù)實(shí)驗(yàn)積蓄經(jīng)驗(yàn)和力量。

3.積極思考，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

師：開(kāi)始實(shí)驗(yàn)前，老師還有一個(gè)問(wèn)題，除了物體本身高度，還有哪些因素也會(huì)影響影子的長(zhǎng)度？

生1：物體的位置。

生2：時(shí)間。

生3：光源高度、光照角度。

師：在室外，不同時(shí)間，太陽(yáng)高度不同，照射地面的角度也不同，科學(xué)上將這一現(xiàn)象稱為太陽(yáng)高度角。通過(guò)一個(gè)小視頻，來(lái)看看你們所說(shuō)的有沒(méi)有道理。

（播放小視頻，證實(shí)學(xué)生所言）

師：還真的就像你們所說(shuō)的那樣，影子的長(zhǎng)度受到多種因素的影響。那怎樣才能避免不同位置給影子長(zhǎng)度帶來(lái)的影響？

生4：固定位置不變。

師：怎樣避免光源高度、光照角度對(duì)影子長(zhǎng)度產(chǎn)生的影響？

生5：統(tǒng)一光源高度、光照角度。

師：必須在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。

【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要組成部分，筆者引導(dǎo)學(xué)生自主參與實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)過(guò)程，使學(xué)生感受影子長(zhǎng)度除了與物體本身高度有關(guān)，還受到太陽(yáng)高度角的影響，強(qiáng)化“同時(shí)同地”這一實(shí)驗(yàn)條件的必要性，凸顯實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性、合理性。

4.分組活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：用自制的實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行第一輪影子長(zhǎng)度的測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)要求：（1）測(cè)一測(cè)。在已經(jīng)固定太陽(yáng)高度角的情況下（此時(shí)模擬的太陽(yáng)高度角接近室外真實(shí)情況），擺放高度不同的物體；（2）算一算。測(cè)量影子長(zhǎng)度后，填寫(xiě)實(shí)驗(yàn)記錄單（如表1）。

師：根據(jù)板演的數(shù)據(jù)和自己組內(nèi)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，有什么發(fā)現(xiàn)？

師：在考慮到誤差可能帶來(lái)的影響下，同一時(shí)間、同一地點(diǎn)，物體高度與影子長(zhǎng)度是成正比例關(guān)系的，這就初步證明了我們的猜想。如果變換光源高度、光照角度或物體位置，情況又會(huì)怎樣？下面就讓我們進(jìn)行第二輪實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)要求：（1）調(diào)一調(diào)。小組自行調(diào)整光源高度、光照角度，確定物體擺放位置；（2）測(cè)一測(cè)。擺放高度不同的物體，測(cè)量影子長(zhǎng)度后填寫(xiě)實(shí)驗(yàn)記錄單（如表2）；（3）算一算。算出物體高度與影子長(zhǎng)度的比值；（4）想一想。小組比較并分析數(shù)據(jù)，完成記錄單（如表2）。

[表2 第二輪實(shí)驗(yàn)記錄單][ 物體高度/cm 影子長(zhǎng)度/cm 物體高度與影子

長(zhǎng)度的比值 物體1 物體2 物體3 ][ 我們的結(jié)論：同樣的光源高度、光照角度，同樣的位置，物體高度與影子長(zhǎng)度（? ? ?）正比例關(guān)系。（填“成”或“不成”）]

生：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)，物體的高度與影子長(zhǎng)度成正比例關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】借助自制的測(cè)量?jī)x工具，學(xué)生通過(guò)小組合作的方式，對(duì)照實(shí)驗(yàn)記錄單，有序開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的參與度和有效性得到了保證。從規(guī)定高度角到自主選擇高度角的兩次實(shí)驗(yàn)操作，在提供足夠多的樣本的同時(shí)，讓學(xué)生從縱向與橫向兩個(gè)角度進(jìn)行對(duì)比分析，感受到獲得結(jié)論過(guò)程的科學(xué)性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

