翟玉曉　張瑞明　劉越　張建鵬　楊嘉鵬

關(guān)鍵詞：自動(dòng)控制原理；Matlab；仿真手段；分析系統(tǒng)；應(yīng)用型本科

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）20-0160-04

0 引言

近些年，隨著數(shù)字化和智能化在各行各業(yè)中的蓬勃發(fā)展，自動(dòng)控制原理這門課程越來越被重視，已逐步演變?yōu)橐婚T公共基礎(chǔ)課。自動(dòng)控制原理這門課程主要講述了分析和校正系統(tǒng)的方法和手段[1]。通過運(yùn)用這些方法和手段，人們可以使系統(tǒng)按照自己預(yù)先設(shè)定的規(guī)律運(yùn)行。但是應(yīng)用這些方法對系統(tǒng)展開分析時(shí)，需要高等數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)和電路等課程作為先驗(yàn)知識[2-3]。同時(shí)整個(gè)理論體系適用的范圍是所有的線性定常系統(tǒng)，這就使得本門課在學(xué)習(xí)起來內(nèi)容龐雜、晦澀難懂。

通過對課程內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知程度和接收效果進(jìn)行反思、分析和調(diào)查，學(xué)生對于日常生活中實(shí)體設(shè)備的學(xué)習(xí)和應(yīng)用掌握得都比較好。對于自己動(dòng)手探索和驗(yàn)證過的知識有同樣的接收效果。相反，對于像自動(dòng)控制原理這類理論性較強(qiáng)，主要以灌輸式、板書和多媒體教學(xué)方式為主的課程，學(xué)生的接收效果就參差不齊[4-5]。造成這種現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生抽象思維能力有強(qiáng)有弱。每個(gè)學(xué)生的抽象思維能力都不盡相同且不可在短時(shí)間內(nèi)被訓(xùn)練，這就使得學(xué)生對于理論性較強(qiáng)課程的接收效果不好，差別很大。

鑒于實(shí)驗(yàn)和實(shí)體設(shè)備良好的教學(xué)效果，擬將Mat? lab引入自動(dòng)控制原理的教學(xué)環(huán)節(jié)中。通過Matlab仿真的加入和各個(gè)章節(jié)的重新設(shè)計(jì)，使原本抽象復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容變得簡單起來[6]。Matlab的加入也極大地激發(fā)了學(xué)生的探知欲，培養(yǎng)了學(xué)生自我動(dòng)手的能力和相互協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神。在學(xué)習(xí)過程中，小組成員之間的討論和探討，也有助于學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和獨(dú)立思考能力。

1 自動(dòng)控制原理教學(xué)特點(diǎn)

自動(dòng)控制原理所能解決的系統(tǒng)為單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，而要研究所有的線性定常系統(tǒng)，探求它們的共性，提出適用于所有系統(tǒng)的一般性理論，就需要對系統(tǒng)進(jìn)行抽象，在數(shù)學(xué)層面上討論控制問題。因?yàn)闆]用唯一確定的實(shí)際系統(tǒng)作為參照，感覺系統(tǒng)分析一直在進(jìn)行數(shù)學(xué)變換和方程求解。整個(gè)分析過程不像處理系統(tǒng)問題，反而像解決數(shù)學(xué)問題。

基于自動(dòng)控制原理的上述特點(diǎn)，老師在進(jìn)行授課時(shí)往往會(huì)選擇板書和多媒體并行的授課方式[7]。板書可以對一些比較復(fù)雜的公式進(jìn)行推導(dǎo)，而多媒體則能形象地展示整個(gè)控制過程。以上這種教學(xué)方式在一定程度上改善了教學(xué)效果。特別是對數(shù)學(xué)功底和抽象思維能力較好的同學(xué)，而對其他同學(xué)效果并不是很明顯。

對于教學(xué)中遇到的這些問題，本文在原有的基礎(chǔ)上做了針對性改進(jìn)。將學(xué)生熟知的系統(tǒng)和一些簡易的工程案例引入自動(dòng)控制原理的日常教學(xué)中。同時(shí)，在課后還輔助了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證理論的有效性。教學(xué)加實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)，在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和理解相關(guān)的理論知識。但是在這一過程中，也伴隨著一些問題。比如可以作為教學(xué)的工程案例較少，很多教師缺少實(shí)際工程的經(jīng)驗(yàn)，能夠列舉的案例有限；常規(guī)的實(shí)驗(yàn)箱，設(shè)備老舊且元件參數(shù)不穩(wěn)定，很難調(diào)整到需要的參數(shù)[8-9]；實(shí)驗(yàn)課程和理論課程在一定程度上是脫離的，只是就理論而理論，就實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)，沒有很好地將二者結(jié)合起來。

