曹碧華?曾婷?廖虹?李富洪

摘 要 選取127名兒童完成數(shù)字線估計任務，探討其在不同類型的復雜情境中對熟悉數(shù)字的估計策略。兩個實驗分別要求兒童對10cm長度下的不同范圍（0～50和0～100），以及不同長度（10cm和18cm）對0～100范圍的數(shù)字進行估計。結果顯示兒童對0～50估計時絕對誤差百分比曲線呈直線上升型，而對0～100范圍的數(shù)字估計呈“M”型。針對范圍和長度的變化，兒童分別采取心理長度和比例判斷等估計策略，但受不同范圍的影響更大。這表明兒童會根據(jù)具體情境靈活選擇不同的估計策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

關鍵詞 兒童；數(shù)字估計；情境；心理長度；比例判斷

分類號 B842.3

DOI：10.16842/j. cnki. issn2095-5588.2023.05.001

1 引言

估計在兒童的學習中無處不在，例如估計作業(yè)和考試成績、文具價格等。估計能力是早期數(shù)學認知發(fā)展的關鍵基礎，對兒童數(shù)學的成就和認知能力的發(fā)展非常重要（Siegler & Booth， 2004）。其中，數(shù)字估計指數(shù)量表征轉換過程中涉及的對數(shù)字的估計（莫雷等， 2010; Slusser & Barth， 2017）。研究兒童數(shù)字估計最典型的是數(shù)字線估計任務，它要求兒童在標有起點和終點的數(shù)字線上給某數(shù)字標出位置。兒童在數(shù)字線估計任務中主要存在線性表征和對數(shù)表征兩種形式（Dehaene， 1997; Siegler & Booth， 2004）。線性表征是對數(shù)字的精確表征，指個體對數(shù)字進行表征的心理距離相等，相鄰數(shù)字間的心理距離不會隨著數(shù)字的增加而改變（Case & Okamoto， 1996）。對數(shù)表征則是不精確的，指隨著需表征的數(shù)字的增加，個體相應的心理距離表現(xiàn)出前疏后密的特點（Dehaene， 1997）。

重疊波理論認為任何年齡階段的兒童都知道并會使用多種相互競爭的方法（例如策略和規(guī)則）及表征模式，具體運用哪種策略和規(guī)則主要取決于問題和情境（莫雷等， 2010; Siegler， 1996）。以往研究主要考察兒童在簡單情境中對數(shù)字估計的表征模式和估計策略，不同年齡的兒童僅需對相同范圍或相同長度的數(shù)字進行估計（周廣東等， 2009; Opfer et al.， 2016; Slusser & Barth， 2017）。近年來，研究者更關注兒童在復雜情境中數(shù)字線估計的發(fā)展趨勢及策略。此時，兒童須估計兩種不同范圍或不同長度下的數(shù)字。結果發(fā)現(xiàn)情境會影響兒童對數(shù)字的表征模式和估計策略的選擇（曹碧華等， 2021; 莫雷等，2010; 臧蓓蕾， 張俊， 2017; Zang et al.， 2019）。莫雷等（2010）發(fā)現(xiàn)一年級兒童的表征模式受到不同范圍和長度的影響。當長度為15cm時，一年級兒童在0～100范圍采用線性表征，而在0～1000范圍采用對數(shù)表征。當長度為10cm和20cm時，在0～1000范圍內(nèi)隨著長度的增加，線性表征占優(yōu)勢。臧蓓蕾等（2017， 2019）發(fā)現(xiàn)3～5歲學齡前幼兒在1～5、1～10和1～20三種小范圍內(nèi)的不同數(shù)距條件下會使用不同的表征模式。

