范瑛莉

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量之間的關(guān)系和物體或圖形之間的空間形式的學(xué)科，這也決定了數(shù)學(xué)的強(qiáng)邏輯性和理性思維為主的學(xué)科性質(zhì)。在教學(xué)中，我們?cè)谥匾晫W(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和技能掌握的同時(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生洞察知識(shí)的內(nèi)在思想，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生雖然年齡小，知識(shí)儲(chǔ)備少，但正是由于這時(shí)學(xué)生處于學(xué)習(xí)的起始階段，才能更好地在學(xué)生心中種下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的種子。萬(wàn)事始于初，教學(xué)中教師要結(jié)合低年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容有意識(shí)地加以滲透，使數(shù)學(xué)思想與方法在學(xué)生頭腦中生根發(fā)芽，助力學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、概括學(xué)習(xí)內(nèi)容，由數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性滲透抽象的數(shù)學(xué)思想

抽象是對(duì)數(shù)量和空間形式的內(nèi)在一般特征進(jìn)行的深化和總結(jié)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征。在教學(xué)時(shí)，教師要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容讓學(xué)生體會(huì)數(shù)字、數(shù)學(xué)符號(hào)等，使其初步感知數(shù)學(xué)的抽象。

1.以現(xiàn)實(shí)情境為依托，抽象出對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)

對(duì)數(shù)的抽象認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)抽象思想中最基本的一項(xiàng)。小學(xué)數(shù)學(xué)第一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容為“1-5的認(rèn)識(shí)”，這是學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。在教學(xué)中，教師要通過(guò)多種生活中的學(xué)習(xí)材料，使學(xué)生由現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)物逐步抽象出數(shù)。

在教學(xué)“1-5的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生利用情境圖中的實(shí)物有序地?cái)?shù)數(shù)。如圖中有2輛坦克，學(xué)生用圓片代替實(shí)物擺一擺，然后讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“我們身體有哪些是2個(gè)呢？”學(xué)生紛紛回答：“有2只胳膊、2條腿、2只手、2只腳、2只眼睛等。”這時(shí)，學(xué)生由現(xiàn)實(shí)情境抽象出“2”這個(gè)數(shù)。接著再讓學(xué)生拿出2支鉛筆、2個(gè)本子、拍2下手，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)字“2”。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷了由物到數(shù)、再由數(shù)到物的兩個(gè)過(guò)程。如學(xué)生先把實(shí)物進(jìn)行抽象，再把抽象的數(shù)賦予現(xiàn)實(shí)中，這樣學(xué)生在豐富的感知中便理解了數(shù)的意義。

2.以操作過(guò)程為基礎(chǔ)，抽象出計(jì)算方法

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的組成部分，是進(jìn)行問(wèn)題解決的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)各種動(dòng)手操作的活動(dòng)情境使算理變得直觀形象，這樣的操作有利于學(xué)生抽象出計(jì)算方法。

如在教學(xué)“9加幾”一課中，教師引導(dǎo)學(xué)生列出算式“9+2”后，讓學(xué)生利用手中的紅色和黃色圓片擺一擺，并思考：怎樣移動(dòng)圓片，就能快速看出一共有幾個(gè)？學(xué)生通過(guò)思考和嘗試、討論和交流，得出“看大數(shù)、分小數(shù)”，用湊十法來(lái)計(jì)算。具體的操作、形象的實(shí)物，使學(xué)生明晰了算理。

接下來(lái)，教師適時(shí)引導(dǎo)：我們把剛才的操作過(guò)程，用式子表示出來(lái)：9 + 2=11，學(xué)生看到用式子列出來(lái)的過(guò)程更加簡(jiǎn)潔、明了。然后，教師讓學(xué)生看著式子“表述9+2”的計(jì)算過(guò)程，學(xué)生由學(xué)具操作抽象出了“9加幾”的計(jì)算方法。

3.以立體圖形為橋梁，抽象出平面圖形

對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)，我們一般是從常見(jiàn)的立體圖形開(kāi)始。學(xué)生只有對(duì)常見(jiàn)的立體圖形有了充分直觀認(rèn)知，教師才能引導(dǎo)學(xué)生從這些具體的圖形中抽象出常見(jiàn)的平面圖形。

在教學(xué)“認(rèn)識(shí)圖形”一課時(shí)，教師先讓學(xué)生欣賞由各類(lèi)卡紙拼成的圖畫(huà)，當(dāng)學(xué)生對(duì)圖畫(huà)有了初步感知后，讓他們利用長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等立體模型進(jìn)行分類(lèi)，并畫(huà)出這些立體圖形中的面，以此使學(xué)生認(rèn)識(shí)這些常見(jiàn)的平面圖形。