2 Matlab 在自動(dòng)控制原理課程中的應(yīng)用

Matlab作為一款計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件，除了友好的編程環(huán)境外，還提供了矩陣計(jì)算、圖形繪制、數(shù)據(jù)分析和系統(tǒng)控制等強(qiáng)大的功能。通過這些功能，可以輕松地將原本抽象的內(nèi)容以圖形的形式直觀地呈現(xiàn)出來，很容易做到計(jì)算結(jié)果的可視化[10-11]。友好的編程環(huán)境和高級的編程語言，不需要學(xué)生再編寫底層代碼，只需要了解每個(gè)函數(shù)參數(shù)的意義就可以直接進(jìn)行調(diào)用，極大地降低了編程難度。同時(shí)，Matlab中所搭載的Simulink庫為系統(tǒng)仿真提供了模塊化的編程[12]。學(xué)生只需要按給定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行搭建，并鍵入相應(yīng)的傳遞函數(shù)就能得到所給系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

鑒于該課程的特點(diǎn)和Matlab的優(yōu)勢，可以將二者有機(jī)地整合起來。依據(jù)每一章分析和校正系統(tǒng)特點(diǎn)，進(jìn)行一個(gè)全新的設(shè)計(jì)，使其滿足每一章的教學(xué)要求。

2.1 Matlab 在時(shí)域分析法中的應(yīng)用

時(shí)域分析法是通過觀察系統(tǒng)輸出響應(yīng)跟隨單位階躍響應(yīng)變化，進(jìn)而分析該系統(tǒng)穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性的一種方法。

在對系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，由于一階系統(tǒng)只有一個(gè)參數(shù)—時(shí)間常數(shù)T，且該系統(tǒng)傳遞函數(shù)較為簡單，可以很容易進(jìn)行求解，因此不存在多大困難。但是對于二階系統(tǒng)，其涉及兩個(gè)重要參數(shù)—阻尼比ζ 和無阻尼自然振蕩頻率?n。此時(shí)就需要固定?n，對ζ 進(jìn)行獨(dú)立分析。由于ζ 變化會(huì)引起二階系統(tǒng)特征根的變化，特征根的變化又會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能的改變。因此，對二階系統(tǒng)性能的分析可以設(shè)計(jì)為簡要介紹加學(xué)生自主探索的模式。在這一模式下，教師只需簡要介紹二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和影響系統(tǒng)性能的因素。至于如何影響，則全由學(xué)生獨(dú)立去探索。

假設(shè)有一個(gè)二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)如式1所示。令ζ 分別等于2、1、0.75、0.5、0.2和0，試分析在單位階躍響應(yīng)下ζ 對二階系統(tǒng)性能的影響。

對于上述問題的探究，可以借助Matlab中搭載的Simulink。利用Simulink庫中提供的模塊可以構(gòu)建系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的輸出則可通過示波器模塊進(jìn)行觀察。對于上述系統(tǒng)，其Simulink結(jié)構(gòu)如圖1所示，示波器的輸出結(jié)果如圖2所示。除此之外，還可以借助編程手段對該問題進(jìn)行探究，具體程序如下，其輸出響應(yīng)曲線如圖3所示。

由圖2和圖3可知，隨著ζ 的逐步減小，二階系統(tǒng)的上升時(shí)間tr在縮短，超調(diào)量6% 在增加，即系統(tǒng)的快速性在變好，穩(wěn)定性在變差。通過對比發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性是一對不可調(diào)和的矛盾。要想提升其中一個(gè)的性能，必然要犧牲另一個(gè)的部分性能。

除此之外，隨著ζ=2逐步減小到ζ=0，二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性從較好變成了不穩(wěn)定。對于線性定長系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的特征根之間息息相關(guān)。因此，可以借助Matlab中求根函數(shù)和零極點(diǎn)標(biāo)注函數(shù)探索系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。

