黃賢明

摘 要：數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題是指以數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容為核心，融合其他學(xué)科知識、思想、方法等內(nèi)容的試題，從跨學(xué)科內(nèi)容的功能（目的）來看，可以分為點綴呈現(xiàn)型、情境應(yīng)用型與綜合拓展型三類。數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的價值包括：發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值；積累其他學(xué)科素材，提升教師專業(yè)能力；豐富數(shù)學(xué)探究內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)育人方向。相關(guān)的教學(xué)啟示有：關(guān)注試題背景的情境性，積極開展跨學(xué)科主題的實踐活動；理解學(xué)科知識的耦合性，充分實現(xiàn)跨學(xué)科內(nèi)容的課堂滲透。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；跨學(xué)科試題；跨學(xué)科教學(xué)

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本文系江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)理解視域下跨學(xué)科教學(xué)的實踐研究”（編號：2022/LX/02/081/10）的階段性研究成果。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，源自人們對現(xiàn)實世界的抽象。數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性與現(xiàn)代發(fā)展都指明了數(shù)學(xué)學(xué)科跨界、融合的必然。近年來，跨學(xué)科的數(shù)學(xué)教育逐漸成為研究的熱點?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的主要變化之一就是優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，包括以“綜合與實踐”為基礎(chǔ)“設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動課程綜合化實施，強(qiáng)化實踐性要求”［1］。

事實上，跨學(xué)科的內(nèi)容早已存在于數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面。在教材的編排中、試題的編制中、教學(xué)過程的設(shè)計中，都會涉及跨學(xué)科的內(nèi)容。此外，國內(nèi)也涌現(xiàn)出許多指向數(shù)學(xué)跨學(xué)科教育的研究，如教材或中高考試題中跨學(xué)科內(nèi)容的體現(xiàn)、基于跨學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)活動組織、包含跨學(xué)科內(nèi)容的作業(yè)設(shè)計等。但較少有研究關(guān)注數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的類型與特點。研究數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題不僅能為教師在中高考系統(tǒng)的復(fù)習(xí)中提供教學(xué)參考，還能為教師日常開展跨學(xué)科教學(xué)提供方向。下面，以2022年各地數(shù)學(xué)中考試卷中的跨學(xué)科試題為例，分析數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的類型與價值，并提出教學(xué)啟示。

一、 數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的類型

數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題是指以數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容為核心，融合其他學(xué)科知識、思想、方法等內(nèi)容的試題。從跨學(xué)科內(nèi)容的來源分析，其可以分為科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)四大類，涉及物理、化學(xué)、歷史、建筑、經(jīng)濟(jì)等多個學(xué)科。從跨學(xué)科內(nèi)容的功能（目的）來看，則可以分為以下幾類：

（一） 點綴呈現(xiàn)型

在點綴呈現(xiàn)型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題中，跨學(xué)科內(nèi)容僅提供了簡單的背景，不需要從中抽象出數(shù)學(xué)知識，即與問題的關(guān)聯(lián)不密切。此類試題中的跨學(xué)科內(nèi)容僅起到豐富背景的“點綴”作用，處于“可有可無”的狀態(tài)。不需要掌握其他學(xué)科的知識，也能解決問題。

例1 （2022年湖北省鄂州市數(shù)學(xué)中考試題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型。在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…。請你推算22022的個位數(shù)字是（? ）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

例1是一道生物學(xué)與數(shù)學(xué)的跨學(xué)科試題。它闡述了數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量變化的作用，同時給出了細(xì)胞分裂的問題背景，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型2n。但是，所需解決的問題圍繞2n個位數(shù)字的規(guī)律，與所給的問題背景關(guān)聯(lián)不密切，即使去掉相關(guān)背景或換成其他背景，也不影響問題的解決。因此，例1屬于典型的點綴呈現(xiàn)型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題，并未體現(xiàn)跨學(xué)科思維的應(yīng)用。

