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開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)“動(dòng)手做”:學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)應(yīng)有的視角
——以”圖形的放大與縮小”教學(xué)為例

2023-10-31 03:20:46江蘇南京市百家湖小學(xué)211100
小學(xué)教學(xué)參考 2023年23期
關(guān)鍵詞:動(dòng)手做學(xué)習(xí)材料原圖

江蘇南京市百家湖小學(xué) (211100) 王 軍

筆者在教學(xué)“圖形的放大與縮小”時(shí),有學(xué)生提出了一些疑問(wèn):“怎樣才能更方便地將復(fù)雜的圖形按比例放大或縮???教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行放大或縮小,而圓是曲線圖形,為什么改變半徑的長(zhǎng)度就能將圓放大或縮小?……”恰巧教材在這一節(jié)課的練習(xí)中編排了“動(dòng)手做”(如圖1),讓學(xué)生通過(guò)操作不同圖形的放大來(lái)感受圖形的相似性?!皠?dòng)手做”是蘇教版教材的特色欄目,是通過(guò)操作、游戲、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查研究等方式,引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)和感知數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展,感受數(shù)學(xué)文化的魅力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,使得學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

圖1

基于此,筆者根據(jù)學(xué)生的疑問(wèn)并結(jié)合教材編排的“動(dòng)手做”活動(dòng)內(nèi)容,對(duì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì),以期實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“圖形的放大與縮小”的再認(rèn)識(shí)。

【案例描述】

活動(dòng)一:探究放大和縮小原圖的原理

師:大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)圖形放大與縮小的知識(shí)。研究了長(zhǎng)方形、正方形的放大與縮小后,你還想研究哪些圖形的?

生1:三角形、平行四邊形、梯形……

師:請(qǐng)先選定一個(gè)圖形,在方格紙上畫(huà)出來(lái),再將它按照一定的比放大或者縮小。

生2:我研究的是直角三角形,將它按1∶2的比縮小。先將兩條直角邊的長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的,再連接直角邊的兩個(gè)端點(diǎn),得到一個(gè)小直角三角形。

生2(出示圖2):我可以驗(yàn)證。原來(lái)的直角三角形的斜邊有4 段方格的對(duì)角線那么長(zhǎng),現(xiàn)在的小直角三角形有2段那么長(zhǎng),斜邊也縮小為原來(lái)的。

圖2

師:看來(lái),確定好兩條直角邊縮小后的長(zhǎng)度,斜邊縮小后的長(zhǎng)度也能確定了。

生3(出示圖3):還可以找到一條直角邊的中點(diǎn),再找另一條直角邊的中點(diǎn),連接這兩個(gè)中點(diǎn),形成的小三角形就是原來(lái)直角三角形按1∶2 的比縮小的圖形。

圖3

生4:我研究的是平行四邊形,把它按照3∶1的比放大。根據(jù)平行四邊形的特征,只要把這兩條鄰邊的長(zhǎng)度同時(shí)放大到原來(lái)的3倍就可以了。(如圖4)

圖4

生5:雖然圖形看起來(lái)放大了,但鄰邊夾角的角度會(huì)不會(huì)發(fā)生變化,導(dǎo)致和原來(lái)的平行四邊形不一樣。

師:的確,保持圖形內(nèi)角的角度不變也是圖形放大和縮小要考慮的關(guān)鍵要素。那么放大這個(gè)平行四邊形時(shí)還要怎么做呢?

生6:用量角器測(cè)量出鄰邊的夾角的角度,再在畫(huà)圖的時(shí)候保持相同的角度。

生7:在原圖的基礎(chǔ)上把鄰邊同時(shí)放大為原來(lái)的3倍,再作對(duì)邊的平行線后相連。

……

師:剛才我們?cè)诜礁窦埳涎芯苛硕喾N圖形的放大與縮小,如果沒(méi)有這樣的方格紙,你還能將圖形放大和縮小嗎?

