陳莉莉 李海軍

【摘 要】 ?“學(xué)生說題”促使學(xué)生暴露思維過程，是讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)的全過程中去的一種有效方式.通過同學(xué)間交流、教師點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升.在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，以“學(xué)生主體”為原則，從制定原則、制定計(jì)劃到“學(xué)生說題”說什么、怎么指導(dǎo)“學(xué)生說題”進(jìn)行說題的具體實(shí)施.并且從對(duì)實(shí)施的反思中提出了如何突破瓶頸.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué);傳統(tǒng)教學(xué)；學(xué)生說題；小組評(píng)價(jià)

在日常的教學(xué)過程中常常會(huì)碰到這樣的困惑：為什么有些類型的問題我們做過多次透徹的分析，同類型的問題也多次練習(xí)，可是有些同學(xué)還是表現(xiàn)出不理解，不明白其中緣由，下次稍作變動(dòng)，還是再錯(cuò).和學(xué)生交流，學(xué)生表示課堂上老師講的似乎都聽懂了，可一到自己做題時(shí)，尤其是有難度的題，就感覺束手無措，無從下手了.相反，那些在課堂上發(fā)表自己意見的同學(xué)，在考試時(shí)碰到類似的問題時(shí)，解題條理相對(duì)清晰多了.

在傳統(tǒng)的教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)知識(shí)的傳授→接受→反復(fù)訓(xùn)練→熟練掌握→領(lǐng)悟的單向發(fā)展過程.在這一過程中，學(xué)生總是被動(dòng)、機(jī)械地模仿，學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性，而被動(dòng)機(jī)械接受的方法往往很難提升學(xué)生學(xué)科思維品質(zhì).要提升學(xué)生的學(xué)科思維品質(zhì)，首先得要學(xué)生自愿、主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中去，以積極進(jìn)取的心態(tài)去構(gòu)建知識(shí)體系.而“學(xué)生說題”正是要求學(xué)生“學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)”的過程，也是讓學(xué)生體驗(yàn)自己做一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的過程.于是筆者嘗試用說題的方式去激活主體，暴露思維，提升品質(zhì).

1 ??“學(xué)生說題”的實(shí)施

“學(xué)生說題”并不是說不要老師的指導(dǎo)，相反對(duì)老師的指導(dǎo)提出了更高的要求，要求老師積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“說題”.為了“學(xué)生說題”能激活主體，暴露思維，體驗(yàn)成功，筆者分以下幾個(gè)步驟實(shí)施.

1.1 制定原則（1）全面參與原則

組織學(xué)生說題不能只為追求氣氛，應(yīng)根據(jù)不同層次的問題，選擇不同程度的學(xué)生全面參與進(jìn)來，使每個(gè)學(xué)生都能享受到成功的喜悅，共同提高［1］.（2）點(diǎn)評(píng)的激勵(lì)性和針對(duì)性原則學(xué)生說題并不像教師說題那樣嚴(yán)謹(jǐn)、精辟、全面，所以教師在學(xué)生說題后的點(diǎn)評(píng)必須及時(shí)，而且要盡量用肯定的、激勵(lì)的語(yǔ)言，增強(qiáng)學(xué)生說題的信心.同時(shí)點(diǎn)評(píng)要有針對(duì)性，使學(xué)生在說題的過程中有所收獲.

1.2 制定計(jì)劃“學(xué)生說題”要有目的、有計(jì)劃、有組織、有針對(duì)性地進(jìn)行，不能有隨意性、無的放矢，更忌備課不充分時(shí)讓學(xué)生課堂說題.于是筆者擬定了以下整體規(guī)劃：

（1）第一階段，讓成績(jī)較好、表達(dá)能力較強(qiáng)的同學(xué)說題，起著示范模仿的作用，目的是培養(yǎng)學(xué)生良好的思考問題的習(xí)慣和思維品質(zhì).（2）第二階段，分成若干個(gè)小組，使每位同學(xué)在小范圍內(nèi)嘗試說題.加強(qiáng)審題、說題訓(xùn)練，使絕大多數(shù)學(xué)生能快速理清條件、問題及其關(guān)系，準(zhǔn)確地找到題眼，逐步培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣.

（3）第三階段，把部分習(xí)題課適當(dāng)交給學(xué)生，要求學(xué)生把每天批好的作業(yè)中錯(cuò)誤的問題在小組內(nèi)消化解決，教師試圖從講評(píng)作業(yè)中解脫出來.

