張彬

數(shù)學領(lǐng)域的研究過程離不開工具的輔助和應用。尺規(guī)作圖源于古希臘，是研究數(shù)學幾何的一種尤為重要的方法，也是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標（2022年版）》）中針對小學數(shù)學“圖形與幾何”課程教學的新增內(nèi)容。小學階段的學生沒有太強的邏輯思維能力，在學習數(shù)學知識時難以在沒有外部工具輔助的情況下通過想象構(gòu)建具體的圖形與模型。在此階段采用尺規(guī)作圖法，既可以幫助小學生更加直觀地感受和理解課本知識，也可以在鍛煉小學生的實際動手操作能力時促進小學生邏輯思維的形成，為他們?nèi)蘸蟮臄?shù)學學習奠定基礎(chǔ)。

一、尺規(guī)作圖的誕生與發(fā)展

從字面意義理解，尺規(guī)作圖指借助直尺和圓規(guī)進行幾何圖形繪制的一種輔助學習數(shù)學的方式，它在“幾何與圖形”課程教學與學習中具有重要意義?！墩n標（2022年版）》將尺規(guī)作圖的學習從中學階段提前到了小學階段，文件要求教師通過尺規(guī)作圖培養(yǎng)學生的動手能力和幾何直觀能力，逐步提高學生的核心素養(yǎng)，此舉引起了教育行業(yè)的廣泛關(guān)注。在數(shù)學研究領(lǐng)域中，每一種輔助研究的方式都是在歷史的不斷發(fā)展中誕生和完善。尺規(guī)作圖的誕生和發(fā)展經(jīng)歷了三個主要的歷史階段。

第一個階段是雅典時期，也是尺規(guī)作圖興起的時期，它最初在希臘數(shù)學史中出現(xiàn)。尺規(guī)作圖主要的兩個工具是沒有刻度的直尺和圓規(guī)，前者可以畫出無限延長的直線，后者可以在確定定點后畫出不同大小的圓，二者結(jié)合則可以畫出多種不受限制的結(jié)合圖形。在這一階段，尺規(guī)作圖憑借要求低和能進行智力訓練的特點廣受歡迎。

第二個階段主要以歐幾里得在《幾何原本》中提出的有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容為主，他提出了五條尺規(guī)作圖公設，即過兩個不相交的點可以確定一條線段；延長線段可以確定一條直線；一個圓心和一條半徑可以確定一個圓；直角相等以及有關(guān)三條直線相交的平行公設。

第三個階段是尺規(guī)作圖的三大難題。一是在有一已知圓的基礎(chǔ)上做出與之面積相等的正方形；二是只通過沒有刻度的直尺和圓規(guī)將任意一個確定的角進行三等分；三是在有一已知立方體的基礎(chǔ)上作出體積為其兩倍的另一立方體。這三個問題在古希臘時期就已經(jīng)被提出，在數(shù)學史的發(fā)展過程中又先后被其他數(shù)學家證明不能用尺規(guī)作圖解決。

目前尺規(guī)作圖成為數(shù)學教材中的一部分，也成為教師和學生在日常教學與學習過程中都會使用到的教學工具。從小學中高年級開始，新知識依托于舊知識，有關(guān)尺規(guī)作圖的相關(guān)知識在教材中的難度呈逐步上升并環(huán)環(huán)相扣的趨勢，讓學生在學習和應用過程中不斷鞏固、深化新舊知識。

二、小學數(shù)學教學引入尺規(guī)作圖的價值

小學階段是數(shù)學課程學習的奠基階段，教師在教學過程中引用尺規(guī)作圖的方法能夠讓學生更加直觀地觀察幾何圖形的本質(zhì)，讓學生自己動手操作解決簡單的數(shù)學問題，在一定程度上能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。尺規(guī)作圖可以在數(shù)學幾何圖形學習中鍛煉學生的多項個人能力，因為每一次作圖時的推理、分析、思考過程都是對學生數(shù)學邏輯思維的一次綜合性鍛煉。

