楊云龍

（大連海事大學(xué)理學(xué)院 遼寧 大連 116026）

1 研究背景

全面落實(shí)以學(xué)生為中心是貫徹執(zhí)行黨的二十大精神和全國教育工作會議精神，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量和實(shí)現(xiàn)三全育人的重要舉措，在培養(yǎng)新時(shí)代接班人等方面具有重要的戰(zhàn)略意義。以學(xué)生為中心的教學(xué)就是在教學(xué)中將學(xué)生作為教學(xué)環(huán)節(jié)的中心，在教學(xué)中將學(xué)生當(dāng)作主要的參與者，將學(xué)生作為研究學(xué)習(xí)的對象，促進(jìn)學(xué)生人格的培養(yǎng)、綜合素質(zhì)的提高、分析問題和解決問題能力及學(xué)習(xí)能力的提升。

矩陣?yán)碚撟鳛檠芯可鷶?shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，不僅是大學(xué)本科線性代數(shù)課程的延續(xù)，而且是模式識別、圖像處理、人工智能等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，在課程體系中承載著拓寬學(xué)生視野，樹立學(xué)生科學(xué)精神的重要作用。通過課前的問卷調(diào)查，結(jié)果反映出學(xué)生對線性代數(shù)等大學(xué)數(shù)學(xué)知識的掌握程度差別較大，學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)知識的掌握參差不齊，要解決上述問題，同時(shí)體現(xiàn)課程的綜合應(yīng)用性和知識的高階性，與其他課程協(xié)同實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)，分層次教學(xué)是必然選擇。受學(xué)時(shí)限制，傳統(tǒng)課堂的分層次教學(xué)不易實(shí)現(xiàn)，而混合式教學(xué)可根據(jù)知識點(diǎn)的難易程度，通過網(wǎng)絡(luò)資源對知識進(jìn)行模塊化處理，為不同知識層次的學(xué)生搭建不同難度和不同主線的課程內(nèi)容，因材施教，不僅體現(xiàn)課程的高階性，而且符合國家的教育數(shù)字化戰(zhàn)略。

美國實(shí)用主義教育家杜威的“以兒童為中心”是“以學(xué)生為中心”教育理念的起源。2011 年華中科技大學(xué)校長李培根在《以學(xué)生為中心的教育：一個(gè)重要的戰(zhàn)略轉(zhuǎn)變》中明確提出“以學(xué)生為中心”的教育，關(guān)乎大學(xué)的核心理念，關(guān)乎大學(xué)精神與文化，關(guān)乎學(xué)校未來發(fā)展戰(zhàn)略。

當(dāng)前，以學(xué)生為中心的混合式教學(xué)在數(shù)學(xué)研究生課程中的實(shí)踐研究甚少，多集中于本科階段的公共基礎(chǔ)課程[1-10]和數(shù)學(xué)專業(yè)課[11-12]，分層次教學(xué)模式在數(shù)學(xué)線下課程，尤其本科階段的高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課中進(jìn)行了相當(dāng)程

度的實(shí)踐探索，參見文獻(xiàn)[13-16]。在如化學(xué)[17]和計(jì)算機(jī)[18]等具有實(shí)驗(yàn)操作的學(xué)科，分層次混合式教學(xué)模式也已得到嘗試。文章從研究生的矩陣?yán)碚撜n程實(shí)際現(xiàn)狀出發(fā)，探索以學(xué)生為中心的混合式教學(xué)模式，不僅滿足自身課程建設(shè)以及完成研究生培養(yǎng)目標(biāo)的需要，而且對其他研究生數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課也有一定借鑒意義。

2 “矩陣?yán)碚摗备母锱e措

本文基于以學(xué)生為中心的教育理念，重塑大連海事大學(xué)研究生數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課“矩陣?yán)碚摗闭n程框架內(nèi)容，構(gòu)成多層次多目標(biāo)的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過“課前—課中—課后”教學(xué)過程閉環(huán)，融入課程思政內(nèi)容，三位一體地實(shí)現(xiàn)全面育人的培養(yǎng)目標(biāo)。

結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，修訂課程內(nèi)容，嘗試將授課內(nèi)容分成A（基礎(chǔ)）、B（提高）和C（拓展）三個(gè)層次，探索與知識點(diǎn)對應(yīng)的課程思政元素，具體實(shí)施細(xì)節(jié)包括：