希望通過這三個(gè)階段的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獨(dú)立思考的習(xí)慣，提高學(xué)生的表達(dá)能力，形成自主合作式的探究性學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的反思意識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)能力.1.3 “學(xué)生說題”說什么“學(xué)生說題”的內(nèi)容是“學(xué)生說題”的核心所在，“學(xué)生帶著什么樣的教材走向教師”是教師激活主體，培養(yǎng)學(xué)生能力，提升學(xué)生思維品質(zhì)的保證.要想提高“學(xué)生說題”的有效性，教師必須對(duì)“學(xué)生說題”的內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì).

（1）說題目的條件，挖掘隱含條件就是要說清題目的已知條件和問題，要求學(xué)生找準(zhǔn)題眼和關(guān)鍵詞.尤其要讓學(xué)生學(xué)會(huì)排除干擾和挖掘題中隱含條件，通過挖掘“已知條件”和“隱含條件”來了解學(xué)生的思維偏差并幫助他們糾正偏差.

案例1 ?（找準(zhǔn)題眼，題目會(huì)說話）在 R 上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2－x），若f（x）在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，判斷f（x）在區(qū)間［－2，－1］和區(qū)間［3，4］上的單調(diào)性.

這是作業(yè)中的一個(gè)題目，只有近50%的同學(xué)做對(duì)，于是安排了一位中等程度的周同學(xué)說題.

S1：條件有（1）f（x）是偶函數(shù)；（2）f（x）=f（2－x）；（3）f（x）在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù).所求為判斷f（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性.由條件f（x）=f（2－x）得到圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，基于這個(gè)條件的考慮，把f（x）是偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，兩者一結(jié)合，可以作出如圖1所示的圖象.可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的周期為2.由圖象就不難得出答案.

師：反思這個(gè)題目，關(guān)鍵還是要找準(zhǔn)題眼：條件f（x）=f（2－x）暗示我們要用圖象的對(duì)稱來解決問題，正所謂“題目會(huì)說話”，只要用心去分析條件和所求，就能聽懂題目“說”的“話”.（2） 說解題的框架

這是說題的重點(diǎn)，是學(xué)生在認(rèn)真、仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙忣}后，在充分思考的基礎(chǔ)上，說出解題的大致思路，也就是解題的框架.這就像我們寫作時(shí)的提綱一樣重要.但是有很大一部分學(xué)生見到題就不假思索拿來就做，這樣的學(xué)生是把數(shù)學(xué)解題變成了體力勞動(dòng).感覺就像腳踩“西瓜皮”，最終解決了——運(yùn)氣；碰壁了——放棄！通過對(duì)“學(xué)生說題”中說題框架的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致地審題，認(rèn)真地思考從何處下手、向何方前進(jìn)的習(xí)慣.欲速則不達(dá)，磨刀不誤砍柴工，這一思維的習(xí)慣一定要慢慢培養(yǎng).

案例2 ?（草讀一遍別下筆，條件目標(biāo)需熟悉）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cosB=－ 5 13 ，cosC= 4 5 .

（1）求sinA的值；（2）設(shè)△ABC的面積S△ABC= 33 2 ，求邊a的長(zhǎng).

這是一次單元測(cè)試中的題目，很多同學(xué)在做第2問時(shí)花費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間，包括平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)還不錯(cuò)的同學(xué)考后都表示“算砸了”.還有部分同學(xué)算了半天也計(jì)算不出結(jié)果，最后心慌，放棄.其中高一（11）班的葉同學(xué)條理很清楚，便安排她備課說題.

S2：第2問同學(xué)們不難想到把△ABC的面積轉(zhuǎn)化為兩邊ac的乘積.要求邊a，怎么辦呢？根據(jù)方程思想，關(guān)鍵是要找到與邊a邊c這兩邊有關(guān)的另外一個(gè)等式.到哪里找這個(gè)等式呢？已知三角去求兩邊關(guān)系，想到用正弦定理得到.

