張春麗

摘要：數(shù)學(xué)運算是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要組成部分，運算能力影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，只有提高高中生的數(shù)學(xué)運算能力，才能讓他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中立于不敗之地.多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗告訴我，要培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)運算能力，加強對數(shù)學(xué)運算能力的引導(dǎo)，必須從課堂教學(xué)抓起。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 運算能力 課堂教學(xué) 策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.主要表現(xiàn)為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、求得運算結(jié)果。然而大部分高中生的數(shù)學(xué)運算能力并不成熟，因此教師在課堂教學(xué)中要更加重視對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，提升學(xué)生的計算能力。

一、重視概念教學(xué)，夯實運算根基

數(shù)學(xué)概念是一切運算的基礎(chǔ)，是分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的依據(jù)和準(zhǔn)則。高中數(shù)學(xué)的一些概念比較抽象，所以在課堂教學(xué)中，教師要更加注重概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上積極探究，加深對教材中基本概念本質(zhì)的理解。例如，教師在講函數(shù)的概念時，可以從生活中的幾個實際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象成函數(shù)模型，進一步引導(dǎo)學(xué)生分組討論，探究幾個函數(shù)具備的共同特征：（一）A、B兩集合不能為空集；（二）A、B兩集合中的元素必須是確定的實數(shù)，不能是字母或文字；（三）必須有確定的對應(yīng)關(guān)系f，對應(yīng)關(guān)系可以是文字語言，也可以是圖象語言、表格或者解析式等；（四）對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，即元素之間的對應(yīng)關(guān)系可以是一對一，也可以是多對一，但是絕對不可一對多；（五）集合A為函數(shù)的定義域，而函數(shù)的值域是集合B的子集.如果以上條件都滿足，那么我們就稱f：A→B為從集合A到集合B的函數(shù)。這樣一來，學(xué)生就可以理解性記憶，而非死記硬背函數(shù)的概念，這既可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的興趣，又可以加深對函數(shù)概念的理解。

二、加強學(xué)生對公式，法則等的記憶

高中數(shù)學(xué)的公式和法則特別多，教師需要學(xué)生強化記憶常用?？嫉墓?、法則，公理定理等。對于一些有規(guī)律可循的公式和法則，教師可以借助一些口訣或順口溜來強化學(xué)生的記憶。比如誘導(dǎo)公式，當(dāng)角度為[kπ2±α，k∈z] 時，有十字口訣“奇變偶不變，符號看象限”，值得注意的是，這里的角α不是銳角也要看成銳角，只要學(xué)生能熟練掌握口訣，在解決三角函數(shù)的求值、化簡和證明等問題就會得心應(yīng)手。又如兩角和與兩角差的正余弦公式，也可以利用口訣來記憶，對于正弦公式[sin（A±B）=sinAcosB±cosAsinB]，可以簡記為“正余余正符號同”，正余余正分別代表第一個角的正弦、第二個角的余弦和第一個角[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）-g（x）f（x）[g（x）]2]的余弦、第二個角的正弦，符號與等式左邊的相同；對于余弦公式[cos（A±B）=cosAcosB?sinAsinB]，可以簡記為“余余正正符號反”。如果學(xué)生能掌握好這兩個公式，那么二倍角公式和半角公式就不再容易記錯了。再如導(dǎo)數(shù)的四則運算，對于加減運算[[f（x）±g（x）]=f（x）±g（x）]，可以記為“各自求導(dǎo)后再相加減”；對于乘法運算[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）+g（x）f（x）]，可以記為“輪流求導(dǎo)之后再求和”；對于除法運算，可以記為“上導(dǎo)乘下，下導(dǎo)乘上，差比下方”，這里的上、下分別指分子、分母。

三、加強運算技巧的指導(dǎo)

加強學(xué)生運算技巧的指導(dǎo)，既能提高學(xué)生解題的速度，也能提高解題的準(zhǔn)確度。在教學(xué)過程中，教師要教授一些常見的選擇題的解題技巧，例如特值法，排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法、驗證法等。

