楊昆華

2017年版2020年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是“綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體”之一，有助于學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的激情.近年來，深度學(xué)習(xí)理念被廣泛運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是探究性課堂教學(xué).深度學(xué)習(xí)以問題為中心，教師通過深度挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與價(jià)值，為學(xué)生搭建主動(dòng)探究、深度參與的平臺(tái)；而學(xué)生則在教師的引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的問題，積極開展自主探究，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)必備知識(shí)、思想方法、高階思維方式的深度理解，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)一步自主構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系和思維網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).那么如何在高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)中滲透深度學(xué)習(xí)理念？如何從探究?jī)?nèi)容出發(fā)，結(jié)合學(xué)生已有認(rèn)知水平，立足最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，提出具有挑戰(zhàn)性的問題呢？筆者以高中數(shù)學(xué)新教材必修第二冊(cè)（人教A版）第八章第三節(jié)的“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容“祖暅原理與柱體、錐體的體積”為例，談?wù)勚赶蛏疃葘W(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué).

一、創(chuàng)設(shè)情境提出問題

【問題與活動(dòng)】

某社區(qū)開展優(yōu)化便民服務(wù)，向距離社區(qū)100 m的健康活動(dòng)中心鋪設(shè)寬為1 m的人行道.某公司給出如圖1的四種方案，請(qǐng)問哪種方案最省材料？

首先，教師讓學(xué)生直觀感知哪種方案最省材料.結(jié)果大家都感覺方案①的面積是最小的，方案③的面積是最大的，如圖2所示.為了判斷感覺是否正確，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作體驗(yàn)，用粉筆拼接，如圖3.學(xué)生通過感知體驗(yàn)得到結(jié)論：四種方案的面積是相同的.此時(shí)，教師適時(shí)提問：“如何證明我們的結(jié)論呢？”

接著教師引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算面積來驗(yàn)證.方案①②可以根據(jù)平行四邊形的面積公式求解，而方案③可以采用分割法或割補(bǔ)法計(jì)算面積，方案④則用割補(bǔ)法求得面積.最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)四種方案的面積均為100 m2，因此可以證明四種方案的面積是相同的，如圖4所示.

從事實(shí)出發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)得到結(jié)論：夾在兩條平行線之間的兩個(gè)平面圖形，被一條平行線所截，當(dāng)?shù)雀咛幍慕鼐€段都相等時(shí)，兩個(gè)平面圖形的面積相等；當(dāng)截線段不等時(shí)，它們的面積不等.

然后教師用“幾何畫板”對(duì)結(jié)論進(jìn)行演示、驗(yàn)證，如圖5所示.

通過實(shí)際操作和信息技術(shù)演示兩種方式，教師讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)的研究過程，利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)展示問題的變化過程，直觀觀察得到變化中的不變關(guān)系，有利于學(xué)生體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題的能力.

【設(shè)計(jì)意圖】以鋪設(shè)人行道哪種方案最省原料為背景，以生活中容易碰到的問題情境引入課程，看似簡(jiǎn)單，卻容易使人從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)產(chǎn)生錯(cuò)覺，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，使學(xué)生的注意力迅速集中到探究活動(dòng)中.教師讓學(xué)生從平面（二維）的角度直觀感知“祖暅原理”，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的熱情，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)的探究過程，初步體會(huì)“祖暅原理”的含義.借助信息技術(shù)展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的直觀性，可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和勇于探究的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生對(duì)“祖暅原理”的學(xué)習(xí)興趣.

二、類比推理挖掘本質(zhì)

【問題與活動(dòng)】

教師通過類比，將面積問題推廣到體積問題，追問：“在空間中有類似的結(jié)論嗎？”

如圖6，教師讓學(xué)生用一摞書動(dòng)手操作，觀察擺放這摞書的不同形式，引導(dǎo)學(xué)生思考什么是形狀變化中的不變量.教師追問：“每一本書的面積變了嗎？”學(xué)生自然回答：“沒變！”教師再追問：“這摞書的體積變了嗎？”學(xué)生也自然得出：“沒變！”這時(shí)，教師再進(jìn)一步追問：“觀察每一本書與桌面的位置關(guān)系如何？”學(xué)生馬上回答：“平行！”此時(shí)，教師順勢(shì)提出問題：“通過剛才的操作與觀察，類比平行線與平面面積問題，你能歸納面積與幾何體體積的關(guān)系嗎？”

教師首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再通過小組合作、交流研討的形式，引導(dǎo)他們探究其中的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：平行于桌面的位置關(guān)系、面積不變、幾何體形狀變化與體積的關(guān)系.再由小組代表總結(jié)歸納，小組成員交流完善，最終得出結(jié)論：高度相等的兩個(gè)幾何體，如果等高處的截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