探究表征模式只是為了解釋兒童對不同數(shù)字估計準確性的問題，研究者應該更關注其背后的心理加工方式或策略的使用規(guī)律（劉國芳， 辛自強， 2012）。兒童估計數(shù)字時常使用參照點策略，它是指將線段的起點、中點、四分位點和終點作為參照點或根據(jù)自身產(chǎn)生的錨定點完成估計（邢強等， 2015; Barth & Paladino， 2011; Peeters et al.， 2016; Rouder& Geary， 2014）。在數(shù)字線估計中，兒童將需估計的數(shù)字與參照點進行比較，把數(shù)字之間的關系轉換成空間表征，即根據(jù)參照點的位置確定估計數(shù)字的位置（Sullivan & Barner， 2014）。即使采用了參照點策略，兒童在數(shù)字線任務中也可能會采取更高級的估計策略（劉國芳， 辛自強， 2012; 臧蓓蕾等， 2019）。數(shù)包括名稱、等級、等距和等比四大屬性。當以起點為參照點時，一年級兒童會將低端數(shù)字與固定的長度相對應，這就是心理長度。無論需要估計的數(shù)字的范圍和長度如何改變，估計低端數(shù)字1～10時都存在心理長度。這表明兒童給數(shù)字“1”賦予了心理長度，并通過疊加數(shù)數(shù)策略對其他數(shù)字進行估計，體現(xiàn)了兒童對等距屬性的認識（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010; 張帆等， 2015）；當以中點為參照點時，在標有“0”和“100”的數(shù)字線上估計“50”時，兒童會把部分（50）置于整體（100）中，即基于范圍的比例來估計數(shù)字（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017），體現(xiàn)了兒童對等比屬性的認識；當以終點為參照點時，如選擇密度相同的后十個末端數(shù)字要求兒童估計，有些末端數(shù)字也符合心理長度的預期，故不能完全排除兒童也采用倒數(shù)心理長度策略（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010）。莫雷等（2010）認為一年級兒童在估計0～100和0～1000的低端數(shù)字時存在心理長度，但估計0～1000時傾向對數(shù)表征，說明其對數(shù)的認識尚未達到等比水平。我們認為這與一年級兒童不熟悉0～1000范圍的數(shù)字和不知道1000是100的10倍有關。那么如果呈現(xiàn)兒童熟悉的小范圍數(shù)字，且他們知道數(shù)字及長度之間的倍數(shù)關系時，兒童估計數(shù)字時是否能達到等比屬性水平？

本研究的目的是考察兒童在不同類型的復雜情境中估計熟悉范圍數(shù)字時采用的策略。實驗一要求被試估計0～50和0～100兩種熟悉范圍的數(shù)字。如果一年級兒童估計所有低端數(shù)字時穩(wěn)定地存在心理長度，那么本研究中兒童估計低端數(shù)字也存在心理長度，并且隨著年齡的增長，二年級兒童心理長度的范圍會減少（曹碧華等，2021;莫雷等， 2010）。值得注意的是，以往研究并未考察估計順序是否對策略產(chǎn)生影響。盡管大班和一年級兒童尚未學習乘法，但已經(jīng)知道50是100的一半，可能憑直覺進行比例判斷（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。本研究中一、二年級兒童均需估計0～50和0～100兩種范圍的數(shù)字，對中端和末端數(shù)字的估計可能會受到估計順序的影響，即兒童先錨定估計范圍數(shù)字的實際長度，繼而以一定的方式影響后估計的數(shù)字范圍。然而，是先完成0～100會影響0～50的估計，還是先完成0～50會影響0～100的估計尚不明確。因此，本研究將首次探討估計順序對兒童熟悉范圍數(shù)字估計的影響。

實驗二要求被試在10cm和18cm兩種長度（1∶1.8）下對0～100進行數(shù)字估計（曹碧華等， 2021）。相對于不同范圍的感知，兒童對線段長度、高度和面積等知覺線索的判斷可能更為敏感和直觀（Hollands & Dyre， 2000; Sella et al.， 2015; Siegler & Opfer， 2003）。因此，我們推測在0～100熟悉的范圍內(nèi)，兩個年級兒童會根據(jù)不同的線段長度調整估計策略，對低端和末端數(shù)字的心理長度范圍更小，而對中端數(shù)字的估計更可能采用比例判斷策略。

更重要的是，本研究在兩個實驗中均設置了相同的實驗條件，即10cm長度下對0～100范圍的數(shù)字估計。我們將對比分析0～100（10cm）范圍兒童在兩個實驗不同情境的估計策略，進一步探討其是否因受到0～50（10cm）和0～100（18cm）兩種不同情境的影響而使用靈活的估計策略。

2 實驗一

2.1 方法

2.1.1 被試

采用G*power 3.1.9軟件進行計算（Faul et al.， 2007）。對于本實驗適用的重復測量方差分析，中等效應量f=0.25且顯著性水平α=0.05時，預測達到95%的統(tǒng)計力水平的總樣本量至少為54。我們共選取了63位兒童參與本實驗，其中一年級兒童33 名，男生20名，女生13名（M=7.38歲，SD=0.68）；二年級兒童30名，男生17名，女生13名（M=8.41歲，SD=0.61）。由于一名一年級兒童沒有理解指導語，對所有數(shù)字估計的實際長度均在中點附近；三名二年級兒童對較多數(shù)字未劃線估計導致數(shù)據(jù)缺失，故這四名兒童的數(shù)據(jù)不予分析。