（二） 情境應(yīng)用型

在情境應(yīng)用型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題中，跨學(xué)科內(nèi)容不僅提供了其他學(xué)科的問題情境，還期望學(xué)生通過數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)（抽象出）其中的數(shù)學(xué)研究對象，并通過數(shù)學(xué)的知識、思維與方法來解釋其他學(xué)科的現(xiàn)象，解決其他學(xué)科的問題。此類試題中的跨學(xué)科內(nèi)容是為了掩飾數(shù)學(xué)問題而創(chuàng)設(shè)的問題情境。在解答的過程中，不涉及其他學(xué)科知識的應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科的內(nèi)容可以分離。

例2 （2022年貴州省遵義市數(shù)學(xué)中考試題）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28°緯線的長度。小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：

信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2，赤道半徑OA約為6400千米，弦BC∥OA，以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度。

根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為? ? 千米。（參考數(shù)據(jù)：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53）

例2是一道地理與數(shù)學(xué)的跨學(xué)科試題。它以探究北緯28°緯線的長度為目標(biāo)，期望學(xué)生從立體的地球模型中抽象出平面的數(shù)學(xué)模型，從而明晰“所求緯線的長度即為以弦BC為直徑的圓的周長”，進(jìn)而只需利用28°角的余弦、垂徑定理等數(shù)學(xué)知識求出BC的長，解決問題。此類試題相較點綴呈現(xiàn)型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題而言，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的要求更高，更希望學(xué)生能夠撥開跨學(xué)科內(nèi)容的“外衣”，抽象出純粹的數(shù)學(xué)問題加以解決，初步彰顯跨學(xué)科思維的價值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用的廣泛性。

（三） 綜合拓展型

在綜合拓展型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題中，跨學(xué)科內(nèi)容成為試題的有機(jī)組成部分，與數(shù)學(xué)知識相互交融。這類試題要求學(xué)生在綜合化的跨學(xué)科情境中，抽象出以數(shù)學(xué)知識為核心的問題，融合其他學(xué)科的知識、思想與方法，形成問題探究的主要思路。同時，問題的解決還需要學(xué)生把握各學(xué)科知識之間的共同點，綜合地應(yīng)用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識，發(fā)揮數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力。這類試題中的跨學(xué)科內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉內(nèi)容，與試題問題關(guān)聯(lián)密切。

例3 （2022年湖南省婁底市數(shù)學(xué)中考試題）“體育承載著國家強(qiáng)盛、民族振興的夢想?！倍斩帐褂梦樟ζ鳎▽嵨锶鐖D3所示）鍛煉手部肌肉。如圖4，握力器彈簧的一端固定在點P處，在沒有外力作用時，彈簧的長度為3 cm，即PQ=3。開始訓(xùn)練時，將彈簧的端點Q調(diào)在點B處，此時彈簧長PB=4，彈力大小是100 N。經(jīng)過一段時間的鍛煉后，手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強(qiáng)度，于是將彈簧的端點Q調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00 N。已知∠PBC=120°，求BC的長。

例3是一道體育、物理與數(shù)學(xué)的跨學(xué)科試題。它設(shè)置了墩墩使用握力器鍛煉手部肌肉的體育學(xué)科情境，涉及物理中有關(guān)彈簧的知識，以及數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、勾股定理等知識的應(yīng)用。在解決的過程中，學(xué)生需要從題干信息中結(jié)合圖4提取出相關(guān)的物理信息與數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而借物理知識將信息數(shù)學(xué)化，得到純粹的長度、角度之間關(guān)系的數(shù)學(xué)信息，最后利用數(shù)學(xué)知識來解決（具體如圖5所示）。此類試題更重視跨學(xué)科內(nèi)容的綜合性滲透，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間的跨界融合，需要較高水平的跨學(xué)科思維。

二、 數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的價值

（一） 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值

數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的本質(zhì)是在跨學(xué)科的情境中，抽象出相關(guān)數(shù)學(xué)信息與問題，并在其他學(xué)科知識、思想與方法的輔助下，結(jié)合數(shù)學(xué)知識解決問題。因此，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)跨學(xué)科情境，進(jìn)而在解決的過程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展。同時，學(xué)生經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)知識解決跨學(xué)科問題的過程，感受到數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的廣泛性，彰顯出數(shù)學(xué)的現(xiàn)實價值。