（一）培養(yǎng)學生的動手操作能力

動手操作是數(shù)學學習過程中必不可少的環(huán)節(jié)，數(shù)學課程中所有已知的公式和定理都是通過歷史上許多數(shù)學家反復實驗和驗證后才被整理和總結(jié)出來的。小學生的年齡小，思維能力處在培養(yǎng)和發(fā)展的階段。呈現(xiàn)在教材上的知識點大都語言簡練，雖然便于學生記憶，但在理解上通常會存在一些困難，往往需要通過更加直觀的觀察和實際的動手操作展開思考。

以“矩形周長”相關(guān)知識為例，直尺可以畫出一條直線，圓規(guī)可以確定兩個點之間的距離，學生在學習的過程中可以利用直尺和圓規(guī)將不在一條直線上的多條線段準確移植到同一條直線上，以更加直觀的視覺觀察了解矩形的展開和周長的意義。學生在實際操作過程中能對相關(guān)的知識點形成更加深刻的記憶，也鍛煉了自己的實際動手操作能力。

（二）增強學生的幾何直觀能力

數(shù)學幾何圖形的學習離不開用眼睛觀察，學生在學習的過程中既要學會抽象的數(shù)學概念，也要知道抽象的數(shù)學知識在直觀的構(gòu)圖中擁有怎樣的表現(xiàn)形式。以直觀的模型為支撐展開教學，對小學生而言至關(guān)重要，教師在教學過程中可以通過尺規(guī)作圖的方法繪制更加精確的圖形，減少因為作圖和測量差異而對圖形數(shù)據(jù)造成的誤差，引導學生從視覺觀察入手對圖形進行探索和思考，感受數(shù)學的嚴謹性。

尺規(guī)作圖還有利于讓學生形成幾何直觀思維，使其在學習的過程中了解尺規(guī)作圖這種方式能作出哪些具體的圖形，繼而在自己動手用尺規(guī)進行作圖的過程中明確作圖有哪些步驟，每一個步驟能夠帶來什么樣的結(jié)果，培養(yǎng)空間想象能力。

以人教版四年級下冊“三角形”教學為例，教師可以給定能夠組成一個三角形的三條線段，讓學生運用直尺和圓規(guī)兩種工具，通過畫圓弧找交點的方式將這三條線段組合到一起，得到一個三角形，以此了解線段和圖形之間的互相轉(zhuǎn)化。在這個過程之中，教師可以引導學生探究什么樣的三條線段組合到一起能夠形成一個三角形，自行歸納總結(jié)這三條線段之間的關(guān)系并找尋其中的規(guī)律，以對三角形的組成和特點擁有更加深刻的認識。

（三）鍛煉學生的邏輯思維能力

數(shù)學具有邏輯性和思維性特點，于學生的邏輯思維能力有一定要求。尺規(guī)作圖并非單純繪制圖形即可，還需要學生能夠根據(jù)自己繪制的圖形來探索和解決實際的問題。在數(shù)學學科教學中，教會學生如何思考、如何獨立推理是教師教學任務的一項重要目標。

以人教版六年級上冊“圓”教學為例，該單元內(nèi)容有讓學生利用尺規(guī)作圖在圓內(nèi)繪制一些圖形的章節(jié)。在作圖之前，學生需要先在腦海中構(gòu)思大概的形狀，再確定作圖的每一個步驟，最后在確定圖形具體的位置和大小后才能真正開始動手繪制。此過程存在循序漸進的關(guān)系，具有一定的邏輯性。在實際的教學過程中，教師在教會學生正確利用尺規(guī)進行作圖的同時，也可以引導學生一同探討為什么要按照這樣的模式進行作圖，引導學生進行推理和思考，進一步培養(yǎng)學生的推理能力和邏輯思維能力。

