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對(duì)2023年高考一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的思考

2023-08-11 11:19李昭平陳俊國
關(guān)鍵詞:安慶市充分條件極大值

李昭平 陳俊國

【摘 要】 ?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍問題一直是高考考查的熱點(diǎn)題型, 并常常居于壓軸題的位置. 現(xiàn)對(duì)2023年高考一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行思考,通過試題分析、提煉結(jié)論、運(yùn)用升華來強(qiáng)化理解、拓展思維、發(fā)展能力.

【關(guān)鍵詞】 ?2023高考題;簡捷解法;總結(jié)規(guī)律;學(xué)以致用

1 ??試題分析

(1)證明:當(dāng)0

(2)已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2).若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2023年全國新高考Ⅱ卷第22題)

本題第(1)問利用兩次構(gòu)造函數(shù),通過研究新函數(shù)的單調(diào)性獲證,為第(2)問準(zhǔn)備,比較常規(guī). 第(2)問則是“函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2)在x=0為極大值點(diǎn)的條件下,求實(shí)數(shù)a的取值范圍”,跳出了常見的復(fù)合型函數(shù),而以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式出現(xiàn),給人以耳目一新之感. 由于含有三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜,且f′(0)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立,導(dǎo)函數(shù)符號(hào)難以判斷,參變分離法、一分為二法都失效,絕大部分學(xué)生解題陷入困境.

計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn),f′(0)=0,加上條件“在x=0附近的左側(cè),f′(x)>0;在x=0附近的右側(cè),f′(x)<0”,數(shù)形結(jié)合可知必有f″(0)≤0. 由此出發(fā)獲得下述簡捷解法,稱之為過定點(diǎn)法(數(shù)形結(jié)合法):

因?yàn)閒′(x)= 2x 1-x2 -asinax,所以f′(0)=0. 又因?yàn)閤=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),所以在x=0附近的左側(cè),f′(x)>0;在x=0附近的右側(cè),f′(x)<0. 數(shù)形結(jié)合可知必有f″(0)≤0. 因?yàn)閒″(x)= 2x2+2 (1-x2)2 -a2cosax,所以f″(0)=2-a2≤0,a≤- 2 或a≥ 2 .

①當(dāng)a=± 2 時(shí),f′(x)= 2x 1-x2 - 2 sin 2 x.由第(1)問的結(jié)論知,當(dāng)0-2x.

于是f′(x)= 2x 1-x2 - 2 sin 2 x> 2x 1-x2 -2x=2x ?1 1-x2 -1 >0,f(x)在 0, ?2 ?2 ?內(nèi)單增,這與x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)矛盾,所以a≠± 2 .

②當(dāng)a<- 2 或a> 2 時(shí),f″(0)<0. 由于f″(x)= 2x2+2 (1-x2)2 -a2cosax在x=0附近連續(xù),所以存在δ∈(0,1),使得當(dāng)x∈(-δ,δ)時(shí), f″(x)<0.

當(dāng)x∈(-δ,0)時(shí),f′(x)>f′(0)=0;當(dāng)x∈(0,δ)時(shí),f′(x)

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞).

2 ??提煉結(jié)論

對(duì)于某些函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值或恒成立不等式中的參數(shù)范圍問題,若函數(shù)f(x)(或f′(x),f″(x)等)滿足f(m)=0(或f′(m)=0,f″(m)=0等),即函數(shù)f(x)(或f′(x),f″(x)等)的圖象恒過x軸上的定點(diǎn)(m,0),再利用其他條件往往可以數(shù)形結(jié)合確定f′(m)(或f″(m),f″′(m)等)的符號(hào)(非負(fù)或非正),由此來確定參數(shù)a的取值范圍(必要條件),然后驗(yàn)證這個(gè)“必要條件”也是“充分條件”或驗(yàn)證這個(gè)“必要條件的一個(gè)子集”是“充分條件”,如此就會(huì)避免一些繁雜的運(yùn)算和討論,快速實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo). 我們常常戲稱此為“函數(shù)具有過定點(diǎn)(m,0)情結(jié)”,利用這種解題思路,具有較高的思維價(jià)值、實(shí)用價(jià)值和速度價(jià)值[1].

3 ??運(yùn)用升華 3.1 處理函數(shù)的單調(diào)性問題

例1 ?(2016全國Ⅰ卷第12題)若函數(shù)f(x)=x- 1 3 sin2x+asinx在(-∞,+∞)

內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ?).

A.[-1,1] ???B. -1, 1 3

C. - 1 3 , 1 3 ??D. -1,- 1 3 ??解析 ?因?yàn)閒(0)=0,且在(-∞,+∞)內(nèi)f(x)單調(diào)遞增,所以f′(0)≥0.

f′(x)=1- 2 3 cos2x+acosx,f′(0)=1- 2 3 +a≥0,a≥- 1 3 .立即排除A,B,D,故選C.

