袁琰　蘇建偉　喬雅童

摘要：構(gòu)造法的靈活運(yùn)用，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.本文通過構(gòu)造的方法把“等差數(shù)列求前n項(xiàng)和”的四題轉(zhuǎn)化成求圖形面積的問題，并引用特殊的案例整理出一般等差數(shù)列的求和的思路與方法，以形助數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列前n項(xiàng)和；等差數(shù)列；構(gòu)造法；圖形面積

數(shù)列指按照確定的順序排列的一列數(shù)，常以“找規(guī)律”的形式出現(xiàn)在小學(xué)與初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，更是高中知識(shí)體系的重要組成部分.高中階段主要運(yùn)用函數(shù)的思想方法研究數(shù)列，通過把數(shù)列看成一類特殊的函數(shù)來探索它們的規(guī)律.大家對(duì)于10歲的高斯巧妙求1＋2＋3＋…＋100的故事耳熟能詳，這也引發(fā)人們對(duì)等差數(shù)列求前n項(xiàng)和問題的思考，高斯與現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教材采用的都是倒序相加法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和.本文采用“構(gòu)造法”給出等差數(shù)列求和的新思路，即從數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā)，以形助數(shù)，通過構(gòu)造圖形求面積的方法來解決等差數(shù)列求和的問題［1］，將等差數(shù)列求和的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系.

構(gòu)造法的靈活運(yùn)用，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力.利用構(gòu)造圖形的方法解決等差數(shù)列求和問題，化抽象為具體，提高學(xué)生在數(shù)感和幾何直觀方面的能力.同時(shí)學(xué)生通過多種思路去解決實(shí)際應(yīng)用問題，提高學(xué)生的抽象思維能力.

1等差數(shù)列求和的特殊案例

本文根據(jù)等差數(shù)列首項(xiàng)與公差的正負(fù)情況將其求和問題用以下6個(gè)案例來進(jìn)行構(gòu)造法思想的展示.

1.1首項(xiàng)與公差都等于1的情況

“1+2+3+4+5”，此例的首項(xiàng)與公差都為1.對(duì)該例采用構(gòu)造法：“1”表示一個(gè)邊長(zhǎng)為1的單位正方形的面積、“2”表示兩個(gè)單位正方形面積、“3”表示三個(gè)單位正方形面積……以此類推［2］；并將所有的單位正方形由首項(xiàng)到末項(xiàng)進(jìn)行自上而下的擺放：第一層1個(gè)、第二層2個(gè)、第三層3個(gè)、第四層4個(gè)、第五層5個(gè)，如圖1所示.

此時(shí)等差數(shù)列求和的問題化成了求圖1圖形面積的問題，不妨令首項(xiàng)a1=c+d，其中d表示公差，末項(xiàng)為a_n，正方形排列的總層高為h.將圖1中的圖形劃分為如圖2所示的大三角形與小三角形兩個(gè)主要部分，其中陰影部分大三角形的面積設(shè)為S₁，剩余所有的小三角形的總面積設(shè)為S₂，整個(gè)圖形的面積設(shè)為S.

1.2首項(xiàng)與公差都大于0，且首項(xiàng)為1而公差不為1的情況

“1+3+5+7+9+11+13”，此例首項(xiàng)為1，公差為2.同樣變?yōu)樾≌叫蔚慕M合，令第一層放置1個(gè)單位正方形，第二層放置3個(gè)單位正方形，第三層放置5個(gè)單位正方形……以此類推［2］，可構(gòu)造如圖3所示的圖形.

同理，令首項(xiàng)a₁=c+d，其中d表示公差，末項(xiàng)為an，正方形排列的總層高為h，構(gòu)造圖形的層高與底層長(zhǎng)度不一致，對(duì)圖3中圖形進(jìn)行改造得圖4.因?yàn)閍₁=1，d=2，所以c=-1，因此對(duì)圖3先補(bǔ)上一個(gè)寬為|c|，長(zhǎng)為h的矩形，使陰影部分的正方形與空白部分的正方形各自構(gòu)成新的圖形，最后陰影部分與空白部分的正方形的總面積再減去這個(gè)補(bǔ)上的矩形得到構(gòu)造圖形的面積.

