江蘇省南通市通州區(qū)文山初級中學(xué) (226300) 葛蔚果

等腰直角三角形是一類重要的基礎(chǔ)圖形,在不少地區(qū)的中考幾何綜合題中都少不了它的身影．開展中考幾何專題復(fù)習(xí)時,以等腰直角三角形為背景的補(bǔ)圖問題是一類重要專題,值得安排專題復(fù)習(xí)課.近期筆者在學(xué)校備課組內(nèi)開設(shè)一節(jié)“等腰直角三角形補(bǔ)圖問題”專題復(fù)習(xí)課,取得較好的教學(xué)效果,本文整理該課教學(xué)設(shè)計,并跟進(jìn)教學(xué)思考,提供研討．

一、“等腰直角三角形補(bǔ)圖問題”專題教學(xué)設(shè)計

活動1 等腰直角三角形補(bǔ)圖問題與中點探究

問題1 如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC．D為AC延長線上一點,連接BD,將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過點EH⊥AC,垂足為H,連接AE．

圖1

(1)補(bǔ)全圖形后提出一個問題并解決;

(2)連接BE,M為BE的中點,連接CM,用等式表示線段CD,CM,BC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明．

圖2

圖3

活動2 等腰直角三角形問題與一題多證

圖4

(1)在圖4中補(bǔ)全圖形,并求證點D為AA′的中點;

(2)連接BD,請分析BD的長的取值范圍．

教學(xué)預(yù)設(shè)：第(1)問先安排學(xué)生補(bǔ)全圖形,如圖5,作AE//A′C′交CD于點E．進(jìn)一步證明的關(guān)鍵是攻克“AE=A′C′”．可設(shè)∠BCC′=β,由BC=BC′,可得∠BC′C=β,于是∠A′C′C=90°+β,由AE//A′C′,得∠AEC′=∠A′C′C=90°+β,根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)可得∠AEC=90°-β,而∠ACE=90-β,所以∠ACE=∠AEC,可得AE=AC,于是代換出AE=A′C′,可證△ADE≌△A′DC′,得出D為AA′的中點．另外,如果著眼于△ABA′是等腰三角形,如果能攻克BD⊥AA′,也能得到D為AA′的中點．沿著這個思路,可先證出△CBD∽△ABA′,可得∠DAB=∠DCB,進(jìn)一步得到∠ADC=∠ABC=45°．也可發(fā)現(xiàn)四點A,C,B,D共圓,從而得出∠ADB=90°,實現(xiàn)問題解決．

圖5

活動3 等腰直角三角形與正方形的聯(lián)系

問題3 如圖6,已知AB=BC,∠ABC=90°,直線l是過點B的一條動直線(不與直線AB,BC重合),且45°<∠ABD<90°,分別過點A,C作直線l的垂線,垂足為D,E．連接AE,過點D作DG⊥AE于G,過點A作AH∥BC交DG的延長線于點H．

圖6

(1)補(bǔ)全圖形,求證AH=BC;

(2)用等式表示線段DH,BE,DE的數(shù)量關(guān)系,并證明．

教學(xué)預(yù)設(shè)：第(1)問先由學(xué)生獨立補(bǔ)出圖7,并想清待證的“AH=BC”的等價結(jié)論可以是四邊形ABCH是正方形,或者DH=AE,或者△ABE≌△HAD．在此基礎(chǔ)上,第(2)問中待分析的三條線段DH,BE,DE的數(shù)量關(guān)系,可以代換、轉(zhuǎn)化到直角三角形ADE中思考,結(jié)合勾股定理得出它們之間的平方關(guān)系．講評之后,可以將問題逆向設(shè)問,安排學(xué)生變式再練．

變式問題如圖7,正方形ABCH中,過點B在正方形內(nèi)部的作射線l,AD⊥l,CE⊥l,垂足分別為D,E．連接DH,AE,求證AE=DH．

變式意圖學(xué)生證明的關(guān)鍵仍然是△ABE≌△HAD．全等判定的依據(jù)是“SAS”．

活動4 課堂小結(jié)

小結(jié)問題1 在求解與等腰直角三角形問題有關(guān)的補(bǔ)圖問題時,正確補(bǔ)全圖形是后續(xù)解題成功的關(guān)鍵,你在補(bǔ)圖過程中積累了哪些經(jīng)驗?