2.1.2 材料

實驗材料為兩個31頁紙的小冊子，第一頁登記被試基本資料（包括性別、年齡及班級），其余30 頁為正式的實驗材料，每一頁紙中間印有一條長10cm的數(shù)字線， 兩端分別標為0和50（100），中間無任何標記。數(shù)字線中間上方2cm 處的圓圈里隨機呈現(xiàn)一個讓被試估計的數(shù)字。實驗一在0～50和0～100范圍的數(shù)字如下：

0～50：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、40、41、42、43、44、45、46、47、48和49。

0～100：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、46、47、48、49、50、51、52、53、54、55、90、91、92、93、94、95、96、97、98和99。

2.1.3 實驗程序

采用紙筆測驗法集體施測，禁止被試之間交流。被試在小冊子的第一頁填完基本信息后，被告知將做一個關于數(shù)字估計的測試。從第二頁開始是測試的題目，結果不計入學業(yè)成績。每一頁的正中間有一條數(shù)字線，左端標有“0”，右端標有“50”（或“100”）。如果左邊表示“0”，右邊表示“50”（或“100”），那么圓圈里的數(shù)字應該在哪一個位置？請想好后用筆在線段上劃一條豎線來表示數(shù)字的位置。實驗過程中不能用直尺，也無任何反饋。每名被試都做兩種范圍的估計。為平衡和探討順序效應，一半被試先做0～50的估計，再做0～100的數(shù)字估計，另一半被試則相反。主試用直尺測量被試的估計結果（精確到毫米），再將實際長度轉化估計值（實際長度除以線段長度乘以范圍）進行分析。

2.2 結果

2.2.1 不同范圍下實際長度估計的比較

首先，為考察當范圍由0～50變化至0～100時兒童對數(shù)字估計是否存在心理長度，分別測量兒童估計的低端數(shù)字（1～10）、中端數(shù)字（21～30）和（46～55）的實際長度，即從起點0到數(shù)字線上標記位置之間的距離；以及末端數(shù)字（40～49和90～99）的實際長度，即分別從終點50和100到數(shù)字線上標記位置之間的距離。然后，對兩種范圍下的實際長度做配對t檢驗。如果兩者的長度無顯著差異，則表明存在心理長度。

結果顯示一年級兒童對所有低端數(shù)字（1～10）估計的實際長度并不隨著范圍的增大而發(fā)生變化。這表明即使范圍增大了2倍，一年級兒童仍將低端數(shù)字與某一固定的線段長度相對應，即存在心理長度。二年級兒童估計1～8范圍內(nèi)的數(shù)字時其實際長度未隨范圍改變而發(fā)生相應的變化（表1）。估計中端數(shù)字時，一、二年級兒童僅分別有四個和三個數(shù)字對差異不顯著，無法說明兒童對此存在心理長度。估計末端數(shù)字時，兩個年級兒童對所有數(shù)字對估計的實際長度差異顯著（ps< 0.001），不存在心理長度。

其次，兒童在估計中端和末端數(shù)字時不存在心理長度，故進一步考察是否進行了比例判斷。由于100是50的2倍，將0～100中端和末端數(shù)字的實際長度均乘以2，與0～50對應數(shù)字的實際長度進行配對t檢驗，如果兩者的長度無顯著差異，則表明存在比例判斷。結果表明對末端數(shù)字估計時，一年級除49-99外，40-90、41-91、42-92、43-93、44-94、45-95、46-96、47-97和48-98這9個數(shù)字對沒有顯著差異；二年級除40-90和49-99外，41-91、42-92、43-93、44-94、45-95、46-96、47-97和48-98這八個數(shù)字對無顯著差異。這說明一、二年級兒童對末端數(shù)字估計時基本上進行了比例判斷，達到等比水平（圖1）。

2.2.2 表征模式

以隨機呈現(xiàn)的數(shù)值（實際值）為自變量，被試估計值的中位數(shù)為因變量（選中位數(shù)是為了排除極值的影響），選取線性和對數(shù)兩種表征模式進行曲線擬合。結果表明兩個年級兒童均更好地擬合了線性模型，一年級在0～50范圍，R2lin=0.97>R2log=0.85；0～100：R2lin=0.99>R2log=0.86。對兩模型預測值殘差的配對t檢驗，結果顯示對數(shù)和線性模型擬合度差異顯著，0～50：t（29）=-8.62，p< 0.001；0～100：t（29）=-8.00，p< 0.001。二年級在0～50范圍：R2lin=0.96> R2log=0.80；0～100：R2lin=0.98> R2log=0.84。兩模型預測值殘差的配對t檢驗結果顯示，對數(shù)和線性模型擬合度差異顯著，0～50：t（29）=-8.71，p< 0.001；0～100：t（29）=-7.45，p<0.001。