2.1 課程內(nèi)容分級

課程中的A（基礎(chǔ)）層次知識點(diǎn)包括：矩陣的基本運(yùn)算（包括矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的行列式、逆矩陣、跡、共軛矩陣、矩陣的分塊）及性質(zhì)，方陣的特征值和特征向量，正規(guī)矩陣，正定矩陣和半正定矩陣，正交矩陣，酉矩陣，Hermite 矩陣，矩陣的Smith 標(biāo)準(zhǔn)形，向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，行列式因子、不變因子、初等因子，線性空間的定義與例子、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)，子空間及其運(yùn)算（包括子空間的和、交、直和），線性變換、正交變換、對稱變換，實(shí)內(nèi)積與歐氏空間，矩陣的三角分解（包括LU 分解、Choleskey分解、QR分解）與滿秩分解，矩陣冪級數(shù)與矩陣函數(shù)。

課程中的B（提高）層次知識點(diǎn)包括：矩陣的譜分解、矩陣的奇異值分解、Reyleigh 商與圓盤定理，不變子空間，核空間和像空間，復(fù)內(nèi)積與酉空間，向量或矩陣求導(dǎo)，因式分解定理，零化多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣函數(shù)與微分方程組的解，廣義逆矩陣及其應(yīng)用。

課程中的C（拓展）層次知識點(diǎn)包括：兩氣象場交叉相關(guān)系數(shù)計(jì)算，聲學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析，電網(wǎng)薄弱環(huán)節(jié)辨識的數(shù)據(jù)表征，奇異值分解在信號處理中的應(yīng)用，矩陣旋轉(zhuǎn)與特征提取，數(shù)據(jù)降維與主成分分析。

2.2 思政元素融入

針對不同層次的知識內(nèi)容，確立以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、樹立科學(xué)精神、抱有家國情懷、欣賞數(shù)學(xué)之美、探索生活實(shí)踐、掌握哲學(xué)思辨為導(dǎo)向的課程思政元素融入方向，具體實(shí)例包括：

①矩陣?yán)碚撘跃仃嚍橹饕ぞ?，借助線性空間和線性變換等數(shù)學(xué)概念為工程方面的實(shí)際應(yīng)用提供描述語言，將“工欲善其事必先利其器”的名句體現(xiàn)得淋漓盡致，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性和全局意識。

②矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要研究主題——方陣的特征值和特征向量，矩陣概念提出伊始就一直活躍在理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中，經(jīng)過不同時(shí)期數(shù)學(xué)家的深入思考，從單純求特征值和特征向量，逐漸發(fā)展到直接從矩陣本身的元素特征出發(fā)而對矩陣進(jìn)行特征估計(jì)，對方陣的特征值和特征向量的不斷探索反映了其不屈不撓的科學(xué)精神。

③在矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展歷程中，也有許多中國科技工作者的身影。國際著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生是矩陣幾何學(xué)等諸多領(lǐng)域相關(guān)研究的創(chuàng)始人和開拓者。中國科學(xué)院郭雷院士解決了最小二乘自校正調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性和收斂性這一國際著名難題。他們的事跡無不激勵(lì)一代學(xué)子投身國家建設(shè)，努力將科研成果應(yīng)用到祖國大地上。

④矩陣?yán)碚撝械难芯繉ο蟪霈F(xiàn)在實(shí)際生活中的許多場景中，如港口的貨運(yùn)調(diào)配與最小二乘法相聯(lián)系，電網(wǎng)的薄弱環(huán)節(jié)辨識與隨機(jī)矩陣密切相關(guān)，人工智能中濾波與矩陣的卷積運(yùn)算緊密相連，生活中的指紋識別和人臉支付等許多應(yīng)用場景都有矩陣特征提取的身影。這些矩陣?yán)碚撛谏钪械膽?yīng)用無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。

⑤與矩陣論相關(guān)的張量分析與外代數(shù)同物理學(xué)家探究廣義相對論的工具不謀而合，體現(xiàn)了哲學(xué)中的事物的統(tǒng)一性原則。

在課程資源拓展方面，結(jié)合自建課程資源內(nèi)容，篩選優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)資源，拓展學(xué)生的課后自主學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，具體實(shí)施細(xì)節(jié)包括：