5.實(shí)驗(yàn)分析，追本溯源

師：回到泰勒斯測(cè)金字塔高度的問(wèn)題。你能運(yùn)用今天學(xué)到的知識(shí)來(lái)揭秘泰勒斯是怎么計(jì)算金字塔高度的嗎？你能列出其中的數(shù)量關(guān)系嗎？

生1：金字塔高度∶（金字塔影子長(zhǎng)度+金字塔底面邊長(zhǎng)的一半）=木棍高度∶木棍影子長(zhǎng)度。

生2：泰勒斯測(cè)算金字塔高度的奧秘，就是應(yīng)用“同時(shí)同地，物體高度和影子長(zhǎng)度成正比例關(guān)系”這一數(shù)學(xué)規(guī)律。

師：物體高度和影子長(zhǎng)度究竟為什么會(huì)成正比例關(guān)系？

師（演繹原理）：如果將泰勒斯測(cè)量的過(guò)程用畫(huà)圖的方式表達(dá)出來(lái)，那么，以金字塔的垂直高度為一條邊，以金字塔底面邊長(zhǎng)的一半加上金字塔的影子為另一條邊，連接這兩條邊的端點(diǎn)，可以畫(huà)出一個(gè)大三角形；以木棍為一條邊，以木棍的影子為另一條邊，連接這兩條邊的端點(diǎn)，可以畫(huà)出一個(gè)小三角形，而這個(gè)小三角形就是由大三角形按照一定的比例縮小得到的。

師：反觀我們的實(shí)驗(yàn)，其實(shí)道理都是一樣的。都是三角形的等比例放大、縮小，所以對(duì)應(yīng)邊的比值相等，即成正比例關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】在證實(shí)“同時(shí)同地，物體高度和影子長(zhǎng)度成正比例關(guān)系”這一結(jié)論時(shí)，筆者再次借助泰勒斯測(cè)算金字塔高度的秘密揭示物體高度、影子長(zhǎng)度的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)其背后隱藏的數(shù)學(xué)原理，將數(shù)學(xué)課堂的思辨推向更深處。筆者借助示意圖進(jìn)行直觀演繹說(shuō)理，進(jìn)一步將泰勒斯測(cè)算金字塔的原理具象化、形象化，進(jìn)而抽象化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，讓學(xué)生知其然更知其所以然。

6.應(yīng)用規(guī)律，總結(jié)延伸

（1）常規(guī)應(yīng)用

師：校園里這棵大樹(shù)的高度問(wèn)題還沒(méi)有解決，現(xiàn)在，你準(zhǔn)備怎么做？（出示練習(xí)題，略）根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，大家會(huì)求大樹(shù)的高度嗎？

師：通過(guò)查閱資料我們知道了教學(xué)樓的高度，那么如何計(jì)算某一時(shí)刻教學(xué)樓的影子長(zhǎng)度？

（2）引導(dǎo)總結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有哪些收獲？說(shuō)說(shuō)你的學(xué)習(xí)體會(huì)。

（3）課外延伸

師：東方明珠塔因周邊建筑林立測(cè)不到其影子長(zhǎng)度，我們?cè)趺床拍軠y(cè)出其高度？

（4）文化延伸

師：認(rèn)識(shí)了現(xiàn)代測(cè)高（距）工具以后，大家可在課后利用現(xiàn)代測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)高（距）實(shí)驗(yàn)。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)的趣味性是學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最大吸引力。課堂總結(jié)不僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)與技能的掌握，更要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和情感態(tài)度；除了常規(guī)的練習(xí)，課堂習(xí)題還要打破思維定式，以創(chuàng)新激發(fā)學(xué)生的想象力；數(shù)學(xué)文化能豐富學(xué)生認(rèn)知的同時(shí)，還能為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)留有探索的余韻。

綜合與實(shí)踐課以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力為目標(biāo)，教師只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 張緬.數(shù)學(xué)素養(yǎng)在實(shí)驗(yàn)中自然生長(zhǎng)：“怎樣滾得遠(yuǎn)”教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（6）：21-25.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)編 覃小慧）