楊海龍， 任歡歡

陜西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710119

三支決策[1-3]是處理決策問題的一個有效方法, 其核心思想是將一個論域劃分為三個兩兩不相交的部分, 對每個部分制定相應的策略, 以及對三分和策略進行評價.三支決策的模型和理論已經(jīng)被廣泛研究并應用到了眾多領(lǐng)域.

單值中智集[4]作為直覺模糊集[5]的推廣, 能有效描述不確定性[6-10].單值中智集與三支決策的融合也被廣泛研究[11-19].然而, 如何建立基于不完備單值中智信息系統(tǒng)的三支決策模型, 尚未有文獻涉及.

本文針對不完備單值中智信息系統(tǒng).首先, 利用平均值法將不完備單值中智信息系統(tǒng)補全為完備單值中智信息系統(tǒng); 然后, 基于補全的完備單值中智信息系統(tǒng)建立三支決策模型; 最后, 通過選擇產(chǎn)品供應商的例子闡述新模型的應用, 并詳細分析了模型中參數(shù)變化對決策結(jié)果的影響.

1 預備知識

本節(jié)給出所需的一些基本概念.

1.1 單值中智集與單值中智數(shù)

定義2[10]設(shè)p,q為兩個單值中智數(shù),k是一個大于0的實數(shù), 定義下面兩個運算:

1)p⊕q=〈Tp+Tq-Tp·Tq,Ip·Iq,Fp·Fq〉;

2)kp=〈1-(1-Tp)k,(Ip)k,(Fp)k〉.

文獻[9]指出了單值中智數(shù)排序方法的不足, 并給出了單值中智數(shù)的一個新排序方法.

定義3[9]設(shè)p=(Tp,Ip,Fp)和q=(Tq,Iq,Fq)是兩個單值中智數(shù),

1)若sc(p)

2)若sc(p)=sc(q),ac(p)

3)若sc(p)=sc(q),ac(p)=ac(q),Ip

4)若sc(p)=sc(q),ac(p)=ac(q),Ip=Iq, 則稱p等于q, 記作p=q,

文獻[9]證明了定義3中給出的排序方法可以比較任意兩個單值中智數(shù).

1.2 三支決策

文獻[1]基于貝葉斯決策理論闡述了三支決策的過程.設(shè)U為非空有限集,R是U上的一個等價關(guān)系,[u]R={v∈U|(u,v)∈R}是u的等價類.設(shè)Ψ={C,C}是狀態(tài)集,Λ={πP,πB,πN}是行動集, 其中狀態(tài)C和C分別表示對象屬于C和不屬于C,πP,πB,πN分別表示對u采取的3個行動, 即決定u∈POS(C),u∈BND(C),u∈NEG(C).損失函數(shù)是采取某種行動帶來的損失, 具體如表1所示.

表1 損失函數(shù)

在表1中,γPP,γBP和γNP分別表示當對象u屬于C時, 采取πP,πB和πN這3種行為帶來的損失;γPN,γBN和γNN分別表示當對象u不屬于C時, 采取πP,πB和πN這3種行為帶來的損失, 應滿足條件γPP≤γBPγNP,γPN≤γBNγNN.對每個對象采取3種不同行動的期望損失分別為:

E(πP|[u]R)=γPPP(C|[u]R)+γPNP(C|[u]R);

E(πB|[u]R)=γBPP(C|[u]R)+γBNP(C|[u]R);

E(πN|[u]R)=γNPP(C|[u]R)+γNNP(C|[u]R)

其中P(C|[u]R)和P(C|[u]R)分別表示等價類[u]R中的對象屬于C和不屬于C的條件概率.

根據(jù)最小風險貝葉斯決策理論, 得到如下決策規(guī)則:

(P)若E(πP|[u]R)≤E(πB|[u]R), 且E(πP|[u]R)≤E(πN|[u]R), 則u∈POS(C);

(B)若E(πB|[u]R)≤E(πP|[u]R), 且E(πB|[u]R)≤E(πN|[u]R), 則u∈BND(C);

(N)若E(πN|[u]R)≤E(πP|[u]R), 且E(πN|[u]R)≤E(πB|[u]R), 則u∈NEG(C).

2 不完備單值中智信息下的三支決策模型

本節(jié)將建立面向不完備單值中智信息的三支決策模型.具體的, 將一個不完備單值中智信息系統(tǒng)補全為完備單值中智信息系統(tǒng), 然后基于補全的完備單值中智信息系統(tǒng)建立三支決策模型.