小結(jié)問題2 本課中有不少設(shè)問需要用等式表示兩條或三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,這類問題常常要將其中一條或兩條線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換,給你留下較深印象的是哪個問題?舉例說說．

小結(jié)問題3 等腰直角三角形與正方形聯(lián)系密切,本課中的“問題3”就是一例．你能將“問題3”再以正方形為背景,改編出一道新的問題嗎?

設(shè)計意圖：通過以上3個小結(jié)問引導(dǎo)學(xué)生對本課所學(xué)進(jìn)行回顧反思,既要學(xué)會梳理解題經(jīng)驗,又要學(xué)會辨別關(guān)鍵步驟或積累深刻印象的問題,同時對典型問題或基本圖形要能繼續(xù)設(shè)計出新的問題,這樣就追求了理解的深度．

二、關(guān)于幾何專題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.聚焦主線選編問題,留白追問漸次呈現(xiàn)

幾何專題教學(xué)的關(guān)鍵在于課前的精心備課,特別是聚焦主線的選編同類問題,對這些問題進(jìn)行必要的改編、刪減、變式、拓展,以適合不同教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)運用．此外,為了充分發(fā)揮學(xué)生主體地位,可以在課堂教學(xué)中運用留白藝術(shù),這就需要教師在“備課時就應(yīng)根據(jù)課型、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況等因素對課堂留白進(jìn)行預(yù)設(shè)．”[1]具體來說,當(dāng)某個問題的題干呈現(xiàn)之后,教師不要急于提出系列問題,先將問題留白,引導(dǎo)學(xué)生參與設(shè)計問題、小組交流、大組展示,如果備課時準(zhǔn)備好的類似問題已被學(xué)生提到,則在后續(xù)出示時就不必詳細(xì)討論,這樣的開放式教學(xué),留白追問可以促進(jìn)更多學(xué)生的思維充分卷入課堂,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)信心．

2.變換角度一題多解,變式設(shè)問多題歸一

幾何專題教學(xué)時選題不宜太多,一般來說,全課安排3～4個主問題即可,在每個主問題之下可以跟進(jìn)系列小問,系列小問3～4個為宜．在總題量控制之后,教學(xué)重點可花在引導(dǎo)學(xué)生開展一題多解,從不同角度進(jìn)行思路突破,這樣可以對不同數(shù)學(xué)分支進(jìn)行復(fù)習(xí)、鞏固．當(dāng)然,一題多解也要防范另一個極端,就是偏向“一題濫解”,比如對有些問題開展所謂“一題十解”“一題二十解”之類的展示,在專題教學(xué)課中就不太合適,畢竟教學(xué)時間寶貴,筆者以為一題給3～4種典型解法即可．另外,除了一題多解之外,教學(xué)點評或反思回顧環(huán)節(jié),可以安排變式追問,促進(jìn)學(xué)生從“一題多解”走向“多解歸一”,讓學(xué)生學(xué)會識別“等價問題”[2],以達(dá)到“做一題,會一類,通一片”解題目標(biāo)．

3.精心預(yù)設(shè)小結(jié)問題,引導(dǎo)學(xué)生回顧反思

專題教學(xué)課要留出時間進(jìn)行課堂小結(jié),教師在課前就要精心預(yù)設(shè)小結(jié)問題,小結(jié)問題可聚焦本課主題,從所學(xué)習(xí)題的題型、解法、關(guān)鍵步驟、易錯點等帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)．當(dāng)然,除了課前精心預(yù)設(shè)的小結(jié)問題之外,教師還可根據(jù)課堂生成進(jìn)行小結(jié),比如在課堂中有學(xué)生提出了一個精彩解法、獨特思路,超出了教師課前預(yù)設(shè),這時教師可以在小結(jié)時特別提出來,讓其他學(xué)生復(fù)述或?qū)W習(xí);再如,課堂解題進(jìn)程或板演中,出現(xiàn)一些典型錯漏,在小結(jié)時也可以進(jìn)行再回顧,引導(dǎo)學(xué)生注意汲取教訓(xùn)．