為檢驗個體中位數(shù)與總體估計的擬合結果是否一致，先對每個被試的估計進行曲線擬合。然后，計算兒童對0～50和0～100的數(shù)字估計所進行線性表征、對數(shù)表征以及在兩種表征之間搖擺不定（即對數(shù)擬合和線性的預測力無顯著差異）的人數(shù)百分比。結果顯示在0～50范圍，一、二年級采用線性表征的兒童分別占50%和48%，對數(shù)表征分別占9%和0%，在兩者間搖擺的分別占41%和52%。在0～100范圍，一、二年級符合線性表征的兒童分別為69%和92%，對數(shù)表征分別占6%和0%，兩者間搖擺的分別占25%和8%。最后，分別對兩個年級兒童線性表征的人數(shù)百分比進行獨立樣本t檢驗，結果顯示在0～100范圍，兩個年級兒童的線性表征人數(shù)百分比差異顯著，t（57）=-2.33，p=0.023。這表明隨著年齡的增長，使用線性表征的兒童越來越多。

2.2.3 估計的準確性

采用絕對誤差百分比（Percent Absolute Error，簡稱PAE）作為評價兒童數(shù)字估計準確性的指標，計算公式為：PAE=|估計值-實際值|/范圍，求出兒童在各段的平均PAE。由于兒童對中端和末端數(shù)字實際長度估計時可能采用了比例判斷的策略，為了考察其原因，對個體平均PAE進行2（估計順序：先做0～50，后做0～50）× 2（年級：一年級， 二年級）×2（范圍：0～50，0～100）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）的重復測量方差分析。其中，估計順序和年級為被試間變量，范圍和數(shù)字位置為被試內(nèi)變量。結果表明估計順序、范圍和數(shù)字位置的主效應均顯著，估計順序：F（1， 28）=38.25，p< 0.001， η2=0.59；范圍：F（1， 56）=125.98，p< 0.001， η2=0.82；數(shù)字位置：F（2， 86）=59.22，p< 0.001， η2=0.69。估計順序與范圍的交互作用顯著，F(xiàn)（1， 28）=78.81，p< 0.001， η2=0.75。簡單效應分析表明，在0～50范圍，先做的PAE值（9.07%）顯著低于后做的（18.02%），p< 0.001，說明先做的估計準確性更高（圖2）。估計順序與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2， 86）=15.82，p<0.001， η2=0.37，表現(xiàn)為對中端數(shù)字估計時，先做0～50的PAE值（9.50%）顯著低于后做（12.86%），p< 0.001。范圍與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2， 86）=90.56，p< 0.001， η2=0.77。簡單效應分析表明，兒童對0～50范圍內(nèi)低端（5.74%）、中端（13.67%）和末端（21.22%）數(shù)字的PAE兩兩之間均存在顯著差異，ps< 0.001。另外，0～50中端和末端數(shù)字的PAE均顯著高于0～100的中端（8.48%）和末端（8.68%）數(shù)字，ps< 0.001，表明兩個年級兒童對0～100中端和末端數(shù)字的估計準確性更高。

為進一步分析兒童數(shù)字估計準確性是否受不同參照點的影響，分別在不同范圍的低端、中端和末端共取十個估計數(shù)字的PAE進行平均（Ashcraft & Moore， 2012）。結果表明在兩種范圍內(nèi)，兩個年級兒童PAE均值變化模式相同。0～50范圍內(nèi)，均呈直線上升型，PAE均值隨著估計數(shù)值的增大而增大，即兒童在數(shù)字線估計時將起點作為參照點。在0～100范圍估計的PAE均值呈“M”型，在靠近兩端點和中點位置PAE均值更低，即兒童在數(shù)字線估計時，能將兩端點和中點作為參照點。與方差分析結果一致，發(fā)現(xiàn)0～100的PAE均值更低，說明估計準確性更高（圖4A）。

