黃發(fā)長(zhǎng)

【摘 要】 ?在動(dòng)態(tài)幾何題中，求滿(mǎn)足條件的某個(gè)幾何量在運(yùn)動(dòng)（變化）過(guò)程中達(dá)到最大（或?。┲档膯?wèn)題，稱(chēng)為幾何極值問(wèn)題．這類(lèi)題通常作為壓軸題出現(xiàn)在中考選擇題、填空題中．本文從三個(gè)“基本事實(shí)”出發(fā)，觀察、探究、歸納常見(jiàn)平面幾何極值問(wèn)題的解法．

【關(guān)鍵詞】 ?幾何；極值；解題技巧

1 兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短

這類(lèi)題的解答關(guān)鍵點(diǎn)在于利用軸對(duì)稱(chēng)構(gòu)建對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（有時(shí)只需在圖中尋找現(xiàn)成的點(diǎn)），把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間距離大小的問(wèn)題．“將軍飲馬問(wèn)題”是此類(lèi)題中最經(jīng)典的模型．

例1 ??如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM=2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是 ????．

解析 ??本題解題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)建點(diǎn)D（或M）關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，相比較而言，構(gòu)建點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（即為點(diǎn)B）更為容易．這樣連接MB，即可得最小值是10．

2 垂線(xiàn)段最短

2.1 直接考查

這里所說(shuō)的“直接考查”是指要求的結(jié)論（即使存在轉(zhuǎn)化而間接求解），直接用到基本事實(shí)，是相對(duì)下述“2.2”復(fù)合考查而言的．

例2 ??如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在CD、PD上，且DE= 1 3 DP，DF= 1 3 DC，若 sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8，則EF的最小值為 ????．

分析 ??易證△DEF∽△DPC，且相似比為 1 3 ，則當(dāng)PC最小時(shí)，EF取得最小值．顯然當(dāng) sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8時(shí)， CP⊥BA是PC取最小值的前提．則易求得EF的最小值為2．

2.2 復(fù)合考查

所謂復(fù)合考查，指要求的結(jié)論在形式上不是一條“整”線(xiàn)段，而是幾部分的和．其解法通常是把結(jié)論中的部分整合為“整體”來(lái)求解．此類(lèi)題型中典型的例子是“胡不歸模型”．

例3 ??如圖3，在△ABC中，AB=AC=10， tan A=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線(xiàn)段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么：（1）AE= ；（2）CD+ ?5 ?5 BD的最小值是 ．

分析 ??（1）AE=2 5 ；

（2）解題時(shí)把“ ?5 ?5 BD”先轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，

不妨設(shè) ?5 ?5 BD=m，

則有 m BD = ?5 ?5 ，

而 ?5 ?5 = 2 5 ?10 = EA AB ，即有 m BD = EA AB ，

于是過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB（如圖4），則 ?5 ?5 BD=DP．

于是求“CD+ ?5 ?5 BD的最小值”便轉(zhuǎn)化為求“CD+DP的最小值”．

顯然當(dāng)三點(diǎn)C、D、P共線(xiàn)時(shí)，可滿(mǎn)足要求，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)CH，即最小值為CH的長(zhǎng)．易求得最小值CH=4 5 ．

3 不是課本定理，卻也是“基本事實(shí)”

3.1 藏在圖形中卻顯而易見(jiàn)的極值問(wèn)題

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明“顯而易見(jiàn)”，如在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．解此類(lèi)題，構(gòu)造與所求結(jié)論相關(guān)的直徑是解題關(guān)鍵．

例4 ??如圖5，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45 ° ，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是 ????．

分析 ??MN是△ABC的一條中位線(xiàn)，則要求MN長(zhǎng)的最大值，可轉(zhuǎn)化為求弦BC長(zhǎng)的最大值．顯然當(dāng)BC為直徑（易求直徑為5 2 ）時(shí)其長(zhǎng)最大，所以MN長(zhǎng)的最大值是 5 2 ?2 ．

3.2 與軌跡有關(guān)的極值問(wèn)題

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡．當(dāng)軌跡與圓有關(guān)時(shí)，給定條件中往往會(huì)有直角，把直角當(dāng)作圓周角，直角頂點(diǎn)便“動(dòng)”了起來(lái)（形成軌跡），接下來(lái)確定直角所對(duì)的直徑是解題關(guān)鍵．要注意的是，直徑有時(shí)是顯現(xiàn)的、有時(shí)是隱藏著的，這恰恰是難點(diǎn)所在．

例5 ??如圖６，在△ABC中，AB=5，AC=7，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足為E，D為BC的中點(diǎn)，則DE= ????；若把條件“AE平分∠BAC”改為“AE為過(guò)點(diǎn)A的任意射線(xiàn)”，其他條件均不變，則DE的最大值= ?????．

分析 ??（1）延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，易有DE為△BFC的中位線(xiàn)，

則DE= 1 2 FC=1；

（2）求DE的最大值，突破口在先搞清點(diǎn)E的軌跡是什么.由于∠AEB為直角，聯(lián)想到圓．以AB為直徑的圓即為點(diǎn)E的軌跡．于是DE的最大值即為圖6中過(guò)圓心O的線(xiàn)段DE′=6．

例6 ??如圖7，在矩形ABCD中，AB =4，BC =3， E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿FC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PQ，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PQ于點(diǎn)H，連接DH．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最小值為 ．

分析 ??從圖上看直角∠BHP所對(duì)的斜邊BP長(zhǎng)是變化的，本題直徑隱藏著．連接EF交PQ于點(diǎn)M（如圖8），易證△EMP∽△FMQ，且EM∶FM=2∶1，即PQ始終過(guò)點(diǎn)M，連接BM，BM即為“隱藏”的直徑．作⊙O，連接DO交⊙O于點(diǎn)H′，則DH′為線(xiàn)段DH長(zhǎng)度變化過(guò)程中的最小值．由EM∶FM=2∶1可知EM=2，而B(niǎo)E=2，則BM=2 2 ，即半徑OB= 2 ，易得OD= 13 ，則DH′= 13 - 2 ．

4 結(jié)語(yǔ)

解答幾何極值問(wèn)題，處理好解題與培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)系是關(guān)鍵．具體說(shuō)，就是通過(guò)解題培養(yǎng)直觀想象、應(yīng)用意識(shí)等素養(yǎng)；反過(guò)來(lái)通過(guò)直觀想象區(qū)分條件特征，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)“基本事實(shí)”解答問(wèn)題．