這樣就不難得到解題的大致框架：第一步，轉(zhuǎn)化面積得到ac的關(guān)系式；第二步，通過正弦定理找邊a邊c的另一個(gè)關(guān)系式；第三步，聯(lián)立方程即可解出a.（板書解題過程）

師：這題其實(shí)并不難，可是為什么我們同學(xué)做得不是很好呢？因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)草草看一遍題目就去做題，結(jié)果越算心越慌，以致最終放棄.我們?cè)谧鲱}時(shí)要認(rèn)真分析條件和結(jié)論，把題目都分析透了，才能得到解題的框架，從而從容地解出這個(gè)題目.所以審題的慢，是為了后面答題的快！用學(xué)生的“嘴”說出老師所“想”，這就要求教師大膽地把課堂交給學(xué)生，聽學(xué)生所“思”，聽學(xué)生所“想”，從而無形中告訴同學(xué)們，其實(shí)你們也可以，你們也很棒?。?）說讀題后的直覺

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多問題求解思路的發(fā)現(xiàn)，往往是依靠數(shù)學(xué)直覺提供的猜想.直覺思維來自對(duì)已有成果的深刻認(rèn)識(shí)和冷靜審查，需要廣博的知識(shí)、敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、恰當(dāng)?shù)念惐取⒑侠淼难油匾约皹?biāo)新立異的勇氣和膽識(shí).在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)，做到將直覺與理性相結(jié)合，直觀地感知問題，理性地分析問題，最后科學(xué)地解決問題［2］.

案例3 ?（直覺引領(lǐng)，理性分析）在一次考試中有這樣一道題：若直線 x a + y b =1通過點(diǎn)M（cosα，sinα），則（ ?）.

A.a2+b2≤1 ??B.a2+b2≥1

C. 1 a2 + 1 b2 ≤1 ??D. 1 a2 + 1 b2 ≥1

本題的正確率不到30%，安排了班里數(shù)學(xué)比較好的朱同學(xué)來說這個(gè)題.

S3：這是選擇題的最后一題，很多同學(xué)一看這個(gè)題目就暗示自己“我做不出來的”，結(jié)果思考也變得不積極.其實(shí)看到條件M（cosα，sinα），直覺告訴我點(diǎn)M（cosα，sinα）的坐標(biāo)與單位圓有關(guān).沿著這條思路往下想，點(diǎn)M在單位圓x2+y2=1上.直線 x a + y b =1通過點(diǎn)M（cosα，sinα），就可以轉(zhuǎn)化為直線 x a + y b =1和圓x2+y2=1有公共點(diǎn).所以圓心到直線的距離小于或等于半徑，即得到： 1 ???1 a ?2+ ?1 b ?2 ?≤1.整理可得到： 1 a2 + 1 b2 ≥1.

數(shù)學(xué)直覺不受邏輯思維的約束與限制，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無限擴(kuò)展，具有反常規(guī)的獨(dú)創(chuàng)性.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要對(duì)數(shù)學(xué)直覺加以滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究能力.引導(dǎo)學(xué)生在反思的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理性地分析［2］.（4）說解題的“錯(cuò)因”學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)自主構(gòu)建自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解的過程.他們帶著自己原有的知識(shí)背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解走進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并通過自己的主動(dòng)活動(dòng)，包括獨(dú)立思考、與他人交流和反思等，去建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的理解［3］.因此，學(xué)生答錯(cuò)了也不見得是件不好的事，錯(cuò)誤不過是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所做的某種嘗試，是非常正常的.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)去發(fā)現(xiàn)、表達(dá)、糾正，從而使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí).

案例4 ?（失敗乃成功之母）已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有 Sn Tn = 2n 3n+2 ，則 a6 b6 = ????.這是一次限時(shí)訓(xùn)練中的一道題，有近25%的同學(xué)答案是 2 3 ，于是我安排了其中一位張同學(xué)來說說她解這道題的心路歷程.

S4：我當(dāng)時(shí)是這樣解決的：因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和都是關(guān)于n的二次函數(shù)且都沒有常數(shù)項(xiàng)，而且題目條件中是一個(gè)比值形式，所以我想當(dāng)然地認(rèn)為n約掉，于是我便設(shè)Sn=2nk，Tn=（3n+2）k，則a6=S6－S5=2k，b6=T6－T5=3k，所以 a6 b6 = 2 3 .老師安排我說題，我去問了答案同樣是 2 3 的幾個(gè)同學(xué)，她們的解答過程和我類似， a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×6－2×5 3×6+2－3×5－2 = 2 3 .