1.3首項(xiàng)和公差都大于0，且首項(xiàng)不為1而公差為1的情況

“5+6+7+8+9+10”，此例首項(xiàng)不為1，公差為1.根據(jù)上述思想構(gòu)造圖形如圖5所示.令首項(xiàng)a₁=c+d，其中d表示公差，末項(xiàng)為an，正方形排列的總層高為h，矩形的面積為S₀，大三角形的面積為S₁，剩余所有的小三角形的總面積為S₂，整個(gè)圖形的面積為S.因?yàn)閍₁=5，d=1，所以c=4，對(duì)圖5做規(guī)劃如圖6所示.

1.4首項(xiàng)與公差都大于0，且首項(xiàng)與公差都不為1的情況

1.5首項(xiàng)小于0，但公差為1的情況

1.6首項(xiàng)小于0，但公差大于0且不為1的情況

2構(gòu)造法求等差數(shù)列和的一般思路

本文根據(jù)上述特殊案例的圖形構(gòu)造過程，將等差數(shù)列求和按照首項(xiàng)和公差的正負(fù)分成以下四種情況，對(duì)構(gòu)造圖形求數(shù)列和的思路進(jìn)行總結(jié)，并結(jié)合等差數(shù)列求和的公式來說明該構(gòu)造法的可行性與真實(shí)性.

2.1首項(xiàng)、公差都大于0的情況

2.2首項(xiàng)、公差都小于0的情況

2.3首項(xiàng)小于0，但公差大于0的情況

2.4首項(xiàng)大于0，但公差小于0的情況

3結(jié)語(yǔ)

本文通過構(gòu)造法，將等差數(shù)列求和的代數(shù)問題賦予幾何意義，使數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系.以數(shù)形結(jié)合的方式將四種不同情況下構(gòu)造的圖形的面積來解釋等差數(shù)列求和問題，且每種情況的思路都萬(wàn)變不離其宗，即求矩形、大三角形和小三角形的面積.雖然這種構(gòu)造方式放在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中并不簡(jiǎn)便，但卻給學(xué)生提供一種更加直觀的解題方式，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維與幾何直觀能力.

幾何直觀是將抽象的模型具體化，通過分析問題將題中條件利用圖形進(jìn)行描述，從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，打開解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果［3］，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要能力.“構(gòu)造法”是用一類問題的性質(zhì)去探究另一類問題性質(zhì)的解題方法［4］.學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)是個(gè)漫長(zhǎng)的過程，需要融入到具體的知識(shí)內(nèi)容中，使抽象化的問題具體化，激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去思考數(shù)學(xué)問題；而構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是構(gòu)造，其基本思想是轉(zhuǎn)化，也是鼓勵(lì)學(xué)生多角度地思考數(shù)學(xué)問題［5］.因此，教師在教授過程中要注意幾何直觀的滲透，通過幾何直觀能力的培養(yǎng)來鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生從特殊的案例中歸納出一般的求解思路，從代數(shù)的抽象知識(shí)中感受到幾何的直觀性，建立清晰的邏輯體系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).參考文獻(xiàn)：

［1］ 戚洪祥.構(gòu)造法解決數(shù)列求和問題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2021（10）：2123.

［2］ 王彬，吳謙，侯曉婷，李春蘭.基于數(shù)形結(jié)合思想的“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（6）：1723.

［3］ 蘇建偉，李鵬.國(guó)內(nèi)幾何直觀研究綜述［J］.海南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，18（1）：144150.

［4］ 潘光明，高秀軍.構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1992（3）：1820.

［5］ 李紅春.轉(zhuǎn)換視角多聯(lián)想構(gòu)造引出妙法來［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，32（9）：4446+50.