山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué)(271400) 張志剛

1 試題與解答

題目(2023 屆廣州市一模第12 題)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線, 它是1675年卡西尼研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的. 已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,M(-2,0),N(2,0), 動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|·|PN|=5,則下列結(jié)論正確的是( )

A. 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

B. |OP|的取值范圍是[1,3]

C. ΔPMN面積的最大值為

D. |PM|+|PN|的取值范圍是

本題通過(guò)創(chuàng)設(shè)科學(xué)的數(shù)學(xué)情境,考查曲線與方程相關(guān)的新定義問(wèn)題,考查學(xué)生在明晰卡西尼卵形線的幾何特征基礎(chǔ)上,利用坐標(biāo)法,建立平面直角坐標(biāo)系并求出其方程,然后通過(guò)方程探討它的幾何性質(zhì),并解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 背景揭示

本題命制背景是卡西尼卵形線. 我們知道,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,它們都是以幾何基本元素(點(diǎn))的相互關(guān)系為考察對(duì)象,以“距離”為紐帶,以“運(yùn)算”為方法,通過(guò)“運(yùn)算中的不變性”發(fā)現(xiàn)了曲線的幾何特征,給出定義. 那么,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么?

十七世紀(jì)八十年代,法國(guó)天文學(xué)家卡西尼(Cassini,1625-1712)在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)就提出了這個(gè)問(wèn)題.深入研究后,卡西尼發(fā)現(xiàn),到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卵形線[1],并把這兩個(gè)定點(diǎn)叫做卡西尼卵形線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做卡西尼卵形線的焦距. 如今,卡西尼卵形線在天文學(xué)、航空航天、電磁學(xué)等領(lǐng)域有廣泛而重要的應(yīng)用. 在數(shù)學(xué)中,卵形線也是解析幾何研究的一類重要曲線.

3 問(wèn)題拓展

3.1 范圍

3.2 卵半徑

3.3 焦點(diǎn)三角形

3.4 離心率

a和c是確定圓錐曲線的基本量,而二者之比即離心率則刻畫(huà)了圓錐曲線的扁平程度. 由卡西尼卵形線的定義可知,a和c也是確定卡西尼卵形線的基本量,我們不妨把稱作卡西尼卵形線的離心率,其大小是否也決定了卡西尼卵形線的形態(tài)呢? 我們首先通過(guò)GeoGebra 作圖,直觀感知參數(shù)的變化對(duì)曲線形狀、大小的影響.

如圖1 示, 固定c的取值, 隨著a從0 開(kāi)始逐漸增大, 卡西尼卵形線從兩定點(diǎn)(焦點(diǎn)F1、F2) (情形1)開(kāi)始生長(zhǎng),先是分開(kāi)的兩支封閉曲線(情形2),然后變?yōu)殡p紐線(情形3),再融合為一個(gè)曲線,而且此曲線由中部凹進(jìn)(情形4)到中部扁平(情形5)再到中部隆起(情形6),共六種不同形態(tài),詳見(jiàn)表1.

圖1

表1 e的取值決定卡西尼卵形線的形態(tài)

特殊的,當(dāng)e= 1 時(shí),卡西尼卵形線即為伯努利雙紐線,呈8 字形,它還是是圓的特殊變形,是橢圓的類比與拓展,是等軸雙曲線的特殊反演變化,溝通了各曲線之間的聯(lián)系.

借助卡西尼卵形線的方程,我們還可討論它的頂點(diǎn)、對(duì)稱性等幾何性質(zhì),不再贅述.

4 應(yīng)用強(qiáng)化

近年,以卡西尼卵形線為背景命制的試題頻頻在高考或模擬試題中亮相. 題目往往為客觀題壓軸題,側(cè)重考查卡西尼卵形線的對(duì)稱性、有界性、卵半徑、焦點(diǎn)三角形的面積等性質(zhì),承載信息豐富,解法靈動(dòng)多變,區(qū)分度較大,需綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式放縮等知識(shí)求解. 下面舉兩例說(shuō)明.

例2(蘇州高級(jí)中學(xué)八校聯(lián)盟2022-2023 學(xué)年高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)第11 題) 2022 年卡塔爾世界杯會(huì)徽(如圖2) 正視圖近似伯努利雙紐線. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 把到定點(diǎn)F1(-a,0),F2(a,0) 的距離之積等于常數(shù)a2(a＞0)的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C. 已知點(diǎn)P(x0,y0)是雙紐線C上一點(diǎn),下列說(shuō)法中正確的有( )

圖2

A. 雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱

C. 雙紐線C上滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)

D. |PO|的最大值是

解顯然, 本題中曲線C為伯努利雙紐線, 其方程為(x2+y2+a2)2=a4+ 4a2x2, 容易驗(yàn)證說(shuō)法A,B, D 是正確的. 對(duì)于選項(xiàng)C, 若|PF1| = |PF2|, 則點(diǎn)P(x0,y0) 在F1F2的垂直平分線x= 0 上, 聯(lián)立解得故曲線C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)(0,0)滿足|PF1| = |PF2|,說(shuō)法C是錯(cuò)誤的,故選ABD.

“現(xiàn)代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題,其本質(zhì)是通過(guò)幾何圖形建立直觀,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律.”[2]以上類比圓錐曲線的研究過(guò)程與經(jīng)驗(yàn),圍繞“以曲線的不變量表示幾何元素或幾何關(guān)系”的主題,以數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法為核心,經(jīng)歷“分析背景—探索幾何特征—選擇坐標(biāo)系、建立方程—通過(guò)方程研究幾何性質(zhì)”持續(xù)連貫的探索過(guò)程,完成了對(duì)卡西尼卵形線的再認(rèn)識(shí). 這樣的研究過(guò)程也表明,利用坐標(biāo)系建立曲線與方程的關(guān)系,是解析幾何的基礎(chǔ),而坐標(biāo)法是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn),是解決問(wèn)題的核心和紐帶,其處理方法具有程式化的統(tǒng)一性. 事實(shí)上,用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地看問(wèn)題,探尋簡(jiǎn)潔的解題方法并深入思考其原因,就是在解析幾何中發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措[3].