對于一個不完備單值中智信息系統(tǒng), 采用平均值法補全未知(缺失)值, 即單值中智數(shù)中的未知值用該屬性下其他對象的已知屬性值的平均值代替, 從而一個不完備單值中智信息系統(tǒng)可被補全為一個完備的單值中智信息系統(tǒng), 稱之為由平均值法誘導的完備單值中智信息系統(tǒng).

例1表2所示是一個不完備單值中智信息系統(tǒng)(U,A,V,f*), 其中“＊”表示該值未知.利用平均值法, 表2被補全為一個完備的單值中智信息系統(tǒng)(見表3).

表2 不完備單值中智信息系統(tǒng)

表3 由平均值法誘導的完備單值中智信息系統(tǒng)

文獻[8]提出了兩個單值中智數(shù)之間的相似度如下:

定義6[8]設(shè)p=(Tp,Ip,Fp)和q=(Tq,Iq,Fq)是兩個單值中智數(shù), 定義p和q之間的相似度為

基于定義6, 從不完備單值中智信息系統(tǒng)出發(fā), 基于誘導的完備單值中智信息系統(tǒng)給出對象間的相似度的定義.

定義7設(shè)(U,A,V,f*)是一個不完備單值中智信息系統(tǒng),(U,A,V,fc)是由平均值法誘導的完備單值中智信息系統(tǒng).?u,v∈U, 對象u和v的相似度定義為:

(1)

其中#A表示A中屬性的個數(shù),Sai(u,v)=S(fc(u,ai),fc(v,ai))是對象u和v關(guān)于屬性ai的相似度.

例2(續(xù)例1)根據(jù)表3和定義7, 可得對象之間的相似度如下:

Sim(u1,u1)=Sim(u2,u2)=Sim(u3,u3)=Sim(u4,u4)=1,

Sim(u1,u2)=Sim(u2,u1)=0.4,Sim(u1,u3)=Sim(u3,u1)=0.425,

Sim(u1,u4)=Sim(u4,u1)=0.358 3,Sim(u2,u3)=Sim(u3,u2)=0.425,

Sim(u2,u4)=Sim(u4,u2)=0.375,Sim(u3,u4)=Sim(u4,u3)=0.35.

進一步給出不完備單值中智信息系統(tǒng)中α相似關(guān)系和α相似類的定義.

定義8設(shè)(U,A,V,f*)是一個不完備單值中智信息系統(tǒng),(U,A,V,fc)是由平均值法誘導的完備單值中智信息系統(tǒng).?α∈[0, 1],U上的α相似關(guān)系定義為:

SRα={(u,v)∈U×U|Sim(u,v)≥α}

?u∈U,u關(guān)于α相似關(guān)系SRα的α相似類定義為:

例3(續(xù)例2)令α=0.4, 根據(jù)定義8, 可得α相似關(guān)系SRα如下:

SR0.4={(u1,u1),(u1,u2),(u1,u3),(u2,u1),(u2,u2),(u2,u3),(u3,u1),(u3,u2),(u3,u3),(u4,u4)}

進一步, 可得α相似類為:

在三支決策理論框架下, 結(jié)合定義3和決策準則(P)-(N)可得面向不完備單值中智信息的決策規(guī)則如下:

則u∈POS(C).

則u∈BND(C).

則u∈NEG(C).

其中

本文提出的三支決策模型的關(guān)鍵步驟可總結(jié)為下面的算法1.

算法1 基于不完備單值中智信息系統(tǒng)的三支決策的算法輸入: 不完備單值中智信息系統(tǒng)、 損失函數(shù)和參數(shù)α(0<α<1)輸出: 每個對象u∈U的三支決策結(jié)果1)將不完備單值中智信息系統(tǒng)中的未知值用該屬性下其他對象對應的屬性值的平均值補全, 得到補全的完備單值中智信息系統(tǒng). 2)對每個屬性a∈A, 計算對象間的相似度Sa(u, v). 3)由公式(1), 計算對象間關(guān)于屬性集A的相似度Sim(u, v).4)計算[u]αSR和P(C|[u]αSR).5)計算期望損失E(π·|[u]αSR)(·=P, B, N).6)基于期望損失計算得分函數(shù)sc(E(π·|[u]αSR))和精確度函數(shù)ac(E(π·|[u]αSR)). 7)由(P?)-(N?)得到每個對象的三支決策結(jié)果.

