雍泰

【摘要】初中物理電功率一節(jié)的習(xí)題中有時會出現(xiàn)這樣的問題，滑片移動的過程中，變阻器功率何時最大？這個問題屬于電學(xué)中的動態(tài)電路問題，有時還會和圖象結(jié)合起來，學(xué)生解答起來，往往困難較多.其實(shí)，這類問題先是要會分析電路，能把較復(fù)雜的電路進(jìn)行簡化，其次再把滑動變阻器和定值電阻放在一個簡單的串聯(lián)電路中，運(yùn)用歐姆定律和相關(guān)的電功率公式得出滑動變阻器電功率的表達(dá)式，這是關(guān)鍵的第一步，第二步就是用數(shù)學(xué)知識求最大值的問題.可以用公式法、判別式法、求導(dǎo)數(shù)法，單調(diào)性法等方法.

【關(guān)鍵詞】初中物理；電功率；變阻器

基礎(chǔ)題型如圖1，電源電壓U0已知，定值電阻R0的阻值已知，閉合開關(guān)，求滑片移動過程中，滑動變阻器R′消耗的功率什么時候最大？最大值是多少？

分析首先，電流從電源正極到負(fù)極的過程中依次經(jīng)過R＇和R0，只有一條電流路徑，則R＇和R0串聯(lián)，電路中電流處處相等，I0=I′=I.

其次，由歐姆定律I=UR得 I′=I=U0R0+R′，

再由P=UI 得P′=U′I′=（U0R0+R′）2R′，

即：P′=U02R′（R0+R′）2，就是R′消耗功率的表達(dá)式.

設(shè)R′=x ， R′（R0+R′）2=y，則P′=U02y，y=x（R0+x）2，要使得P′有最大值，就要先求y的最大值.下面用導(dǎo)數(shù)法、公式法、判別式法三種方法分別求y=x（R0+x）2的最大值.

解法1導(dǎo)數(shù)法

y是x的函數(shù)，考慮對y求一階導(dǎo)數(shù).

y′=（R0+x）2－x（2x+2R0）（R0+x）4，當(dāng)y′=0時，分子為0，（R0+x）2－x（2x+2R0）=0解得，x=R0，舍去x=－R0，把x=R0代入y=x（R0+x）2得y=14R0，再把y=14R0代入P′=U02y得P′max=U024R0.

或者可以這樣理解，當(dāng)R′連入電路的阻值等于R0時，兩者的所有參量、電壓、電流、電功率均相等，所以此時R0的功率就是R′的功率，而R0的功率P0=U02×U02R0=U024R0=P′max，U024R0就是滑片移動過程中R′的最大功率.

解法2配方法

y=x（R0+x）2=xR02+2R0x+x2

=1x+2R0+R02x=1x2+2R0+（R0x）2

=1（x+R0x）2=1（x－R0x）2+4R0≤14R0，且x=R0x時取等號，即x=R0時取等號.

同樣得到當(dāng)滑動變阻器連入電路的阻值等于R0時，R′的功率最大.亦能得P′max=U024R0；如果x不能等于R0，那么|x－R0x|最小時，即x和R0最接近時，P′有最大值，再用這時的x的值求P′就能得到R′的最大功率.

解法3判別式法

把y=x（R0+x）2化成關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程，由y=x（R0+x）2得yx2+（2R0y－1）x+yR02=0，該式可看作關(guān)于x的一元二次方程，該方程有解時，Δ≥0，Δ=（2R0y－1）2－4y2R02≥0.解得y≤14R0，即ymax=14R0，把ymax=14R0代入y=x（R0+x）2，易得x=R0，同樣得到，當(dāng)R′=R0時，R′的功率最大，P′max=U024R0.

結(jié)論動態(tài)電路中，滑動變阻器的功率最大時，其連入電路的阻值R和與之串聯(lián)的定值電阻R0的阻值相等，即R′=R0，R′的功率最大，且最大值為P′max=U024R0（U0電源電壓，R0是定值電阻的阻值）；如果R′不能等于R0，最接近R0時，P′最大.

下面就利用上述結(jié)論來解答幾類滑動變阻器電功率最大的問題.

1已知定值電阻阻值在滑動變阻器阻值范圍內(nèi)

例1一阻值為10Ω的定值電阻與阻值為0～15Ω的滑動變阻器串聯(lián)后接在電源電壓為4V的電路中，當(dāng)滑動變阻器連入電路的阻值為多少歐時，滑動變阻器的電功率為最大，其值為多少瓦？

分析首先，定值電阻R0=10Ω和滑動變阻器串聯(lián)，且0＜10Ω＜15Ω，其次用上述結(jié)論R′=R0=10Ω，R′的功率最大，得到最大功率P′max=U024R0=16V240Ω=0.4W.

2已知定值電阻的阻值不在滑動變阻器的阻值范圍內(nèi)

例2一阻值為10Ω的定值電阻與阻值為0～8Ω的滑動變阻器串聯(lián)后接在電源電壓為4V的電路中，當(dāng)滑動變阻器連入電路的阻值為多少大時，滑動變阻器的電功率為最大，其值為多少瓦？

分析已知定值電阻與滑動變阻器串聯(lián)，首先確定10Ω＞8Ω，滑片移動過程中，R′的阻值不可能等于R0；其次考慮|x－R0|最小時，R′的功率最大，當(dāng)R′=8Ω時，R′功率最大，最后用串聯(lián)電路特點(diǎn)，R總=R0+8Ω=18Ω，I=4V18Ω=29A，P′max=I2R=（29）2×8Ω=3281W.