通過求解，每個(gè)ζ對應(yīng)的特征根如表1所示，零極點(diǎn)標(biāo)注如圖4所示。

由表1可知，ζ 由2變化到-0.2的過程中，二階系統(tǒng)的兩個(gè)特征根從剛開始的小于0變?yōu)榇笥诹悖袑?shí)根也有復(fù)根。從圖4根的分布來看，二階系統(tǒng)的根則從一對不相等的負(fù)實(shí)根到一對相等的負(fù)實(shí)根，再到一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，一對純虛根，最終變成一對實(shí)部為正的復(fù)根。而在這一變化過程中，系統(tǒng)也從穩(wěn)定變?yōu)榱伺R界穩(wěn)定直至最后的不穩(wěn)定。

結(jié)合系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線、系統(tǒng)特征根和系統(tǒng)零極點(diǎn)的分布，不難得出如下結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)特征根小于零時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)特征根為純虛根時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)特征根大于零時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

盡管以上只給出了一個(gè)系統(tǒng)的根和其穩(wěn)定性的關(guān)系，單一系統(tǒng)也無法替代所有的線性定常系統(tǒng)。但整個(gè)探尋過程給學(xué)生提供了一種思考和解決問題的思路。學(xué)生可以以此對不同階次的系統(tǒng)展開討論，判斷上述結(jié)論是否對高階系統(tǒng)也同樣成立。

通過上述實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對二階系統(tǒng)阻尼比ζ 如何影響系統(tǒng)性能有了一個(gè)直觀的認(rèn)識。對根的分布情況和系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系也有了一定的了解。緊接著授課教師就可以帶領(lǐng)大家，從數(shù)學(xué)層面去揭秘它們的關(guān)系。從整個(gè)教學(xué)過程看，新的教學(xué)方法立足于學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，做到了以學(xué)生為中心。打破了之前直接灌輸式的教學(xué)方式，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、編程能力，還教會(huì)了學(xué)生看待問題和處理問題的方法，提升了教學(xué)質(zhì)量。

2.2 Matlab 在根軌跡分析法中的應(yīng)用

根軌跡法是以圖解的形式表述閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨系統(tǒng)某一參數(shù)變化而變化的方法。該方法用開環(huán)傳遞研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的問題，避免了解高次方程的根。通過繪制系統(tǒng)的根軌跡，可以直觀地觀察系統(tǒng)特征根隨參數(shù)變化的分布情況，也可以清楚地確定系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間和該區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)性能的變化。

對于根軌跡分析法，其中最重要的一環(huán)是能夠準(zhǔn)確地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。對此，自動(dòng)控制原理給出了八條繪制根軌跡的法則。通過這些法則，可以正確繪制出系統(tǒng)的根軌跡。但是，通過學(xué)生的測驗(yàn)、作業(yè)和試卷反饋，學(xué)生對這一知識點(diǎn)的掌握并不是很好。究其原因，主要是學(xué)生對八條法則的合理運(yùn)用存在一定的困難。對此，在進(jìn)行根軌跡繪制時(shí)，可以采用Matlab 輔助繪制，即先讓學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用八條法則繪制，等繪制完成之后，再利用Matlab進(jìn)行驗(yàn)證。除此之外，學(xué)生還可以借助生成的根軌跡曲線探究系統(tǒng)的性能。

例如給定一個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，其表達(dá)式如式2所示，繪制其根軌跡圖。

從式2可知，該系統(tǒng)既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)，且極點(diǎn)與零點(diǎn)數(shù)目相差為1。因此不滿足“根之和”這條法則的應(yīng)用條件。除此之外，可以依次使用其他七條法則對該系統(tǒng)的根軌跡進(jìn)行繪制。接著利用Matlab再次繪制該系統(tǒng)的根軌跡，并與手工繪圖進(jìn)行對比，以此校正手工繪制過程中的偏差。其中Matlab繪制的根軌跡如圖5所示。

從圖5可知，Matlab可以非常精準(zhǔn)地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。學(xué)生可以將其作為參照，糾正自己繪圖中的錯(cuò)誤，進(jìn)而吸收并熟練掌握繪制根軌跡的八條法則。

相較于手工繪圖，計(jì)算機(jī)繪圖能夠較為準(zhǔn)確地表述當(dāng)K 值從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的特征根所處的位置，便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析。同時(shí)，通過圖5學(xué)生還能清楚地分辨出系統(tǒng)根軌跡的條數(shù)，每條根軌跡的走向和變化趨勢。如果用鼠標(biāo)點(diǎn)擊根軌跡上的任意一點(diǎn)，圖像還會(huì)顯示該點(diǎn)處的K 值大小、零極點(diǎn)值、阻尼比、超調(diào)量和頻率值。借助這些參數(shù)學(xué)生可以討論該系統(tǒng)的各種性能，選擇合適的K 值，便于系統(tǒng)的校正。