低年級(jí)的學(xué)生對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)，是由“體”到“形”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也是由具體到抽象的過(guò)程。因?yàn)椤绑w”是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物，而“形”是由具體的實(shí)物抽象而來(lái)的。通過(guò)對(duì)立體圖形的表面進(jìn)行描畫(huà)，搭建具體立體圖形與抽象平面圖形間的橋梁，使抽象的平面圖形得以充分展示，進(jìn)一步拓寬學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。

4.以分類(lèi)練習(xí)為場(chǎng)景，抽象出事物的共性特征

在低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)物品進(jìn)行分類(lèi)就是通過(guò)對(duì)物品的特征進(jìn)行分析，從而抽象出物品的共性特征。如把不同形狀、顏色的樹(shù)葉進(jìn)行分類(lèi)，就是自定標(biāo)準(zhǔn)的分類(lèi)。教師先讓學(xué)生嘗試自主分類(lèi)，然后通過(guò)交流，學(xué)生表述自己分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)：可以按形狀分，也可以按顏色分。學(xué)生按照物品的特點(diǎn)確定了分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，并發(fā)現(xiàn)同樣的物品還可以用不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。

抽象是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)材料的高度概括，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美使抽象的特點(diǎn)凸顯了出來(lái)。教師要利用豐富的學(xué)習(xí)材料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和體會(huì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)，感悟抽象的意義。

二、發(fā)現(xiàn)和證明結(jié)論，由推導(dǎo)的邏輯性滲透推理的數(shù)學(xué)思想

推理是通過(guò)對(duì)素材進(jìn)行分析和推斷，由此推導(dǎo)、衍生出結(jié)論的思維方式，其分為合情推理和演繹推理。在教學(xué)中，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出各種推理情境，使學(xué)生由此及彼地得出新結(jié)論，促進(jìn)他們知識(shí)體系的完善。

1.探索結(jié)論，發(fā)展合情推理能力

合情推理是利用對(duì)學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的直觀感受，由一而類(lèi)推到三，并通過(guò)對(duì)大量同類(lèi)型事例的總結(jié)，由特殊推廣到一般，進(jìn)而得出結(jié)論。合情推理有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，是新課程標(biāo)準(zhǔn)推進(jìn)中需要不斷被強(qiáng)化的。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際出發(fā)去探索結(jié)論，拓寬學(xué)生解決問(wèn)題的基本思路。

如在教學(xué)“6、7的加法”一課時(shí)，教師結(jié)合學(xué)生擺小棒、擺圖片等實(shí)物操作，讓學(xué)生計(jì)算：2+4=6，4+2=6。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流：這兩道算式哪里相同，哪里不同？學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：這兩道算式都是加法，加號(hào)兩邊的數(shù)的位置交換了，得數(shù)都是6。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)：交換兩個(gè)相加的數(shù)的位置，得數(shù)會(huì)怎樣呢？學(xué)生直觀認(rèn)為得數(shù)不變。接下來(lái)，教師讓學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證：你還能說(shuō)出這樣的加法算式嗎？隨即，學(xué)生會(huì)根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)舉例說(shuō)明，并通過(guò)大量的例證得出結(jié)論。

如在教學(xué)“有關(guān)0的加減法”一課時(shí)，教師先讓學(xué)生觀察情境圖：樹(shù)上有2只鳥(niǎo)，飛走了2只。然后，學(xué)生根據(jù)圖中信息列出算式：2-2=0（只）。接著，我們稍改一下圖后，學(xué)生又列出算式：3-3=0（只）。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩道算式有什么特點(diǎn)。學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：這兩道算式，都是兩個(gè)相同的數(shù)去減，結(jié)果都等于0。接下來(lái)，教師啟發(fā)學(xué)生：你還能寫(xiě)出得數(shù)是0的減法算式嗎？學(xué)生寫(xiě)出：4-4=0，5-5=0，1-1=0和0-0=0。由此學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，得出了結(jié)論。通過(guò)學(xué)習(xí)過(guò)程中的合情推理，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

2.證明結(jié)論，發(fā)展演繹推理能力

演繹推理是從已確定的規(guī)則出發(fā)，研究現(xiàn)有的學(xué)習(xí)材料是否符合這一規(guī)則和定義，是否屬于既有規(guī)則和定義框架之下。演繹推理是由一般結(jié)論延伸到具體各個(gè)獨(dú)立事例的過(guò)程。在教學(xué)中，教師要通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)會(huì)演繹推理的方法和要求，使學(xué)生有條理地思考問(wèn)題。