生8:可以用尺子和量角器分別量出能確定圖形形狀和大小的邊長(zhǎng)和夾角,再按照給定的比將圖形放大或縮小。

師:你關(guān)注到了圖形的邊和角,考慮得很全面。

生9:也可以在原圖的基礎(chǔ)上放大和縮小。

師:確實(shí),在原圖上直接進(jìn)行放大與縮小是一種非常方便的方法。

師:再看剛才在原圖上縮小直角三角形的作品(如圖3)。把圖上的線段都擦掉,這樣縮小的過(guò)程其實(shí)只是改變了三角形的什么?

生10:改變了頂點(diǎn)的位置。

生11:確定了三角形3 個(gè)頂點(diǎn)的位置,三角形的形狀與大小也就確定了。

師:其實(shí),把原來(lái)直角三角形的頂點(diǎn)當(dāng)作原點(diǎn),兩條直角邊分別當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”,那么這兩個(gè)點(diǎn)分別移動(dòng)到對(duì)應(yīng)直角邊的的位置時(shí),也就是按1∶2的比縮小。(如圖5)

圖5

師:同樣地,在原圖(如圖4)中將平行四邊形按3∶1 的比放大,可以把原來(lái)的一組鄰邊分別當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”,再分別將它們延長(zhǎng)到“3”,找到頂點(diǎn)的位置。第4 個(gè)點(diǎn)的位置你能確定在哪嗎?

生12:作平行四邊形的對(duì)角線,把這段長(zhǎng)度也當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”,然后延長(zhǎng)到“3”,第4個(gè)點(diǎn)的位置也能確定。(如圖6)

圖6

活動(dòng)二:操作驗(yàn)證在原圖上放大方法的一般性

師:這樣的方法也適用于一般的四邊形和五邊形嗎?請(qǐng)用剛剛學(xué)到的方法將一般的四邊形和五邊形按2∶1 放大,并量一量放大后的圖形,看看每一條邊的長(zhǎng)度是否都按相應(yīng)的比放大,對(duì)應(yīng)邊夾角的角度是否保持不變。

師:對(duì)于在原圖上放大與縮小,你有什么想說(shuō)的?

生1:在原圖上放大與縮小,操作很方便,只需要改變?cè)瓉?lái)圖形中的點(diǎn)的位置,就能夠保證圖形的形狀保持不變。

師:是的,有了這樣的方法,面對(duì)更復(fù)雜的圖形,也一樣能放大和縮小。

活動(dòng)三:遷移拓展中感受更多的放大方法

師:剛剛我們?cè)趫D形上選了一個(gè)原點(diǎn)對(duì)圖形進(jìn)行放大,想象一下,這樣的點(diǎn)還可能在什么位置?

生1:可能在圖形的外面。

生2:還可能在圖形的里面。

師:請(qǐng)以小組為單位,按照剛才的方法,任選一種情況進(jìn)行驗(yàn)證。

生3:我們小組在三角形ABC外任取一個(gè)點(diǎn)O,將O和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別相連后作延長(zhǎng)線,分別以O(shè)A、OB、OC為標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”,再分別在延長(zhǎng)線上取2份這樣的單位長(zhǎng)度,然后順次連接,得到一個(gè)大三角形,這個(gè)大三角形就是由原來(lái)的三角形ABC按2∶1 放大得到的。我們小組經(jīng)過(guò)測(cè)量和對(duì)比,發(fā)現(xiàn)操作正確。

師:你們不僅研究出了放大的方法,還進(jìn)行了驗(yàn)證,真嚴(yán)謹(jǐn)!

師:剛剛同學(xué)們研究了原點(diǎn)在圖形外部時(shí)如何放大一個(gè)圖形。仔細(xì)想想,生活中有這樣的現(xiàn)象嗎?

生4:有,美術(shù)上有這樣繪畫(huà)技巧。

生5:如果把這個(gè)原點(diǎn)想象成光源,對(duì)人照射后,就會(huì)在墻上留下一個(gè)按比例放大的人影。

師:確實(shí),這樣的例子在生活中還有很多。那在圖形內(nèi)部找點(diǎn),也能像這樣將圖形進(jìn)行放大嗎?