（二） 積累其他學(xué)科素材，提升教師專業(yè)能力

數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間關(guān)系的生動體現(xiàn)，其中的跨學(xué)科內(nèi)容也是教師開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的重要素材來源。比如，例1中細(xì)胞分裂的數(shù)學(xué)模型就能有效地應(yīng)用于“有理數(shù)的乘方”“冪的運(yùn)算”等的教學(xué)中。因此，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題解決了教師在數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)中“無米而炊”的現(xiàn)實問題，為數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題或項目活動的開展提供了內(nèi)容、視角和方向。同時，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題有助于教師積累數(shù)學(xué)跨學(xué)科素材，能不斷提升教師的數(shù)學(xué)跨學(xué)科素養(yǎng)與開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的專業(yè)能力。

（三） 豐富數(shù)學(xué)探究內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)育人方向

數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的教學(xué)與常規(guī)的解題教學(xué)有較大的差異，需要幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從題干中將數(shù)學(xué)信息與其他學(xué)科信息靈活轉(zhuǎn)化，直至形成問題解決所需的關(guān)鍵信息。因此，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的出現(xiàn)會不斷豐富數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容，并且能夠為數(shù)學(xué)探究（包括研究性學(xué)習(xí)）活動的開展提供相關(guān)契機(jī)。此外，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題側(cè)重學(xué)生核心素養(yǎng)的考查與跨學(xué)科思維的應(yīng)用，這將促進(jìn)教師不斷優(yōu)化教學(xué)形式，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

三、 教學(xué)啟示

（一） 關(guān)注試題背景的情境性，積極開展跨學(xué)科主題的實踐活動

跨學(xué)科試題最大的特征就是背景的情境性，這些情境大多存在于真實的自然和社會現(xiàn)象中，沒有經(jīng)過人為的分科處理。因此，教師要關(guān)注試題背景的情境性，以具體的現(xiàn)象為起點，確定數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的主題（項目）；然后，依托主題，形成以數(shù)學(xué)學(xué)科為核心的問題（任務(wù)）鏈，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科知識形成探究思路，開展實踐活動。

比如，例2給出了測量緯線長度的地理學(xué)科情境，其本質(zhì)為“緯度決定緯線的長度”。圍繞該情境可以進(jìn)一步聯(lián)想到一些現(xiàn)實生活中的具體現(xiàn)象，比如“在同一緯度，物體的影長會隨時間的推移而改變”。通過查閱資料，發(fā)現(xiàn)我國古代有一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器——圭表（如圖6），它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”）。由此，可以確定數(shù)學(xué)跨學(xué)科活動的主題：制作圭表。

在教學(xué)中，教師可以先呈現(xiàn)圭表模型，講述圭表原理，然后給出如下任務(wù)鏈：（1） 請你將圭表模型抽象成幾何模型，思考制作圭表需要得到哪些信息。（2） 請你了解正午太陽高度角與緯度的關(guān)系。（3） 冬至太陽直射點的緯度是南緯23°26′，夏至太陽直射點的緯度是北緯23°26′，蘇州市所在的緯度為北緯31°3′。若圭表中表長為a米，請你計算出蘇州地區(qū)冬至與夏至的日影長。（4） 請你結(jié)合上述任務(wù)，制作一個圭表，并在圭上標(biāo)出冬至與夏至日影所在位置。