實驗一表明兒童估計低端數(shù)字時存在心理長度，估計末端數(shù)字時則可能使用了比例判斷策略。這表明兒童對熟悉范圍低端數(shù)字的變化不敏感，但對末端數(shù)字的變化更為敏感。然而，尚不清楚兒童對長度的變化是否敏感。因此，實驗二考察當固定范圍為0～100時，改變長度后兒童在數(shù)字線估計中是否仍存在心理長度或比例判斷。

3 實驗二

3.1 方法

3.1.1 被試

G*power計算結果同實驗一。共選取64名兒童參與本實驗，其中一年級兒童31名， 男生18名， 女生13名（M=7.25歲，SD=0.46）；二年級兒童33名，男生18名，女生15名（M=8.25歲，SD=0.31）。

3.1.2 材料

實驗材料與實驗一基本相同。在每一頁紙中間印有一條長10cm或18cm的數(shù)字線，其兩端分別標為“0”和“100”。數(shù)字線中間上方2cm處的圓圈里隨機呈現(xiàn)一個讓被試估計的數(shù)字。研究范圍為0～100，同樣在低端、中端和末端各選十個數(shù)字（與實驗一0～100范圍的完全相同）。

3.1.3 實驗程序

與實驗一相同。

3.2 結果

3.2.1 兒童在不同長度下實際估計長度的比較

首先考察數(shù)字線長度由10cm變化至18cm時兒童在估計0～100范圍內(nèi)數(shù)字時是否存在心理長度，具體測量和計算方法與實驗一相同。然后對相同數(shù)字在兩種條件下的實際長度做配對t檢驗。結果顯示在兩種不同長度下估計低端數(shù)字時，一年級兒童對1～7，9和10的實際長度無顯著差異，二年級兒童對1～5和9的實際長度無顯著差異（表2）。

在兩種不同長度下估計中端數(shù)字時，兩個年級兒童均存在顯著差異，ps< 0.001，即不存在心理長度；估計末端數(shù)字時，一、二年級兒童對94～99六個數(shù)字和97～99三個數(shù)字的估計無顯著差異，符合心理長度的預期。由于對最末端部分連續(xù)的數(shù)字存在心理長度，故不能排除兒童對部分末端數(shù)字估計時使用倒數(shù)心理長度策略。然而，由于末端有些數(shù)字的實際長度未出現(xiàn)一致的趨勢，也不能說明使用倒數(shù)的心理長度策略。

其次，由于兒童對中端數(shù)字的估計不存在心理長度，故進一步考察是否進行了比例判斷。根據(jù)18cm和10cm的倍數(shù)關系，將10cm中端數(shù)字的實際長度乘以1.8后，與18cm相同數(shù)字的實際長度進行配對t檢驗。結果表明一年級兒童除46和50以外，另八個數(shù)字在兩種長度下均無顯著差異。二年級兒童估計數(shù)字46～49和55時，兩種數(shù)字線的實際長度無顯著差異。這表明估計中端數(shù)字時，兩個年級兒童根據(jù)長度的關系進行了比例判斷（圖3）。

3.2.2 表征模式

以隨機呈現(xiàn)的數(shù)值為自變量，被試估計值的中位數(shù)為因變量，選取線性及對數(shù)兩種表征模式對兒童數(shù)字估計結果進行曲線擬合。結果表明在不同長度下，一、二年級兒童在0～100范圍內(nèi)均更好地擬合線性表征。當一年級的長度為10cm：R2lin=0.99 >R2log=0.87；18cm：R2lin=0.99>R2log=0.88。二年級的長度為10cm：R2lin=0.99>R2log=0.86；18cm：R2lin=0.99>R2log=0.84。兩模型預測值殘差的配對t檢驗結果顯示對數(shù)與線性模型擬合度差異顯著。當一年級長度為10cm：t（29）=-8.63，p<0.001；18cm：t（29）=-7.91，p<0.001。二年級10cm時：t（29）=-7.41，p <0.001；18cm：t（29）=-11.39，p< 0.001。

對個體估計進行曲線擬合，計算當長度為10cm和18cm時，一年級兒童采用線性表征的分別為84%和91%，對數(shù)表征各占3%，在兩種表征搖擺的分別為13%和7%。二年級兒童采用線性表征的分別為88%和97%，搖擺不定的分別占12%和3%。這說明隨著年齡的增長和長度的增加，兩個年級采用線性表征的兒童逐漸增多。最后，分別對兩個年級兒童線性表征的人數(shù)百分比進行獨立樣本t檢驗，結果不存在顯著差異。