三、小學數(shù)學尺規(guī)作圖教學現(xiàn)狀

學習是要學會利用學習到的知識來探索世界，解決生活中可能遇到的相關(guān)問題，將學習與生活結(jié)合起來，讓書本知識不只是一種書本上的形式。尺規(guī)作圖是一種相對來說比較容易理解的實驗方法，在小學數(shù)學教學中引入尺規(guī)作圖不僅是《課標（2022年版）》對小學生提出的要求，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和獨立思考能力有助于其成為社會所需的創(chuàng)新型人才，順應未來社會經(jīng)濟的發(fā)展趨勢，符合當前社會發(fā)展的需要。

（一）新課標中對小學數(shù)學尺規(guī)作圖的要求

《課標（2022年版）》明確了義務教育階段對人才培養(yǎng)的要求，也對具體課程的實施要求進行細化，以培養(yǎng)學生各項素質(zhì)為本確定了多項具體要求?！墩n標（2022年版）》要求小學中段的學生學會使用直尺和圓規(guī)作與已知線段等長的線段、在給定邊長的情況下作出等邊三角形、將三角形的三條邊畫到同一直線上研究三角形周長；還要求小學高段的學生學會利用圓規(guī)畫圓、在利用尺規(guī)作三角形的過程中探索三角形三條邊長之間的關(guān)系。

相較于之前，《課標（2022年版）》在對小學階段的尺規(guī)作圖學習方面，不僅強調(diào)要讓學生在學會如何作圖的同時了解其背后的依據(jù)，讓學生一邊動手一邊學習，重視學生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，也更加注重小學與初中階段知識之間的銜接性，旨在為學生初中階段的學習打下堅實的基礎(chǔ)。

（二）小學數(shù)學教學中尺規(guī)作圖的難點

限于小學生的邏輯思維發(fā)展和認知水平的發(fā)展，小學生認知社會的方式主要處于觀察和分析階段，對于年級相對較低的學生來說，學習尺規(guī)作圖是一種挑戰(zhàn)。這種挑戰(zhàn)主要在于低年級的學生對一些已經(jīng)確定了的數(shù)學概念還不了解，在學習過程中缺乏一定的常識基礎(chǔ)，使用直尺和圓規(guī)時無法發(fā)揮工具的作用。同時，低年級的小學生的精力旺、思維比較跳脫和活躍，課堂上容易走神，跟不上課堂節(jié)奏，有時候還可能出現(xiàn)把工具當玩具的情況，對自身學習和理解課堂知識起不到幫助。

四、小學數(shù)學教學中尺規(guī)作圖的教學策略

學生是教學的主體，教師則是課堂的引導者，肩負引導學生開展學習的重要任務。學生對幾何圖形的認識和學習是對具體和抽象概念的理解，尺規(guī)作圖能夠幫助學生積累將抽象的概念在腦海中構(gòu)建具體模型的經(jīng)驗，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。

（一）將問題的提出和解決融入實際教學過程

小學生在學習過程中最大的問題就是缺乏主動性，需要教師在課前提出指導、課時拋出問題、課后解決問題，讓學生能夠跟著老師的思路開展思考和歸納總結(jié)。雖然學習尺規(guī)作圖的重點是要讓學生進行自主探究，自己動手實際操作，但教師仍然不能將課堂主導權(quán)完全交到學生手里，而是要在以學生為主體的基礎(chǔ)上調(diào)動學生的學習積極性，讓學生成為課堂主人的同時潛移默化地為學生指明探究方向。提出問題和解決問題向來是小學數(shù)學課堂教學過程中主要的教學方式，無論是在培養(yǎng)學生動手能力層面還是鍛煉學生邏輯思維能力層面，都離不開這兩個過程。學生在通過尺規(guī)作圖解決問題的過程中，可以獲得一定的成就感和滿足感這種獲得感能反向激起自身的學習熱情和思考動力。

