華 瑞，王振立，孫亮吉

(棗莊學院 數學與統(tǒng)計學院，山東 棗莊 277160)

0 引言

在數學、物理、光纖孤子通信以及計算機工程技術等領域中經常會涉及到許多非線性現象，這些現象大多可用非線性發(fā)展方程來描述。一直以來，非線性發(fā)展方程的求解問題都是數學和物理學家研究的重要課題之一，特別是研究非線性發(fā)展方程的精確解，其研究成果對解釋許多物理現象及工程應用起著重要的指導意義。為了得到非線性發(fā)展方程的精確解，許多有效方法，如經典和非經典的李群方法[1-6]、雅可比橢圓函數方法[7-9]、廣義的tanh函數法[10-11]、廣義的代數法[12]等已經被提出。其中廣義代數法是最重要的方法之一，本文是利用廣義代數法考慮廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov(簡稱ZK)方程[13]的精確解，在文獻[14]中運用了擴展的(G′/G)方法求得ZK方程的精確解，本文是在此基礎上將精確解進一步推廣。

ut+aux+bupux+cuxxx+euxyy=0，p>0

(1)

式中：a、b、c、e是任意非零常數。當p=1時，方程(1)就化為(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程。20世紀80年代末，Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等離子體德爾演化過程中首次導出該模型，也就是說ZK方程是最早描述非線性離子聲波的模型，ZK方程是著名的KdV方程在二維空間的推廣形式，是應用漸進多尺度技術在磁場中發(fā)現的一種磁等離子波，在物理領域內有著廣泛的應用。

1 廣義代數法概述

考慮如下偏微分方程

F(u，ux，ut，uxx，uxt，utt，……)=0，

(2)

u(x，t)是未知函數，F是關于u及其偏導數的已知多項式。廣義代數法的應用步驟包括：

第1步，作行波變換。令u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx+lt則式(1)就變?yōu)橐粋€關于u=u(ξ)的常微分方程，

p(u，ku′，lu″，k2u″，klu″，l2u″，……)=0。

(3)

第2步，假設式(3)有下述形式的解：

u(ξ)=amφm+am-1φm-1+……+a0，am≠0，

(4)

關于φ的項共有m+1項，這里的φ滿足：

(5)

由方程(5)可以得到：φ′、φ″、φ?、…的表達式，平衡式(3)中的最高階導數項與最高階非線性項的次數確定m的值。

第3步，確定超定方程組。把φ′、φ″、φ?、…的表達式代入到式(3)中，令φ各項的系數為零，得到關于ai的代數方程組P=0。

第4步，確定精確解，求解代數方程組P=0，得到式(3)的行波解。

2 廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程的精確解

作行波變換，u(x，t)=u(ξ)，其中ξ=x+ky+lt，帶入方程(1)得到

(a+l)u′+bupu′+(c+ek2)u?=0，

(6)

其中：k和l是任意常數。平衡upu′和u?，得到pn+n+1=n+3，故有n=2/p。

令

(7)

把式(7)帶入方程(6)得

(8)

即

(a+l)p2f2f′+bp2f4f′+(c+ek2)[2(p2+3p-2)f′3-

p(3p-6)ff′f″+p2f2f?]=0。

(9)

顯然，方程(9)是一個常微分方程，求解方程(9)要比求解方程(1)簡單的多。

在方程(9)中，平衡f2f?和f4f′，得到m=1。假設方程(9)有如下形式的解

f(ξ)=q1φ(ξ)+q0，q1≠0，

(10)

其中：qi(i=0，1)是需要確定的常數。φ(ξ)滿足下面的常微分方程

(11)

其中：ε=±1，hj(j=0，1，…，n)是任意常數。取n=4，由方程(11)得

(12)

由方程(12)得到

φ′2=h0+h1φ+h2φ2+h3φ3+h4φ4，

(13)

(14)

φ?=φ′(h2+3h3φ+6h4φ2)，

(15)

φ′3=φ′(h0+h1φ+h2φ2+h3φ3+h4φ4)。

(16)

把方程(13～16)和方程(10)代入方程(9)得到一個關于φ的代數的代數方程組，令相同次冪的φ的系數為0，得到一系列代數方程組，解得：

其中：p是任意正常數。h0，h2和h4取不同的值，可以得到方程(9)的大量的解，結合式(7)可以得到方程(1)解如下：

情況1：有理函數解

當h0=h2=0時，得到方程(1)的有理函數解：

情況2：雅可比橢圓函數解和混合橢圓函數解

當h2=-(1+m2)時，得到方程(1)的四個橢圓函數解：

當h2=1-2m2/2時，得到方程(1)的五個混合橢圓函數解：

為了直觀地顯示精確解的性質，繪出有理函數解的參數值分別為h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0和雅可比橢圓函數解的參數值分別為h0=0、h4=1/4、c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖1、2所示。

圖1 有理函數解的波形圖

圖2 雅可比橢圓函數解的波形圖

情況3：扭結解

情況4：奇異解

當h0=0、h2>0、h4>0時，得到方程(1)的一個奇異解：

為了直觀地顯示精確解的性質，給出了扭結解的參數值分別為h2=-1、h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0和奇異解的參數值分別為h2=h4=c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖3、4所示。

圖3 扭結解的波形圖

圖4 奇異解的波形圖

情況5：三角函數解

當h0=0、h2<0、h4>0時，得到方程(1)的兩個三角函數解：

為了直觀地顯示精確解的性質，繪出了三角函數解的參數值分別為h2=-4、h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖5所示。

圖5 三角函數解的波形圖

注：解u1～u6在文獻[14～16]中均有出現；但是u7～u15都是新的精確解，是前面求的解u1～u6的推廣；

3 結論

本文利用廣義代數法，研究廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程，得到了該方程的新的精確解，這些解包括有理函數解、雅可比橢圓函數解、混合橢圓函數解、扭結解、奇異解、三角函數解等。通過繪出精確解三維空間波形圖更能直觀地了解該精確解的性質，這些精確解對解釋復雜的物理現象(含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子體中的平面波的傳播)有重要的作用，同時廣義代數法也適用于其它類型的非線性發(fā)展方程，對于求解變系數方程也有較好的應用。