3.2.3 估計的準確性

計算方法同實驗一，分別求出兒童在各端的平均PAE。然后，進行2（年級：一年級，二年級）×2（長度：10cm，18cm）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）的重復測量方差分析。結果表明年級、長度和位置的主效應均顯著，年級：F（1，62）=19.16，p< 0.001，η2=0.24；長度：F（1，62）=5.02，p=0.029，η2=0.075；數(shù)字位置：F（2，124）=10.70，p<0.001，η2=0.15。年級與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2，124）=4.87，p=0.009，η2=0.073。位置與長度的交互作用也顯著，F(xiàn)（2，124）=12.78，p<0.001，η2=0.17。另外，年級、長度和數(shù)字位置的三維交互作用顯著，F(xiàn)（2，124）=4.67，p=0.011，η2=0.07。簡單效應分析表明，當長度為10cm時，一年級兒童對低端（7.82%）和中端數(shù)字（7.04%）估計的PAE均顯著低于末端（10.60%）數(shù)字，ps< 0.01；二年級兒童對中端數(shù)字（4.80%）估計的PAE顯著低于末端數(shù)字（7.15%），p=0.039。這說明在10cm長度下，末端數(shù)字估計的準確性更低。當長度為18cm時，一年級兒童對低端數(shù)字的PAE（4.49%）分別低于中端（10.41%）和末端數(shù)字（8.34%），ps<0.001。然而，二年級兒童在低端（3.45%）、中端（3.88%）和末端（5.27%）數(shù)字的PAE很低，且兩兩差異均不顯著，說明他們對所有數(shù)字估計的準確性都很高。

為進一步分析數(shù)字估計的準確性，分別在不同長度數(shù)字線的低端、中端和末端共十個估計數(shù)字的PAE進行平均（Ashcraft & Moore， 2012）。結果發(fā)現(xiàn)PAE均值變化模式相同，均呈“M”型。估計低端數(shù)字時，PAE均值隨估計數(shù)字的變大而增大，在起點估計精確性最高；估計中端數(shù)字時，PAE均值在中點位置明顯下降；估計末端數(shù)字時，距離終點越近PAE均值越小。這些結果說明兒童在數(shù)字線估計時，能將兩端點和中點作為參照點（圖4B）。

3.3 兒童兩個實驗對0～100（10cm）估計的PAE的比較

為考察兒童在0～100（10cm）條件下PAE是否受不同實驗情境的影響，對兩個實驗兒童估計的PAE進行2（實驗：實驗一，實驗二）×2（年級：一年級，二年級）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）重復測量方差分析。其中，實驗和年級為被試間變量，數(shù)字位置為被試內(nèi)變量。結果表明數(shù)字位置的主效應顯著，F(xiàn)（2，114）=8.66，p<0.001，η2=0.13。實驗和數(shù)字位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2，114）=3.29，p=0.041，η2=0.06。簡單效應分析表明實驗一中端數(shù)字的PAE（7.82%）顯著高于實驗二（5.92%），p=0.006，即實驗二中端數(shù)字準確性更高（表3）。

4 討論

本研究首次考察了在不同類型的復雜情境下兒童對熟悉范圍數(shù)字的估計策略，主要有三個新發(fā)現(xiàn)：一是估計順序會影響兒童對不同范圍數(shù)字的表征模式和估計策略。二是無論是數(shù)字范圍還是數(shù)字線長度發(fā)生變化，兒童對低端、中端和末端數(shù)字分別采取心理長度和比例判斷等估計策略，且受不同范圍的影響更大。三是即使實驗條件相同0～100（10cm），兒童也會受到不同情境的影響，對中端數(shù)字使用靈活的估計策略。這些結果表明，一、二年級兒童對熟悉范圍數(shù)字的認識已達到等距和等比水平，且能根據(jù)不同情境采取靈活的估計策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

4.1 不同范圍情境的估計策略

本研究發(fā)現(xiàn)即使是熟悉范圍的數(shù)字，一年級兒童對低端數(shù)字估計仍存在心理長度。心理長度指兒童將低端數(shù)字與固定長度對應起來，反映兒童對數(shù)的認識達到等距水平（莫雷等， 2010）。在測試的小冊子上，部分兒童用鉛筆畫點或小豎線作的標記，如數(shù)數(shù)一樣。即通過將“1”賦予一定的長度，使用疊加數(shù)數(shù)的策略（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010）。這支持了一年級兒童在開始接受正規(guī)教育的早期，傾向于將低端數(shù)字與固定的長度對應起來。隨著數(shù)字變大，他們可能發(fā)現(xiàn)終點數(shù)字的變化，逐漸放棄疊加數(shù)數(shù)的策略（張帆等， 2015）。莫雷等（2010）認為心理長度反映兒童高估低端數(shù)字的實際長度，并導致估計0～1000內(nèi)的數(shù)字時更好地擬合對數(shù)表征。然而，本研究表明低端數(shù)字的心理長度也能解釋線性表征，這與莫雷等（2010）的解釋不一致。這說明兒童估計低端數(shù)字時存在心理長度是穩(wěn)定的現(xiàn)象，與表征模式的關系需要根據(jù)不同的任務來決定。