注 ?利用函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,0),f(0)=0,f′(0)≥0, 這比解恒成立不等式“f′(x)=1- 2 3 cos2x+acosx≥0”求參數(shù)a的范圍簡單得多. 例2 ?(2023年南昌市??碱})若函數(shù)f(x)=x+ π 2 - 1 3 sin2x+acosx在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ?).

A.[-2,2] ????B. -2, 4 3

C. - 4 3 , 4 3 ??D. -2,- 4 3

解析 ?f′(x)=1- 2 3 cos2x-asinx.因?yàn)閒(- π 2 )=0,且在(-∞,+∞)內(nèi)f(x)單調(diào)遞增,所以f′(- π 2 )≥0, 即1+ 2 3 +a≥0,a≥- 5 3 .立即排除A,B,D,故選C.

注 ?利用函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(- π 2 ,0)情結(jié),f(- π 2 )=0,f′(- π 2 )≥0, 這比解恒成立不等式“f′(x)=1- 2 3 cos2x-asinx≥0”求參數(shù)a的范圍簡單得多.3.2 處理函數(shù)的極值問題

例3 ?(2022年武漢市??碱})設(shè)函數(shù)f(x)=(2+ax)ln(1+x)-2x(a∈ R ).

(1)令g(x)=f′(x),試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;(2)若x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),求a的取值范圍.

解析 ?(1)略去;

(2)易知g(0)=0,且由題意知, 在x=0附近的左側(cè),g(x)<0;在x=0附近的右側(cè),g(x)>0. 所以g′(0)≥0.

因?yàn)間(x)=aln(1+x)+ (a-2)x 1+x ,g′(x)= a 1+x + a-2 (1+x)2 = ax+2a-2 (1+x)2 .所以g′(0)= 0+2a-2 (1+0)2 ≥0,解得a≥1.

①當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=g(x)=ln(1+x)- x 1+x .

由lnx≤x-1得,ln 1 1+x ≤ 1 1+x -1,ln(1+x)≥ x 1+x ,所以f′(x)≥0.顯然x=0不是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),因此a≠1.

②當(dāng)a>1時(shí),g′(0)>0. 由于g′(x)= ax+2a-2 (1+x)2 在x=0附近連續(xù),所以存在δ∈(0,1),使得當(dāng)x∈(-δ,δ)時(shí), g′(x)>0,當(dāng)x∈(-δ,0)時(shí),g(x)g(0)=0, 滿足x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).

注 ?利用函數(shù)g(x)(f′(x))過定點(diǎn)(0,0)情結(jié),g(0)=0(f′(0)=0),g′(0)≥0(f″(0)≥0),且a>1是充分條件. 例4 ?(2023年石家莊市質(zhì)檢題)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈ R .

(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求a的取值范圍.

解析 ?(1)略去;(2)f′(x)=lnx+1-2ax+(2a-1)=lnx-2a(x-1).

因?yàn)閒′(1)=0,函數(shù)f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且由題知在x=1附近的左側(cè)f′(x)>0,在x=1附近的右側(cè)f′(x)<0,所以f″(1)≤0,即1-2a≤0,a≥ 1 2 .

①當(dāng)a= 1 2 時(shí),f′(x)=lnx-(x-1)≤0. f(x)在x=1處沒有極大值,因此a≠ 1 2 .

②當(dāng)a> 1 2 時(shí),f″(1)<0.由于f″(x)= 1 x -2a在x=1附近連續(xù),所以存在δ∈(0,1),使得當(dāng)x∈(1-δ,1+δ)時(shí),f″(x)<0.

當(dāng)x∈(1-δ,1)時(shí),f′(x)>f′(1)=0;當(dāng)x∈(1,1+δ)時(shí),f′(x)

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?1 2 ,+∞ .

注 ?利用函數(shù)f′(x)過定點(diǎn)(1,0),f′(1)=0,f″(1)≤0,且a> 1 2 是充分條件.3.3 處理恒成立不等式問題

例5 ?(2023年蘇州市??碱})已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)- ax x+2 .若x≥0時(shí),f(x)≥0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?????.

解析 ??因?yàn)閒(0)=0,且x≥0時(shí),f(x)≥0,所以f′(0)≥0.

f′(x)= (x+2)2-2a(x+1) (x+1)(x+2)2 ,f′(0)= 4-2a 4 ≥0,a≤2.

此時(shí)f′(x)= (x+2)2-2a(x+1) (x+1)(x+2)2 ≥ (x+2)2-4(x+1) (x+1)(x+2)2 = x2 (x+1)(x+2)2 ≥0.f(x)在x≥0時(shí)單增,因此f(x)≥f(0)=0,滿足條件.故a的取值范圍是(-∞,2].

注 ?本題是常見的分式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合型函數(shù),考查學(xué)生熟悉的恒成立不等式問題. 學(xué)生往往運(yùn)用參變分離法或一分為二法處理,其實(shí)這兩種解法都比較復(fù)雜. 利用函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,0)情結(jié),f(0)=0,f′(0)≥0,且a≤2也是充分條件,簡單快捷. 對(duì)于選擇題和填空題我們還是倡導(dǎo)小題小做.