接著，教師就可以引出主題：早在南北朝時(shí)期，祖沖之的兒子祖暅便發(fā)現(xiàn)了這個(gè)原理，因此我們將其稱為“祖暅原理”.在《綴術(shù)》中，“祖暅原理”是這樣描述的：冪勢(shì)既同，則積不容異.冪：等高處的截面積；勢(shì)：幾何體的高；積：體積.也就是說兩個(gè)等高的幾何體，在等高處的截面積都相等，則其體積相等，如圖7所示.“祖暅原理”在國(guó)外又被稱為“卡瓦列利原理”.但是卡瓦列利的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)比我國(guó)的祖暅晚了1100多年.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過類比平面中的面積結(jié)論，得出空間中也同樣具有此類規(guī)律，引出“祖暅原理”，讓學(xué)生體會(huì)中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和自信心，提高學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

三、遷移應(yīng)用開闊思維

【問題與活動(dòng)】

由于“祖暅原理”的本質(zhì)是兩個(gè)幾何體在等高處的截面積相等，則其體積相等，因此我們可以構(gòu)造“已知幾何體”來解決“未知幾何體”的體積問題.

我們知道長(zhǎng)方體的體積為長(zhǎng)、寬、高的乘積，即底面積與高的乘積.利用這個(gè)基本結(jié)論，學(xué)生很自然就可以得出柱體的體積為底面積與高的乘積.

接著，教師追問：“椎體的體積呢？”

學(xué)生提出：“在小學(xué)進(jìn)行過操作驗(yàn)證，先準(zhǔn)備底面相同且等高的圓錐和圓柱，用圓錐裝滿沙子，然后倒入圓柱，三次即可裝滿圓柱，說明圓錐的體積是圓柱體積的■，所以圓錐的體積是■的底面積與高的乘積.”

教師適時(shí)引導(dǎo)：“現(xiàn)在我們已得到柱體的體積公式，能利用柱體與椎體的聯(lián)系，嚴(yán)格論證錐體的體積嗎？”

學(xué)生思考后提出把柱體三等分，教師問：“如何分？”接著，教師讓學(xué)生觀察直三棱柱模型，具體操作實(shí)踐，將其分解為三個(gè)體積相等的三棱錐.

通過小組合作探究的學(xué)習(xí)方式，利用“等體積法”，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、驗(yàn)證，將直三棱柱切割為三個(gè)體積相等的三棱錐（如圖8）.

利用小組合作學(xué)習(xí)、探究，類比推導(dǎo)一般柱體、椎體體積的方法，學(xué)生提出利用“祖暅原理”，構(gòu)造一個(gè)與半球在等高處截面面積總相等的幾何體，從而推導(dǎo)論證球體的體積公式.

教師及時(shí)肯定學(xué)生的思路，接著追問：“如何找一個(gè)與半球在等高處截面面積總相等的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積可求？”

由此，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察：如圖9，平行于底面的半球的截面是小圓，該小圓的面積與球半徑和球心到小圓面距離的關(guān)系為r2=R2-l2（R為球半徑，l為球心到小圓面的距離），所以截面小圓的面積為S=πr2=πR2-πl(wèi)2.而平行于底面的圓錐、圓柱的截面也是圓，所以能用圓錐和圓柱構(gòu)造與半球在等高處截面面積總相等的幾何體嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生研究小圓的面積：πr2=πR2-πl(wèi)2，從數(shù)形結(jié)合的角度來看，可以聯(lián)系到兩個(gè)圓的面積之差（如圖10）.

這樣，學(xué)生自然提出了用一個(gè)圓柱套在圓錐外面的想法.

如圖11，根據(jù)半球的截面面積公式，隨著高度的不斷升高，根據(jù)“祖暅原理”要找一個(gè)等高處截面積與半球截面面積相等的幾何體，似乎是可以的，利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示，并結(jié)合計(jì)算，圓柱套在正放圓錐的幾何體，放在一起發(fā)現(xiàn)等高處的截面積，隨著高度h的升高，內(nèi)圓面積逐漸趨于0，而外圓面積為定值，半球的截面積在減小，而我們構(gòu)造的幾何體的截面積反而在增大.這時(shí)，教師追問：“怎么辦？”

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，截面面積的始末大小剛好相反，因此，需要將圓錐顛倒，如圖12.

借助動(dòng)畫演示，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造得到一個(gè)滿足條件，并能夠求出體積的幾何體，讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用“祖暅原理”探究半球體積的推理過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生深刻理解“祖暅原理”的實(shí)質(zhì)，通過數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)，研究球的體積，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與視野，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開展，在新教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深度挖掘知識(shí)內(nèi)涵，拓展數(shù)學(xué)思維空間，能有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)能力，有助于推進(jìn)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新思維的養(yǎng)成.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維參與度、自我反思、批判質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的意識(shí)還有待進(jìn)一步加強(qiáng).結(jié)合探究?jī)?nèi)容，教師還應(yīng)該進(jìn)一步拓展問題，并在新的起點(diǎn)上提出新的需要解決的問題，把課堂內(nèi)容延伸到課外.這有利于建立課內(nèi)外一體化的學(xué)習(xí)與研究機(jī)制，最終突破課堂時(shí)空對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的限制.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