生6:可以,我們小組在一個(gè)四邊形內(nèi)任選了一個(gè)點(diǎn),按照同樣的方法操作,得到的大四邊形就是原來(lái)的四邊形按3:1放大的。(如圖7)

圖7

師:看來(lái)在內(nèi)部選點(diǎn)也能將圖形放大。同樣的,反過(guò)來(lái)也能將圖形縮小。現(xiàn)在知道如何將圓進(jìn)行放大和縮小了嗎?

生7:選取圓心為原點(diǎn),改變半徑的長(zhǎng)度,這樣圓心到圓上所有點(diǎn)的距離都會(huì)發(fā)生等比變化。因此只要將半徑的長(zhǎng)度變長(zhǎng)或變短,就能將圓進(jìn)行放大或縮小。

師:原來(lái)圓的放大與縮小藏著這樣的奧秘。經(jīng)過(guò)動(dòng)手操作,相信大家一定對(duì)圖形的放大與縮小都有了新的認(rèn)識(shí)。

……

【反思】

“動(dòng)手做”活動(dòng)具有極高的教學(xué)價(jià)值,筆者結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)疑問(wèn)將教材中的“動(dòng)手做”活動(dòng)進(jìn)行了改造,并以此為支點(diǎn)觸發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí),取得了良好的教學(xué)效果。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,筆者認(rèn)為可以從“學(xué)習(xí)材料定位”“學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)”“學(xué)習(xí)材料使用”三個(gè)視角出發(fā)對(duì)“動(dòng)手做”的教學(xué)價(jià)值、活動(dòng)方式和教學(xué)組織等進(jìn)行重新定位和有機(jī)改造,使之成為促進(jìn)學(xué)生完整認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)和原理的有效學(xué)習(xí)材料。

一、學(xué)習(xí)材料定位:讓“動(dòng)手做”從“微操作”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸僬J(rèn)識(shí)”

在日常的教學(xué)中,有的教師對(duì)“動(dòng)手做”的編排意圖和價(jià)值缺乏足夠的理解,同時(shí)缺乏可供參考和借鑒的資料,從而使得教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)僅僅要求學(xué)生了解,或者讓學(xué)生進(jìn)行依葫蘆畫(huà)瓢式的簡(jiǎn)單操作,學(xué)生大多不明所以。但學(xué)生提出的問(wèn)題“怎樣才能更方便地將復(fù)雜的圖形按比例放大或縮小?教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行放大或縮小,而圓是曲線圖形,為什么改變半徑的長(zhǎng)度就能將圓放大或縮?。俊?,以及“動(dòng)手做”中以原圖為基礎(chǔ)的放大或縮小、復(fù)雜圖形的放大與縮小的原理是什么?只有讓學(xué)生親身實(shí)踐、探索、感悟,才能讓學(xué)生真的理解其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

基于以上思考,筆者對(duì)“動(dòng)手做”活動(dòng)的進(jìn)行了整體設(shè)計(jì),讓學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立探索不同圖形的放大和縮小—理解和掌握在原圖基礎(chǔ)上放大的方法—原點(diǎn)在圖形外和圖形內(nèi)進(jìn)行放大”三個(gè)層次的操作活動(dòng)來(lái)感悟圖形放大與縮小的本質(zhì)是點(diǎn)的位置的移動(dòng)變化,進(jìn)而理解復(fù)雜圖形的放大與縮小的原理是從原點(diǎn)出發(fā)連接圖形上的頂點(diǎn),并分別以這些連線長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,按比例畫(huà)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置,然后順次連接,就能得到相應(yīng)的放大或縮小后的圖形。在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生經(jīng)歷的不僅僅是對(duì)圖形的簡(jiǎn)單放大或縮小的操作,更多是對(duì)放大和縮小背后數(shù)學(xué)原理的“再認(rèn)識(shí)”,從而能站在更高的視角上整體把握?qǐng)D形變化的本質(zhì)。

二、學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì):讓“動(dòng)手做”從“做數(shù)學(xué)”進(jìn)階到“創(chuàng)數(shù)學(xué)”