如教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形和正方形邊和角的特點(diǎn)有了初步認(rèn)識(shí)后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：長(zhǎng)方形與正方形有什么關(guān)系？學(xué)生通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，直觀地認(rèn)識(shí)到兩種圖形有許多相似之處，但對(duì)于探討圖形之間關(guān)系的題目這是學(xué)生初次涉及，這時(shí)教師要給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行交流，并適時(shí)加以引導(dǎo)：長(zhǎng)方形和正方形哪一個(gè)包括的圖形更廣、范圍更大呢？通過(guò)思考，學(xué)生明確：在長(zhǎng)方形和正方形這兩種圖形中，長(zhǎng)方形具有的是一般特征，而正方形符合長(zhǎng)方形的這些一般特征，且具有特殊性，因此正方形是特殊的長(zhǎng)方形。由一般到特殊，學(xué)生初步體會(huì)了演繹推理的過(guò)程。

又如，低年級(jí)中找規(guī)律圈數(shù)的題目：1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、12、13、14、15、16。教師先讓學(xué)生觀察已圈出數(shù)的規(guī)律，然后嘗試接著圈，并全班交流。有的學(xué)生說(shuō)：“圈出的數(shù)加3，就是后面一個(gè)要圈的數(shù)。”有的學(xué)生說(shuō)：“圈出的數(shù)再隔2個(gè)數(shù)，就是下一個(gè)要圈出的數(shù)?！睂W(xué)生找出規(guī)律后，正確地圈出了剩余部分要圈的數(shù)。通過(guò)學(xué)習(xí)過(guò)程中的演繹推理，學(xué)生對(duì)規(guī)則和定義有了進(jìn)一步明確認(rèn)識(shí)，對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系更加清晰了。

運(yùn)用數(shù)學(xué)推理，可以從現(xiàn)有的數(shù)學(xué)規(guī)則和定義中進(jìn)一步得到大量的結(jié)論，從而使數(shù)學(xué)認(rèn)知體系更加完善，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)的邏輯性也在推理的過(guò)程中得以充分展現(xiàn)，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生推理思想的發(fā)展。

三、建立解題模式，以數(shù)學(xué)模式的通用性滲透模型的數(shù)學(xué)思想

模型思想是從共性的問(wèn)題中抽象出問(wèn)題模型，在問(wèn)題解決的過(guò)程中對(duì)解題思路和方法進(jìn)行總結(jié)和提煉，并把求出的模式化結(jié)論運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)中解決問(wèn)題的思想。在教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決共性問(wèn)題的方法，并在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中辨析不同類(lèi)型的題目，選擇適用的解題模型，快速且高效地將問(wèn)題解決。

1.引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，掌握基本的加減乘除問(wèn)題模型

小學(xué)一年級(jí)上冊(cè)的加、減法問(wèn)題模型為：部分?jǐn)?shù)＋部分?jǐn)?shù)=總數(shù)，總數(shù)－部分?jǐn)?shù)=部分?jǐn)?shù)。在教學(xué)中，教師要結(jié)合情境圖或?qū)嶋H的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知的量和要求的量逐個(gè)進(jìn)行分析，明確數(shù)量關(guān)系中是總數(shù)還是部分?jǐn)?shù)。從一年級(jí)開(kāi)始，教師就要注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言完整、規(guī)范地對(duì)已知條件和所求問(wèn)題進(jìn)行表述。在對(duì)模型的不斷強(qiáng)化中，學(xué)生會(huì)逐步解決同類(lèi)型習(xí)題。

又如二年級(jí)乘、除法問(wèn)題的基本模型為：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)，總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。教師結(jié)合具體問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生分析題目中已知的量和要求的量分別是什么，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述用哪一個(gè)數(shù)量關(guān)系式的模型來(lái)解答。

學(xué)生在低年級(jí)就開(kāi)始接觸基本的數(shù)量關(guān)系，教師要依托大量的具體情境，幫助學(xué)生從眾多情境中抽象出模型，并引導(dǎo)其運(yùn)用這些基本的數(shù)量關(guān)系模型去解決類(lèi)似問(wèn)題。同時(shí)，教師要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰地表述自己的想法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流能力。數(shù)學(xué)模型的積累是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)課堂發(fā)展的鋪墊。

2.引導(dǎo)學(xué)生有序思考，發(fā)現(xiàn)圖形問(wèn)題的解題模型

低年級(jí)的“數(shù)圖形”是非常常見(jiàn)的內(nèi)容，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用模型解題，并向?qū)W生滲透模型思想的典型題目。