任務(wù)1需要學(xué)生抽象出如下頁圖7所示的幾何模型，并指出制作圭表需要在確定表AC長的基礎(chǔ)上，得到冬至與夏至的日影長。任務(wù)2需要學(xué)生通過查閱資料，得到正午太陽高度角θ、太陽直射點緯度δ與當(dāng)?shù)鼐暥圈罩g滿足θ=90°-|φ-δ|（記北緯為正值，南緯為負(fù)值）。同時，教師可借助圖8幫助學(xué)生理解這一關(guān)系的本質(zhì)原因。任務(wù)3與任務(wù)4則是對圭表基本元素的推演與計算，進(jìn)而利用三角函數(shù)、勾股定理等知識得到相關(guān)數(shù)據(jù)。最終，讓學(xué)生在動手操作中親身經(jīng)歷圭表的制作過程，獲得數(shù)學(xué)跨學(xué)科實踐活動的經(jīng)驗。此外，還可讓學(xué)生收集近期太陽直射點的緯度數(shù)據(jù)，推演與計算圭表中的對應(yīng)位置，并在具體實踐中檢驗所標(biāo)位置的準(zhǔn)確性。

在完成上述任務(wù)的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“現(xiàn)象—本質(zhì)—現(xiàn)象”的轉(zhuǎn)化過程，即從圭表模型出發(fā)，理解其本質(zhì)內(nèi)涵，回歸到具體圭表的制作中。任務(wù)鏈將復(fù)雜的現(xiàn)實現(xiàn)象逐漸拆解為多個貼近學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗的小任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生在“制作圭表”的實踐活動中實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的遷移與跨學(xué)科能力的提升。

（二） 理解學(xué)科知識的耦合性，充分實現(xiàn)跨學(xué)科內(nèi)容的課堂滲透

學(xué)科知識的耦合性要求在一個問題的解決中，打破不同學(xué)科知識之間的壁壘，理解知識之間的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，構(gòu)建異質(zhì)性知識的耦合路徑，實現(xiàn)不同學(xué)科知識的有機(jī)結(jié)合。綜合拓展型數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題就是學(xué)科知識耦合性的重要表現(xiàn)。因此，教師首先要理解學(xué)科知識的耦合性，把握跨學(xué)科試題的知識背景，形成跨學(xué)科的問題（任務(wù)）等內(nèi)容，促進(jìn)自身跨學(xué)科素養(yǎng)的有效提升。其次，要基于問題的解決，能動性地應(yīng)用跨學(xué)科內(nèi)容設(shè)計相關(guān)教學(xué)活動，實現(xiàn)跨學(xué)科內(nèi)容從“學(xué)科形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)變，將跨學(xué)科內(nèi)容滲透到數(shù)學(xué)課堂中。

比如，數(shù)學(xué)學(xué)科中的平行線知識就可以與物理學(xué)科中光的反射知識建立密切聯(lián)系。在《平面圖形的認(rèn)識（二）》單元的復(fù)習(xí)教學(xué)中，可創(chuàng)設(shè)“制作潛望鏡”的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生結(jié)合平行線的性質(zhì)與判定以及光的反射定理思考潛望鏡中鏡子的擺放角度。［2］此外，在該單元內(nèi)容的考查中，也可以圍繞“如何讓經(jīng)過多次反射后的光線與原光線平行”的問題編制試題，讓學(xué)生在深入探究解決問題的過程中理解學(xué)科知識的耦合性，實現(xiàn)學(xué)科的融合，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)跨學(xué)科思維。

總之，數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題是開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的一大途徑，不僅為教師呈現(xiàn)了豐富的跨學(xué)科素材，也能夠訓(xùn)練學(xué)生的跨學(xué)科思維，發(fā)展學(xué)生的跨學(xué)科能力。雖然新課標(biāo)給出了“體育運(yùn)動與心率”“國內(nèi)生產(chǎn)總值調(diào)研”等數(shù)學(xué)跨學(xué)科實踐活動案例，但是，仍舊有諸多可挖掘、可設(shè)計、可實施的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)素材隱藏在試題中。教師要做有心人，積極從數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題中汲取靈感，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題的價值。當(dāng)然，教師也可以結(jié)合教材編排、教學(xué)實踐與教學(xué)研究中獲得的數(shù)學(xué)跨學(xué)科素材，編制出更多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：前言4.

［2］ 周煉，陳鋒.任務(wù)群視角下單元后建構(gòu)課的教學(xué)設(shè)計與實踐——以蘇科版“平面圖形的認(rèn)識（二）”為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2023（1）：1621.