（二）注重推理和思考的過程

學習的過程、思路和方法不具備唯一性，受學生個人思維水平的影響較深。學生在使用尺規(guī)作圖的方法學習數(shù)學知識時，受個人綜合能力影響會呈現(xiàn)不同的作圖方法，這種“不唯一性”體現(xiàn)了學生之間在推理和思考過程中的差異。推理和思考不是學生腦海中與生俱來的能力，而是在后期的學習和生活中通過各項活動鍛煉得來。

作為一名小學階段的數(shù)學教師，在教學時不應僅關(guān)注最后的結(jié)果和答案是否正確，而是注重學習過程，分析學生的計算過程是否存在問題和遺漏，用加強過程分析反作用于最后結(jié)果。在尺規(guī)作圖教學過程中，教師可以將多種作圖方式按照從隨意到嚴謹?shù)捻樞虺尸F(xiàn)，重點寫出各種作圖方式的推理過程，引導學生思考這幾種作圖方式各自的優(yōu)勢和不足，進一步理解為什么要按照已定的步驟進行作圖、為什么不能省略推理過程，讓學生在思考的同時加深對知識的印象，進而提升課堂教學效果。同時，教師對尺規(guī)作圖的認識也不能只停留在一個知識點的表象上，而是要把尺規(guī)作圖當作一種探究數(shù)學魅力的方法，將具體過程“揉碎”后再教給學生，便于學生理解和消化。

（三）根據(jù)學生的實際情況設計教學內(nèi)容

教師要以學生為本，在教學內(nèi)容設計方面遵循整體性和循序漸進性原則，讓學生在實踐操作中不斷夯實數(shù)學基礎(chǔ)。學生的認知能力和思維水平隨著年級增長逐步發(fā)展，不同年級對于相同或類似的知識點的認識和理解能力各有不同。

教師在教學內(nèi)容設計方面根據(jù)學生認知能力和思維能力發(fā)展的規(guī)律，大致可以分為三個階段：一是從經(jīng)驗積累出發(fā)，先讓學生能夠認識和熟悉工具的基礎(chǔ)應用；二是讓學生對尺規(guī)作圖產(chǎn)生初步的了解和探索，主動嘗試思考；三是拓展和應用。鼓勵學生在作圖時能夠發(fā)揮想象力，體會和理解不同圖形所蘊含的數(shù)學知識，對數(shù)學有深入的認識。死記硬背的知識容易在時間的流逝中逐漸被遺忘，但在學習過程中學會的方法和養(yǎng)成的習慣不容易被遺忘，這也是用尺規(guī)作圖培養(yǎng)學生綜合素養(yǎng)的一種印證。

（四）注重給予學生反饋和評價

在學習過程中，教師的評價和反饋能夠?qū)W生最后的學習效果產(chǎn)生影響，尺規(guī)作圖這種需要學生積極參與實踐操作的教學方式更需要教師的不斷激勵和認可。教師的評價和反饋能夠代表教師對學生的關(guān)注度，對于學習主動性不強的學生來說，這種關(guān)注能夠誘導他們參與到課堂教學活動中，幫助他們養(yǎng)成好的學習習慣。除此之外，同學之間的互相評價既能加強學生之間的互動和交流，也能獲得同齡人的認可，對于小學生來說，這種滿足感和獲得感是他人無法給予的，對小學生的學習熱情和積極性能產(chǎn)生積極的影響。

五、結(jié)語

綜上所述，小學階段是夯實數(shù)學學科基礎(chǔ)、培養(yǎng)學習能力和個人邏輯思維能力的重要階段。尺規(guī)作圖于學生個人能力的培養(yǎng)、思維和認知能力的發(fā)展而言有所裨益。在圖形與幾何教學過程中，教師應充分挖掘尺規(guī)作圖的教育價值，將其應用于日常教學活動中，時刻謹記自身作為引導者的身份，為學生提供一定的指導，幫助學生學會正確運用尺規(guī)作圖法解決數(shù)學問題和生活問題，以達到提升學生綜合素養(yǎng)的教學目標。

（宋行軍）