例6 ?(2023年皖江聯(lián)盟聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=a x- 1 x ?-lnx,其中a∈ R . 若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?????.

解析 ??f′(x)=a(1+ 1 x2 )- 1 x = ax2-x+a x2 ,x>1.因?yàn)閒(1)=0,函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,所以f′(1)≥0,即2a-1≥0,a≥ 1 2 .此時(shí)f′(x)= ax2-x+a x2 ≥ ?1 2 x2-x+ 1 2 ?x2 = (x-1)2 2x2 >0,f(x)在(1,+∞)內(nèi)單增.

因此當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1)=0,滿足條件. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?1 2 ,+∞ .

注 ?利用函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(1,0),f(1)=0, f′(1)≥0,且a≥ 1 2 也是充分條件. 例7 ?(2022年哈師大附中高三診斷)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),其中a∈ R . (1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

解析 ??(1)略去;

(2)f′(x)=lnx+1+ 1 x -a,x>0. 因?yàn)閒(1)=0,函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,所以f′(1)≥0,即2-a≥0,a≤2.

因?yàn)閒″(x)= 1 x - 1 x2 = x-1 x2 >0,顯然f′(x)在(1,+∞)內(nèi)單增. 所以當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>f′(1)≥0,即f(x)在(1,+∞)內(nèi)單增,因此f(x)>f(1)=0恒成立,滿足條件.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].

注 ?利用函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(1,0)情結(jié),f(1)=0,f′(1)≥0,且a≤2也是充分條件.

例8 ?(2023年合肥市模考題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-lnx,其中a∈ R . 試確定a的所有可能取值,使得f(x)> 1 x -e1-x+a在區(qū)間x∈(1,+∞)內(nèi)恒成立(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解析 ?原不等式等價(jià)于f(x)- 1 x +e1-x-a>0在x∈(1,+∞)內(nèi)恒成立.

令g(x)=f(x)- 1 x +e1-x-a=ax2-lnx- 1 x +e1-x-a. 只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可.因?yàn)間(1)=0,且x∈(1,+∞)時(shí),g(x)>0恒成立, 所以g′(1)≥0.

由g′(x)=2ax- 1 x + 1 x2 -e1-x得,g′(1)=2a-1+1-1=2a-1≥0,a≥ 1 2 .(法1)此時(shí),g″(x)=2a+ 1 x2 - 2 x3 +e1-x≥1+ 1 x2 - 2 x3 +e1-x= x3+x-2 x3 +e1-x.

因?yàn)閤∈(1,+∞),所以x3+x-2>0.又e1-x>0,所以g″(x)在a≥ 1 2 時(shí)恒大于0.

所以當(dāng)a≥ 1 2 時(shí),g′(x)在x∈(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g′(x)>g′(1)=2a-1≥0, g(x)在x∈(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 所以g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)內(nèi)恒大于0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?1 2 ,+∞ .

(法2)g′(x)=2ax- 1 x + 1 x2 -e1-x≥x-

1 x + 1 x2 - 1 x-1+1 =x- 2 x + 1 x2 = x3-2x+1 x2 = (x-1)(x2+x-1) x2 >0,以下同法1.

注 ?利用函數(shù)g(x)過定點(diǎn)(1,0)情結(jié),g(1)=0,g′(1)≥0,且a≥ 1 2 也是充分條件.

不難發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)新高考正在加大對(duì)學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力和推理能力的考查力度,在高度上、深度上、廣度上抬高了標(biāo)桿. 這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的重要地位,又體現(xiàn)了時(shí)代對(duì)優(yōu)秀人才的需求. 因此,對(duì)于一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考題或好??碱},教師要學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)發(fā)掘、學(xué)會(huì)研究, 溝通聯(lián)系、變式探究、深化思維、提煉規(guī)律,并在課堂教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用,不斷提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].

參考文獻(xiàn)

[1] ?李昭平.函數(shù)搭臺(tái) 導(dǎo)數(shù)唱戲[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2020(03): 31-34.

[2] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

作者簡介 ?李昭平(1963—),中學(xué)正高級(jí)教師(3級(jí)), 安徽省數(shù)學(xué)特級(jí)教師;安慶市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)副理事長,安慶市城鎮(zhèn)卓越理科班導(dǎo)師;曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、安慶市先進(jìn)教研個(gè)人、安慶市名師、市優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào),2006年、2014年、2020年獲安慶市市長獎(jiǎng),享受安徽省人民政府特殊津貼,2019年被評(píng)為安慶市首屆科技英才;發(fā)表教育教學(xué)論文570余篇,在省內(nèi)外進(jìn)行名師交流講座190多場(chǎng).

陳俊國(1986—),中學(xué)一級(jí)教師;安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人,多次獲省市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽等級(jí)獎(jiǎng);發(fā)表教育教學(xué)論文20余篇.

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