我調(diào)查了一下班里我們這樣做的同學(xué)有16人.這樣做錯(cuò)在哪里呢？我們先來看正確的解法：設(shè)Sn=2n2k，Tn=（3n+2）nk，

a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×62k－2×52k （3×6+2）×6k－（3×5+2）×5k = 22k 35k = 22 35 .我們看到了，其實(shí)a6=S6－S5，S6中的n為6，S5中的n為5，其實(shí)是不能提出公共的n的，也就不能約了，這就是錯(cuò)因所在.和我一樣的同學(xué)要注意了，做題不能太想當(dāng)然.師：反思這一題目，我有兩點(diǎn)感想：（1）做題不能想當(dāng)然，要仔細(xì)深入地思考；（2）做錯(cuò)之后的反思很重要.我想同學(xué)們做錯(cuò)題目時(shí)要多思考，才不至于在同一個(gè)地方摔跤.“失敗是成功之母”，只有反思失敗，失敗才能成為成功“之母”.

只有讓學(xué)生大膽說出自己的想法，教師才能發(fā)現(xiàn)他們錯(cuò)誤的根源所在，教學(xué)才能有的放矢.事實(shí)上做錯(cuò)了不要緊，重要的是讓學(xué)生知道自己錯(cuò)在哪里，并且糾正這種錯(cuò)誤［4］.

（5）說題目的變式學(xué)生說題目變式的過程，既是應(yīng)用知識(shí)的過程，同時(shí)也是認(rèn)識(shí)產(chǎn)生飛躍的過程.這一環(huán)節(jié)給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力.所以這一環(huán)節(jié)的展示意味著學(xué)生的說題已有較高的水平.筆者認(rèn)為對(duì)于一些表達(dá)能力好、基本功扎實(shí)的學(xué)生，老師也可以放手嘗試.雖然不是每一次嘗試都能成功，但經(jīng)過這樣的嘗試，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和對(duì)知識(shí)的遷移能力一定會(huì)越來越出色. 案例5 ?已知定點(diǎn)A（1，－3），點(diǎn)P為圓C：（x－3）2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求點(diǎn)P與定點(diǎn)A的距離的最大值；

（2）求點(diǎn)P到直線x－y+5=0的距離的最小值；

（3）求直線AP的斜率的最小值.

這是在講直線和圓的位置關(guān)系中的一個(gè)作業(yè)題，同學(xué)們的答題情況整體不錯(cuò).筆者認(rèn)為此題還有點(diǎn)意猶未盡，于是安排了班里思維活躍的陳同學(xué)說說對(duì)這道題的想法，可不可以有一些變式.下面選取他說題的片段：

S5：我把題目條件改成已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x－3）2+y2=4.其本質(zhì)和原題的條件是一樣的.再把（1）求點(diǎn)P與定點(diǎn)A的距離的最大值改成：求（x－1）2+（y+3）2的最大值；把（3）求直線AP的斜率的最小值改成求 y+3 x－1 的最小值.這兩題的改編應(yīng)該不難，這樣一改以后，就變成了一個(gè)純代數(shù)問題.關(guān)于第2題的改編我費(fèi)了一番腦筋.把（2）變成求 x－y+5 的最小值.

雖然我只是在語(yǔ)言上給予了翻譯，把幾何語(yǔ)言翻譯成了代數(shù)語(yǔ)言，但是正是這種簡(jiǎn)單的翻譯使我明白一個(gè)道理：數(shù)形其實(shí)是不分家的.老師平時(shí)經(jīng)常強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，要能夠很好地?cái)?shù)形結(jié)合關(guān)鍵還是要學(xué)會(huì)翻譯.就像用形來解決數(shù)的問題，要找到式子的幾何意義一樣.

如果學(xué)生能對(duì)題目中的條件分析、變式與引申，由學(xué)生說出本質(zhì)的異同，是提高學(xué)生分析問題、解決問題的好途徑.

2 ??“學(xué)生說題”教師要思考的幾個(gè)問題

適合學(xué)生的才是最好的，“學(xué)生說題”也是如此.為了使說題能順利開展，安排學(xué)生說題前教師必須思考的幾個(gè)問題：

（1）選什么題

說題不能搞題海戰(zhàn)術(shù)，見一題說一題，要選擇有代表性、針對(duì)性的題目.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇不同的題型，但一般要選擇有思維含量的習(xí)題.