3 模型的應用

本節(jié)利用一個選擇產(chǎn)品服務商的決策問題的例子, 闡述面向不完備單值中智信息的三支決策模型的有效性和可行性.

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展, 數(shù)據(jù)變得尤為重要, 越來越多的企業(yè)開始關(guān)注數(shù)字化轉(zhuǎn)型, 利用大數(shù)據(jù)技術(shù)為其服務.為提高數(shù)據(jù)管理能力, 某公司想要選擇一個數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務商.設(shè)U={u1,u2, …,u10}為10個供應商,A={a1,a2,a3,a4}為4個條件屬性(其中a1表示“產(chǎn)品質(zhì)量”,a2表示“處理能力”,a3表示“售后服務”,a4表示“購買成本”),D=syggg00為決策屬性.該領(lǐng)域的專家根據(jù)條件屬性為每個供應商給出評價值, 評價值為單值中智數(shù).由于某些原因, 其中一些數(shù)據(jù)值是缺失的.關(guān)于供應商的不完備單值中智信息系統(tǒng)如表4所示, 其中決策屬性值d=1表示專家推薦該供應商,d=0表示專家不推薦該供應商.下面利用本文提出的模型對10個供應商做出評判.給定α=0.37.

表4 關(guān)于供應商的不完備單值中智信息系統(tǒng)

由表4可以得到兩個狀態(tài)集:C={u3,u4,u6,u9},C={u1,u2,u5,u7,u8,u10}.它們分別代表推薦的供應商集合和不推薦的供應商集合.損失函數(shù)如表5所示, 每個損失是一個單值中智數(shù).

表5 損失函數(shù)

按照算法1 給出步驟如下:

1)將不完備單值中智信息系統(tǒng)補全為完備單值中智信息系統(tǒng), 如表6所示.

表6 關(guān)于供應商的由平均值法誘導的完備單值中智信息系統(tǒng)

2)根據(jù)表6計算對象關(guān)于屬性ai(i=1,2,3,4)的相似度Sai(u,v), 這里僅展示Sa1(u,v)(表7).

表7 關(guān)于屬性a1的相似度Sa1(u, v)

3)計算對象間的相似度Sim(u,v)(表8).

表8 對象間的相似度

4)由定義8可得對象的相似類:

5)計算期望損失(表9).

表9 期望損失

6)計算期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)(表10).

表10 當α=0.37時期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表12 當α=0.365時期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表13 當α=0.375時期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表14 當α=0.38時期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

7)根據(jù)準則(P*)-(N*), 可得三支決策結(jié)果:

a)u3,u6,u9∈POS(C);

b)u8,u10∈BND(C);

c)u1,u2,u4,u5,u7∈NEG(C).

根據(jù)上述決策結(jié)果, 建議該公司選擇供應商u3,u6或u9; 同時, 供應商u8和u10需要進一步考慮; 而供應商u1,u2,u4,u5和u7則不太合適.

4 參數(shù)變化對決策結(jié)果的影響分析

本節(jié)討論參數(shù)α變化對模型的影響分析.選取α=0.36,0.365,0.37,0.375,0.38, 損失函數(shù)的得分函數(shù)和精確度函數(shù)的結(jié)果分別展示在表10-14中.α不同取值產(chǎn)生的決策結(jié)果如圖1所示.

圖1 當α變化時的決策結(jié)果

由圖1可看出, 隨著α的增大, 被劃分到正域的對象增多.對于決策者來說, 選擇不同的α, 意味著產(chǎn)生不同的決策結(jié)果.在處理實際問題時, 需要根據(jù)實際情況具體分析, 以選取最適合的α.

5 結(jié)語

本文研究了不完備單值中智信息下的三支決策模型.將不完備單值中智信息系統(tǒng)補全為完備的單值中智信息系統(tǒng), 基于補全的完備單值中智信息系統(tǒng)計算對象間的相似度, 進一步建立三支決策模型.最后, 利用選擇產(chǎn)品供應商的例子闡述了模型的應用, 并對模型中的參數(shù)進行了敏感性分析.本文沒有考慮信息表動態(tài)變化的情形, 不完備動態(tài)單值中智信息下的三支決策模型是一個有意義的研究課題.