有趣的是，本研究首次發(fā)現(xiàn)估計順序會影響兒童估計0～50范圍數(shù)字時的表征模式和策略。盡管0～50范圍兒童估計的總體表征模式為線性表征，但個體曲線擬合結果表明一、二年級采用線性表征的兒童分別僅占50%和48%，這可能有兩方面的原因：一方面，先估計0～50范圍時，兩個年級兒童末端先做的PAE值顯著低于后做，說明先做的估計準確性更高。但先估計0～100范圍，后估計0～50范圍時，兩個年級對末端數(shù)字40～49的估計都受到0～100末端的影響。兒童可能先將0～100估計的實際長度在大腦中進行錨定，再對40～49數(shù)字使用比例判斷策略。具體表現(xiàn)為根據(jù)二者的倍數(shù)關系，從終點往前數(shù)數(shù)時按比例擴大2倍，再劃線標記。這些結果說明兒童大腦中對末端40～49的表征雖較準確，但會受到50是100的一半的影響，即根據(jù)二者的數(shù)量關系相應地調整估計策略（臧蓓蕾等， 2019；Barth & Paladino， 2011）。

另一方面，估計0～50的中端數(shù)字時呈現(xiàn)出年級差異。一年級兒童先做和后做0～50的PAE曲線接近且有一定的重合，說明他們可能已經(jīng)意識到了范圍的不同。二年級兒童先做0～50的PAE曲線與后做的存在較大分離，其程度與末端數(shù)字的兩條曲線相似。其中，先做0～50的估計準確性更高，但先做0～100再做0～50范圍內(nèi)的數(shù)字估計，準確性更低。

4.2 不同長度情境的估計策略

對不同長度情境下0～100范圍內(nèi)的數(shù)字進行估計時，兒童對低端數(shù)字的心理長度范圍進一步縮小，一、二年級兒童分別僅對1～7和1～5的連續(xù)數(shù)字采取了疊加數(shù)數(shù)的策略。這表明隨著低端數(shù)字的增大，兒童逐漸察覺到了長度的變化并隨之調整了估計策略。估計末端數(shù)字時，一、二年級兒童分別對94～99六個數(shù)字和97～99三個數(shù)字的估計符合心理長度的預期，部分說明他們使用了倒數(shù)的心理長度策略。有意思的是，這與兒童在不同范圍下對末端數(shù)字采取比例判斷策略存在差異。與不同長度相比，兒童對不同范圍的末端數(shù)字變化更敏感，會根據(jù)數(shù)字關系調整估計策略。

然而，兩個年級兒童對中端數(shù)字估計時可能存在比例判斷。這說明數(shù)字在線段上的位置相對靠后時，兒童可能才發(fā)現(xiàn)線段長度發(fā)生了很大變化，于是放棄繼續(xù)將每個數(shù)字與固定長度相聯(lián)系的數(shù)數(shù)策略（張帆等， 2015;Sietske et al.， 2013）。由于一年級兒童未學習乘法，故估計中端數(shù)字時的比例判斷可能與直覺有關（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。相反，二年級兒童開始學習乘法，故其比例判斷可能與倍數(shù)有關。然而，兒童并非對所有的中端數(shù)字都存在比例判斷，說明其比例判斷仍處于發(fā)展狀態(tài)。

與不同范圍相比，兩個年級兒童對線段不同長度的判斷更準確。以往研究發(fā)現(xiàn)與阿拉伯數(shù)字所表示的數(shù)量信息相比，大班及以上年級的兒童對線段長度和面積大小等知覺線索更為敏感，類似于比例判斷（Barth & Paladino， 2011; Booth & Sigler， 2006; Sella et al.， 2015; Spence， 1990）。Booth和Sigler（2006）要求兒童完成畫線段和估計線段長度兩種任務。結果發(fā)現(xiàn)隨著年齡的增長，畫線段任務的估計精確性提高，而估計線段長度任務的成績與年齡無關，表明兒童對線段長度也有非常好的估計能力。