（2）怎樣讓學(xué)生說

教師可以在前一天布置一些思維含量較高的題目，然后第二天在上課前讓學(xué)生給老師演示說題.如果教師一開始就放手讓學(xué)生說題，學(xué)生往往會(huì)冷場(chǎng)，造成既浪費(fèi)時(shí)間，又嚴(yán)重挫傷學(xué)生的自信心.所以在說題開始時(shí)，應(yīng)選一些基礎(chǔ)的、簡(jiǎn)單的題目，在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生說.

（3）讓怎樣的學(xué)生說

說題前要進(jìn)行摸底，因?yàn)槿绻婚_始就讓一些基礎(chǔ)差、表達(dá)能力弱的同學(xué)說題往往會(huì)事倍功半，所以一開始教師可以讓基本功扎實(shí)、語(yǔ)言表達(dá)能力強(qiáng)的學(xué)生來說題，增強(qiáng)學(xué)生的自信心.再慢慢以點(diǎn)帶面，保證人人參與.一旦絕大多數(shù)學(xué)生都適應(yīng)了這樣的學(xué)習(xí)氛圍，就預(yù)示著“學(xué)生說題”取得了成功.

（4）什么時(shí)候說

一開始可以讓學(xué)生對(duì)著老師進(jìn)行預(yù)演說題，教師進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)評(píng)并給予一定的建議，然后說得比較好時(shí)，可以讓其在課堂的講臺(tái)前“當(dāng)老師”，給同學(xué)進(jìn)行分析講解，讓其體驗(yàn)成功的喜悅.

（5）說多長(zhǎng)時(shí)間以及多少人說

實(shí)施初期，可以在課堂5分鐘左右讓學(xué)生說題，2-3人說，如果實(shí)施較好可以在習(xí)題課或復(fù)習(xí)課多讓學(xué)生說，還可以讓學(xué)生即興說題，說錯(cuò)時(shí)教師及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥.“學(xué)生說題”要逐步深入、螺旋上升.切忌急于求成，一蹴而就.要盡量從學(xué)生的認(rèn)知水準(zhǔn)出發(fā)，選一些思維含量相對(duì)較高的題目讓學(xué)生進(jìn)行展示.

3 ??“學(xué)生說題”的瓶頸

在實(shí)施“學(xué)生說題”的過程中，特別是即興說題的課堂，那些學(xué)習(xí)能力相對(duì)薄弱的同學(xué)表現(xiàn)得雖然和開始相比積極了些，但還是不能成為主角.特別是要求說題目變式時(shí)，他們的思維更是像受到了禁錮一般打不開.其次，在“學(xué)生說題”實(shí)現(xiàn)到一定階段時(shí)，筆者想放手大部分錯(cuò)誤不是特別集中的作業(yè)的講評(píng)，把訂正作業(yè)交給每個(gè)小組，但是一旦失去了教師的檢查，有些小組的“說題”就不能像在課堂里那樣認(rèn)真對(duì)待，作業(yè)的訂正在個(gè)別小組就打了折扣.針對(duì)以上兩個(gè)方面，筆者想先在小組學(xué)習(xí)上深入研究，借鑒其他成功的案例，做出有效的小組評(píng)價(jià).

“學(xué)生說題”就是在學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真、仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙忣}后，在充分思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生把審題、分析、解答以及對(duì)習(xí)題的變式、拓展按一定準(zhǔn)則說出來，能讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)的全過程中去，促使學(xué)生暴露整個(gè)思維過程，然后通過同學(xué)間交流、教師點(diǎn)評(píng)，自我反思來提升思維品質(zhì)，可以改變學(xué)生只聽老師講的被動(dòng)的學(xué)習(xí)局面，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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［2］ ?范金泉．例說數(shù)學(xué)直覺的養(yǎng)成與運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（11）：8-10.

［3］ ?李學(xué)平.倡導(dǎo)猜想 促進(jìn)創(chuàng)新[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（07）：58-59.

［4］ ?汪志強(qiáng).如何“說題”，數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)才更有效[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（12）：31-33.

作者簡(jiǎn)介 ?陳莉莉（1981—），女，吉林白城市人，中學(xué)一級(jí)教師;研究方向是高中數(shù)學(xué)教育教學(xué);發(fā)表論文多篇.李海軍（1978—），男，吉林鎮(zhèn)賚縣人，中學(xué)高級(jí)教師;研究方向是高中數(shù)學(xué)教學(xué).