2.3 深化過程性考核機(jī)制

在過程考核過程中，結(jié)合研究生的專業(yè)情況和前期問卷調(diào)查中對大學(xué)數(shù)學(xué)的掌握程度，對學(xué)生進(jìn)行分組，增加小組協(xié)作作業(yè)，要求根據(jù)組內(nèi)學(xué)生的研究方向，進(jìn)行與課程相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享，同時(shí)在過程性考核中增加文獻(xiàn)綜述的小作業(yè)，在加深對矩陣?yán)碚摶靖拍?、基本原理理解的過程中，又能進(jìn)行文獻(xiàn)篩選、文獻(xiàn)閱讀、寫作規(guī)范等學(xué)術(shù)方面的訓(xùn)練。

2.4 前沿應(yīng)用和優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)內(nèi)容推送

精選鄂維南院士《機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)理論》和中國運(yùn)籌學(xué)會《運(yùn)籌學(xué)千里縱橫論壇》中涉及本課程內(nèi)容的相關(guān)通識報(bào)告，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，加深對矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識的理解。推送與課程內(nèi)容相關(guān)的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)內(nèi)容，如哈爾濱工業(yè)大學(xué)嚴(yán)質(zhì)彬老師的“矩陣分析”和斯坦福大學(xué)的公開課“應(yīng)用線性代數(shù)”。

2.5 基于知識圖譜的知識主線重組

通過對課程內(nèi)容中的知識點(diǎn)進(jìn)行分級，實(shí)現(xiàn)知識的碎片化，基于知識圖譜形成理論與實(shí)際相連的新課程主線供學(xué)生學(xué)習(xí)。以主成分分析這一內(nèi)容為例，在國內(nèi)現(xiàn)有的矩陣?yán)碚撏ㄓ媒滩闹?，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，都無法系統(tǒng)講解到該部分，但實(shí)際上主成分分析的理論基礎(chǔ)均碎片化地存在于矩陣?yán)碚摰恼n程知識點(diǎn)中。要想掌握主成分分析，在大學(xué)數(shù)學(xué)階段要了解協(xié)方差與協(xié)方差矩陣的基本內(nèi)容，在矩陣?yán)碚撜n程的層面只需要掌握半正定矩陣、Reyleigh商、矩陣函數(shù)的求導(dǎo)法則這些內(nèi)容。而主成分分析在數(shù)據(jù)降維、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等研究中均有廣泛的應(yīng)用?；谥R圖譜的知識主線重組，不拘泥于教材章節(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了對部分課程擴(kuò)展內(nèi)容的理解與掌握，豐富了課程內(nèi)容，有效地體現(xiàn)了課程的高階性。

3 建設(shè)情況與實(shí)踐效果

經(jīng)過兩個(gè)學(xué)期的課程建設(shè)，完善了“矩陣?yán)碚摗闭n程在海貝云和雨課堂平臺上的課程內(nèi)容搭建，已建設(shè)完成海貝云課堂8 個(gè)學(xué)習(xí)單元32 個(gè)必學(xué)模塊，6 個(gè)選學(xué)模塊，包括教學(xué)視頻、授課課件、平時(shí)作業(yè)、期末復(fù)習(xí)、延伸閱讀等內(nèi)容，完成雨課堂資源包內(nèi)圖文、視頻類內(nèi)容共計(jì)9 章26 個(gè)學(xué)習(xí)單元及課程思維導(dǎo)圖與配套習(xí)題庫建設(shè)，為學(xué)生提供了不同程度的自主學(xué)習(xí)資源。

經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的實(shí)踐教學(xué)，在不改變平時(shí)成績占比且考題難度與考點(diǎn)相同的前提下，以學(xué)生的實(shí)際期末考試試卷成績?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)，22—23（2）學(xué)期（改革學(xué)期）與之前的學(xué)生成績數(shù)據(jù)相比，90 分以上優(yōu)秀學(xué)生占比有一定程度提高，平均成績較往年也有所提高，數(shù)據(jù)比對詳見圖1?！熬仃?yán)碚摗闭n程的混合式教學(xué)實(shí)踐踏出了以學(xué)生為中心的分層次混合式教學(xué)模式在大連海事大學(xué)研究生數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課建設(shè)的第一步，對其他數(shù)學(xué)類研究生課程也有一定的指導(dǎo)意義。

圖1 改革前后學(xué)生成績對比