3數(shù)形結(jié)合：電路圖結(jié)合U－I關(guān)系圖求滑動變阻器的最大功率

例3如圖2所示的電路中，電源兩端電壓為定值，開關(guān)S閉合后，調(diào)節(jié)滑片，使得電壓表和電流表發(fā)生變化，獲得多組數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)軸上作出U－I圖象，如圖3所示，求滑片移動過程中R2功率的最大值.

分析首先，由圖2和圖3，U隨I增大的是R1的圖象，U隨I增大而減小的是R2的圖象；其次，串聯(lián)電路I1=I2，U1+U2=U總.

最后，由上述結(jié)論可知，R2的功率最大時，就是R2連入電路的阻值等于R0時，此時由歐姆定律可知，U1=U2，由圖3看出，此時I1=I2=0.15A，U1=U2=3V，所以P2max=U2I2=3V×0.15A=0.45W.

4定值電阻R0有多個時，求滑動變阻器的最大功率

例4如圖4-1所示，電路、電源、電壓保持不變，只閉合開關(guān)S1將滑動變阻器的滑片P從最上端移到最下端的過程中，○V2的最小值示數(shù)為3V，電壓表○V1與○V2的示數(shù)之差變化了2V.閉合開關(guān)S1和S2，將滑片P從最下端移動到最上端的過程中，電阻R3的最大功率為0.75W，當(dāng)滑片P在R2的中點(diǎn)時，電壓表○V1與○V2的示數(shù)比1∶2，問開關(guān)S1，S2都閉合，滑片從最下端移動到最上端的過程中，滑動變阻器R2的最大電功率是多少？

分析首先，簡化電路，開關(guān)S1閉合，S2斷開，三個電阻串聯(lián)，電壓表○V1測的是R2和R3兩端的總電壓，U3+U2，即○V1＝U2+U3，電壓表○V2測的是R1和R2上滑片上端部分的電壓，U1+U2上，即○V2＝U1+U2上，此時電路圖如圖4-2所示.○V2的示數(shù)最小時，滑片P在R2的最上端，U2上=0，○V2測的是R1兩端的電壓，所以U1=3V，P在最上端時，兩表示數(shù)差：○V1－○V2＝（U2+U3）－U1①，而P在最下端時，○V1＝U2+U3，○V2＝U1+U2，兩表示數(shù)差：○V1－○V2＝U2+U3－（U1+U2）②，①－②得，（U2+U3）－U1－［U2+U3－（U1+U2）］=2V，得U2=2V.由I1=I2，I=UR得U1R1=U2R2，即3VR1=2VR2得：R1R2=32，R1=32R2 ③，（R2為滑動變阻器R2的最大值）.

其次，開關(guān)S1閉合，S2閉合，此時R2上滑片P的下端部分被短路，簡化電路圖如圖4-3所示，電阻R1、R3和R2上滑片以上的部分串聯(lián)，當(dāng)R3的功率最大時，總電流最大，總電阻最小，因?yàn)镽1，R3均不變，故R2連入電路中的阻值最小，即R2上＝0，P在最上端，此時，I=UR1+R3，P3=U3I=I2R3=U2R3（R1+R3）2=0.75W，U2R3（R1+R3）2=0.75W④.

再次，滑片P在中點(diǎn)時，R2上=12R2，○V1測的是R3和12R2總電壓，○V1=I中（R3+12R2），而○V2測的是R1和12R2兩端的總電壓，○V2=I中（R1+12R2），○V1∶○V2＝1∶2，即I中（R3+12R2）∶I中（R1+12R2）＝1∶2，解得，R3=12R1－14R2 ⑤，③代入⑤得，R3=12R2 ⑥由③④⑥得：U2R2=6W⑦

最后，R2看成可變電阻，R1和R3看成定值電阻，因?yàn)镽1+R3=32R2+12R2=2R2＞R2，所以可變電阻R2在滑片由下到上移動過程中，其阻值始終小于定值電阻，所以當(dāng)R2功率最大時，就是R2的阻值最大時，即滑片P在最下端時，此時R總=R1+R2+R3.

解得R總=3R2（R2為滑動變阻器的最大值），I=UR總=U3R2，所以，P移動過程中R2的最大功率P2max=U2I=I2R2=U3R22R2=U29R2⑧ ，⑦代入⑧得P2max=23W.

5結(jié)語

物理的學(xué)習(xí)過程和其他學(xué)科一樣，從入門到熟練的運(yùn)用公式，分析電路有一個由淺入深，由易到難的過程.對滑動變阻器而言，滑片來回移動，但是只要我們能抓關(guān)鍵的已知條件較多的點(diǎn)，就能找到動中有靜的解題突破口.當(dāng)然，物理解題能力的提升必須要有扎實(shí)和嫻熟的數(shù)學(xué)知識和技能作為支撐，數(shù)理并用是最完美的解題手段.