2.3 Matlab 在頻域分析法中的應(yīng)用

作為又一種圖解方法，頻域分析法的主要思想是：把系統(tǒng)中的各個(gè)變量看成一些信號，而每一種信號又可以分解為不同頻率的正弦信號。這樣整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)就等同于這些正弦信號分別作用于該系統(tǒng)的響應(yīng)總和。它與根軌跡分析法一樣，可以利用作圖的形式很直觀地反映系統(tǒng)的性能，避免了解高次方程的根，該方法已被廣泛應(yīng)用于工程分析和設(shè)計(jì)中。

但是在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生普遍存在坐標(biāo)把握不精確，模值、相角求解困難以及轉(zhuǎn)折頻率無法精準(zhǔn)計(jì)算等問題。因此影響了Nyquist 圖和Bode 圖的正確繪制。進(jìn)而妨礙了系統(tǒng)性能的分析。對此，可以利用Matlab仿真解決這一問題。

由式3、nyquist（num， den）、bode（num， den）和margin （mag， phase， w）可得系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖。其具體響應(yīng)如圖6和圖7所示。

由圖6可知，當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍（-1，j0）點(diǎn)。依據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，在該情況下，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K=3.8時(shí)，系統(tǒng)Nyquist曲線剛好過（-1，j0） 點(diǎn)，該系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)Nyquist曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)半圈，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，可以觀察三種情況下系統(tǒng)Bode圖的幅值裕度和相角裕度。由圖7可知，當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)相角裕度為正，系統(tǒng)幅值裕度大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K=3.8時(shí)，系統(tǒng)相角裕度為0，系統(tǒng)幅值裕度為1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)相角裕度為負(fù)，系統(tǒng)幅值裕度小于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

由上述例證可知，利用Matlab可以快速精準(zhǔn)地求解出系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖，避免了手工繪圖產(chǎn)生的誤差和錯(cuò)誤。精準(zhǔn)的圖像更利于系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析，便于系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

3 效果與反思

相較于之前的灌輸式教學(xué)，在新的教學(xué)方式下，學(xué)生的自主意識有了明顯的提升，特別是第三章時(shí)域分析法的學(xué)習(xí)。學(xué)生從之前的只聽老師講，變成了自己或與其他同學(xué)合作去探索整個(gè)問題的答案，學(xué)會(huì)了用對比的方法找問題間的差異，進(jìn)而研究導(dǎo)致這些差異的原因，學(xué)會(huì)了研究某一問題的基本方法和手段。該方式培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑和解決問題的能力。

通過由實(shí)驗(yàn)到理論、理論到實(shí)驗(yàn)之間的不斷轉(zhuǎn)換，學(xué)生對于知識的理解在不斷地加深。有些晦澀難懂的知識點(diǎn)在這一過程中也得到了全新的解釋。學(xué)生對于知識的理解不再浮于表面，而是看得更深，理解得更加透徹和全面。實(shí)驗(yàn)和理論的相互交叉也更利于學(xué)生從理論到實(shí)際的轉(zhuǎn)化，便于后續(xù)的工程應(yīng)用。

4 結(jié)論

本文針對自動(dòng)控制原理這門課程在教學(xué)過程中遇到的問題，提出了將系統(tǒng)仿真技術(shù)應(yīng)用于該課程日常教學(xué)的解決方法。該方法借助Matlab仿真的優(yōu)勢，對之前的教學(xué)方法進(jìn)行了改進(jìn)。依據(jù)每章知識的特點(diǎn)，對各章節(jié)進(jìn)行了不同的設(shè)計(jì)。在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的前提下，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和獨(dú)立探索的能力。經(jīng)過該方法的應(yīng)用，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。學(xué)生更樂意從實(shí)驗(yàn)、從討論中得到相應(yīng)的結(jié)論。與之前的教學(xué)方法相比，該方法進(jìn)一步將探索和發(fā)現(xiàn)的過程還給了學(xué)生，學(xué)生進(jìn)一步成為學(xué)習(xí)的主體。整個(gè)教學(xué)效果有了進(jìn)一步的提升。