在教學(xué)中按部就班地呈現(xiàn)“動(dòng)手做”的活動(dòng)內(nèi)容,只能讓學(xué)生掌握有限的知識(shí)與方法,無(wú)法讓學(xué)生形成深刻的認(rèn)知,以及對(duì)“動(dòng)手做”與“圖形的放大與縮小”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)性的理解。因此,筆者對(duì)“動(dòng)手做”活動(dòng)的呈現(xiàn)方式進(jìn)行了改進(jìn),從學(xué)生已有的放大與縮小方法知識(shí)切入,讓學(xué)生體驗(yàn)多種與原有方法不一樣的放大方法。事實(shí)上,打破常規(guī)的學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野,也能提高學(xué)生的認(rèn)知能力。

在上述案例中,筆者根據(jù)學(xué)生喜歡在具有操作性的、直觀豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)的特性,引導(dǎo)學(xué)生研究在原圖基礎(chǔ)上放大和縮小圖形的方法后,適時(shí)地直觀呈現(xiàn)和介紹從原點(diǎn)連線取“單位長(zhǎng)度”將圖形放大的方法,有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生不僅在交流和操作中主動(dòng)研究了應(yīng)用這種方法放大三角形、四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的一般普適性,更主動(dòng)思考原點(diǎn)在圖形外和圖形內(nèi)的放大方法,并加以實(shí)踐驗(yàn)證,形成豐富的數(shù)學(xué)思考。因此,對(duì)于“動(dòng)手做”的活動(dòng),教師有必要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)生的年齡特征和心理特點(diǎn)設(shè)計(jì)具體且豐富的體驗(yàn)活動(dòng),以此升華學(xué)生的體驗(yàn)和感受,讓學(xué)生在實(shí)踐操作和創(chuàng)造中實(shí)現(xiàn)自我突破。教師要積極地讓課堂上的“動(dòng)手做”從“做數(shù)學(xué)”進(jìn)階到“創(chuàng)數(shù)學(xué)”,使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看得見(jiàn)、摸得著。

三、學(xué)習(xí)材料使用:讓“動(dòng)手做”從“不動(dòng)點(diǎn)”升級(jí)成“觸發(fā)器”

“動(dòng)手做”的活動(dòng)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生交流、辨析、比較、歸納、概括、聯(lián)想,促進(jìn)學(xué)生從單純的“手動(dòng)”升級(jí)為積極的“腦動(dòng)”,通過(guò)啟發(fā)聯(lián)想和回顧反思,觸發(fā)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化與順應(yīng),形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如在本文案例中,筆者并沒(méi)有局限于教材提供的例子,而是引導(dǎo)學(xué)生操作原點(diǎn)在圖形上、圖形外、圖形內(nèi)的放大或縮小,還啟發(fā)學(xué)生比較在原圖基礎(chǔ)上放大或縮小方法的共同點(diǎn),以及聯(lián)系生活中的應(yīng)用原型和“為什么圓的放大(縮?。┡c半徑有關(guān)”的相關(guān)問(wèn)題。如此一來(lái),學(xué)生不僅獲得將圖形放大與縮小的多樣方法,更經(jīng)歷自我解惑、自主關(guān)聯(lián)知識(shí)、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、達(dá)成學(xué)習(xí)進(jìn)階的過(guò)程??梢灶A(yù)見(jiàn),學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)相似圖形的有關(guān)知識(shí)時(shí)必然會(huì)產(chǎn)生熟悉感,同時(shí)學(xué)生也能逐步形成一種主動(dòng)對(duì)問(wèn)題和知識(shí)進(jìn)行拓展、反思、類(lèi)比、聯(lián)系和歸納概括的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)。

因此,在“動(dòng)手做”的教學(xué)中,教師需要有全局意識(shí),讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中將技能方法、知識(shí)原理、生活原型有機(jī)地關(guān)聯(lián)起來(lái),使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“淺表”走向“深層”,從“分析”走向“綜合”,從“孤島”走向“聯(lián)結(jié)”,形成系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

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