如課本中的圖片1：數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)角？教師先讓學(xué)生嘗試自主解決。學(xué)生經(jīng)過(guò)激烈討論，建立了數(shù)角的表象和經(jīng)驗(yàn)，并在全班予以交流分享。對(duì)比學(xué)生不同的數(shù)法，教師引導(dǎo)他們思考：在數(shù)角時(shí)，最重要的是什么？這時(shí)學(xué)生對(duì)數(shù)角的過(guò)程進(jìn)行回顧，體會(huì)到了有順序數(shù)數(shù)的重要性，只有“有序”才能做到不重復(fù)和不遺漏。接下來(lái)，我們引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)角的解題模型：?jiǎn)为?dú)角有3個(gè)，兩個(gè)單獨(dú)角組成的角有2個(gè)，三個(gè)單獨(dú)角組成的角有1個(gè)。所以圖中一共有：3+2+1=6（個(gè)）角。教師讓學(xué)生用這一模型解決類(lèi)似習(xí)題：_______共有（ ?）個(gè)角。學(xué)生通過(guò)對(duì)模型的運(yùn)用，熟練地掌握了數(shù)角的方法。

又如，課本中的圖片2：數(shù)一數(shù)圖中共有多少個(gè)正方形？學(xué)生在積累了前面數(shù)角、數(shù)線段的模型的基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試找出解題模型。經(jīng)過(guò)探討和比較數(shù)法，學(xué)生找出了數(shù)正方形的模型：最小的正方形有3×3=9（個(gè)），四個(gè)小正方形組成的較大正方形有2×2=4（個(gè)），九個(gè)小正方形組成的大正方形有1×1=1（個(gè)）。所以，圖中共有9+4+1=14（個(gè)）正方形。同樣，教師讓學(xué)生嘗試練習(xí)同類(lèi)型的習(xí)題：某圖中有（ ? ?）個(gè)正方形，把解題模型運(yùn)用到實(shí)際的練習(xí)中。

3.引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題，得出“比多、比少”問(wèn)題的解題模型

小學(xué)低年級(jí)加減法問(wèn)題，除了基本的解題模型，還有“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾（或少幾）”和“求比一個(gè)數(shù)多幾（或少幾）”兩種類(lèi)型。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，明晰題目中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得出解題模型。

如東北虎有15只，華南虎有8只，東北虎比華南虎多幾只？華南虎比東北虎少幾只？教師先引導(dǎo)學(xué)生按照一一對(duì)應(yīng)的方法畫(huà)○表示東北虎和華南虎的只數(shù)，然后根據(jù)畫(huà)出的圖讓學(xué)生進(jìn)行交流：東北虎比華南虎多幾只或華南虎比東北虎少幾只，在圖里我們要用什么方法予以表示等。學(xué)生通過(guò)觀察，得出從東北虎的只數(shù)中去掉和華南虎同樣多的部分，就是東北虎比華南虎多的只數(shù)或華南虎比東北虎少的只數(shù)。所以，這種類(lèi)型題的解題模型為：東北虎只數(shù)－華南虎只數(shù)=東北虎比華南虎多的只數(shù)（或華南虎比東北虎少的只數(shù)）。

又如，（1）桃樹(shù)有45棵，杏樹(shù)比桃樹(shù)多15棵，杏樹(shù)有多少棵？（2）桃樹(shù)有45棵，杏樹(shù)比桃樹(shù)少15棵，杏樹(shù)有多少棵？教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，然后通過(guò)畫(huà)圖明確本題的解題模型。

數(shù)學(xué)模型的最大優(yōu)點(diǎn)就是其通用性。在教學(xué)中，教師要以實(shí)際問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法和思維路徑進(jìn)行優(yōu)化，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，提煉并運(yùn)用問(wèn)題解決模型，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的初步發(fā)展。

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，正因?yàn)槠鋬?nèi)隱性，更需要充分重視并有意識(shí)地使之展現(xiàn)。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐漸加以明晰，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷從觀察、發(fā)現(xiàn)、理解到應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)思想是貫徹以學(xué)生為本的教學(xué)理念，觸及人思想深處的東西，更是人終身學(xué)習(xí)發(fā)展的源泉。教師要做的就是從低年級(jí)開(kāi)始滲透數(shù)學(xué)思想，在更高層次上引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)成長(zhǎng)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展奠定更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

作者單位 ? 山東省德州市黎明街小學(xué)