4.3 0～100（10cm）在兩種不同情境下的估計策略

即使實驗條件相同0～100（10cm），兒童的估計策略和PAE也會受到兩個實驗中不同情境的影響。結果表明0～100（10cm）的PAE都較低且呈現(xiàn)出“M”型，反映了兒童能有效地使用中點策略和兩端點策略。這可能與兒童在學習和生活中對0～100的數(shù)字更熟悉、經(jīng)驗更豐富有關。Wall等（2016）認為數(shù)字的熟悉度會影響兒童數(shù)字估計的準確性，盡管0～50的范圍較小，但兒童對0～100更為熟悉。進入小學后，作業(yè)和考試的評分大多為百分制，導致兒童不僅對100更熟悉，而且對90～99范圍內(nèi)的數(shù)字熟悉度也更高。

然而，兩個實驗中端數(shù)字的PAE存在顯著差異，具體表現(xiàn)為在不同范圍下，0～100中端數(shù)字的PAE顯著高于不同長度的情境。這說明兒童根據(jù)情境的不同，對0～100（10cm）的中端數(shù)字靈活地使用了不同的估計策略。實際上，從中端數(shù)字實際的估計長度來看，兩個年級兒童在不同范圍的情境下既不存在心理長度，也未使用比例判斷策略。然而，在不同長度的情境下，一、二年級兒童分別有八個和六個中端數(shù)字使用了比例判斷策略。這說明兒童不僅對線段長度的變化更敏感，還能根據(jù)二者長度的關系調整策略以使估計更準確。基于數(shù)字和整體范圍的比例關系，兒童容易準確標出50在0～100數(shù)字線上的位置（張帆等， 2015; Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。

數(shù)字估計能力與數(shù)學成績存在正相關，在數(shù)字線估計任務中呈現(xiàn)出線性表征的兒童，其數(shù)學計算成績往往好于對數(shù)表征的兒童（Booth & Siegler， 2006）。整數(shù)的數(shù)字線估計成績與分數(shù)的數(shù)字線估計呈正相關，說明對整數(shù)的估計有助于提高兒童的分數(shù)表征能力（張麗等， 2014）。然而，數(shù)學學習困難的兒童在數(shù)字線估計中表現(xiàn)相對較差（Geary， 2011）。由此可以看出數(shù)字線估計研究的重要性，對培養(yǎng)兒童數(shù)學和認知能力起了引導和推動作用（劉國芳， 辛自強， 2012）。對小學數(shù)學教學的建議為，教師在進行數(shù)字比較大小和數(shù)字比例教學時，可以使用數(shù)字線估計任務輔助教學，采用不同范圍大小數(shù)字且強調特殊點（兩端點、中點和四分位點）的關系，幫助兒童理解數(shù)字之間的關系。同時，在進行這一任務的過程中要及時提供反饋，提高估計的準確性（Booth & Siegler， 2006; Siegler & Opfer， 2003）。另外，對于數(shù)學計算成績較差的兒童可以使用數(shù)字線估計任務測試其數(shù)字估計能力，并通過觀察估計策略的使用來判斷兒童的認知水平（Joram et al.， 2005）。對于數(shù)字估計存在問題的兒童盡早干預，為提高他們的數(shù)學認知能力打好基礎。

本研究也存在一些不足。以往研究選擇估計的數(shù)字除低端和末端以外，還在每十個數(shù)中平均選擇1～2個數(shù)字，這樣對表征模式進行曲線擬合時更為全面。本研究雖包括低端、中端和末端三個區(qū)間的數(shù)字，但并未在其他部分的每十個數(shù)中選擇1～2個數(shù)字，這可能會在一定程度上影響曲線擬合估計的結果。后續(xù)研究可在每十個數(shù)中平均增加一些數(shù)字，要求兒童進行估計。

5 結論

本研究的兩個實驗分別考察在不同類型的復雜情境下兒童數(shù)字估計的策略，結論如下：

（1） 無論是范圍還是長度發(fā)生變化，兒童分別采取心理長度和比例判斷等估計策略，表明對熟悉范圍數(shù)字的認識已達到等距和等比水平。

（2） 即使實驗條件相同0～100（10cm），兒童對中端數(shù)字的估計策略也受到不同情境的影響。

（3） 兒童會根據(jù)不同類型的復雜情境靈活地選擇不同的估計策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

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