例如：（2022·新高考Ⅰ卷）若集合M={x|[x]<4}，N={x|3x≥1}，則M∩N等于（）

A.{x|0≤x<2} B.{x|[13]≤x<2}

C.{x|3≤x<16} D.{x|[13]≤x<16}

觀察4個選項發(fā)現(xiàn)前三項都不包含2，D選項有包含2，可以選擇特值法，不妨取特殊值x=2，則2∈M，2∈N，所以2∈（M∩N），排除A，B，C；直接選答案D。

又如： 若不等式2ax2+ax-[38]<0對一切實數(shù)x都成立，則a的取值范圍為（）

A.（-3，0）B.[-3，0）C.[-3，0]D.（-3，0]

對于這樣的題目，可以采用排除法，將區(qū)間的兩個端點值-3和0代入原不等式，如果滿足就取閉區(qū)間，如果不滿足就取開區(qū)間。

四、加強運算技能的培養(yǎng)

學(xué)生在熟練掌握基礎(chǔ)知識后，能夠靈活運用它們才是真正的學(xué)會，所以教師在講授過程中，務(wù)必要加強對學(xué)生運算技能和運算技巧的指導(dǎo)，做到有的放矢，才能有效提高學(xué)生的運算速度，促進數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展。

（一）一題多解，發(fā)散思維

一題多解即根據(jù)不同的思路或方法，從不同的角度解題，以鍛煉學(xué)生的思維靈活性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，一題多解有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，提高學(xué)生解題的靈活性，開闊解題思路。

例如：若對任意的x∈[-1，2]，都有[x2-2x+a≤0]（a為常數(shù)），則a的取值范圍是（）

A.（-∞，-3] B.（-∞，0]

C.[1，+∞） D.（-∞，1]

這是關(guān)于一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，我們可以利用以下兩種方法進行求解：（1）最值轉(zhuǎn)化法：若f（x）>0在x∈[-1，2]上恒成立，則函數(shù)y=f（x）在x∈[-1，2]上的最小值大于0，這樣就順利將不等式中的含參問題直接轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。

方法一 令f（x）=x2-2x+a，則由題意，

得[f-1=-12-2×-1+a≤0，f2=22-2×2+a≤0，]解得a≤-3.故選A。

分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，即已知函數(shù)f（x）的值域為[m，n]，則對于a≤f（x）恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為a小于等于f（x）的最小值m，即a≤m；而對于a≥f（x）恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為a大于等于f（x）的最大值n，即a≥n。

方法二 當(dāng)x∈[-1，2]時，不等式x2-2x+a≤0恒成立等價于a≤-x2+2x恒成立，

則由題意，得a≤（-x2+2x）min（x∈[-1，2]）.而-x2+2x=-（x-1）2+1，則當(dāng)x=-1時，

（-x2+2x）min=-3，所以a≤-3，故選A。

（二）一題多變，觸類旁通

一題多變是指經(jīng)過聯(lián)想、類比等方式，得到新問題或結(jié)論。

例題：已知正實數(shù)a，b滿足a+b=2，求[4b]+[1a]的最小值。

我們可以通過將已知等式的兩邊同時除以2，使得等號的右邊常數(shù)1，再用常值代換法求得最值。

[變式1：已知a>0，b>0，4a+b=ab，求a+b的最小值。]

變式1中已知等式的右邊雖然不是常數(shù)，但是我們也可以兩邊同時除以ab，使得等式得右邊為常數(shù)1，然后同樣利用常值代換法求出最值。

變式2：已知正實數(shù)a，b滿足a+b=2，求[4b+1]+[1a+1]的最小值。

變式2與已知的條件雖然相同，但是要求解的代數(shù)式不同，根據(jù)分析我們可以發(fā)現(xiàn)，可以采用配湊法中的湊項，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)互倒，從而求出最值。

變式3：已知正實數(shù)a，b滿足a+b=2，求（1+[1a]）（1+[1b]）的最小值。

變式3直接看看不出，但是如果把（1+[1a]）（1+[1b]）展開后通分就可以直接利用基本不等式求解了。

變式4：正實數(shù)a，b滿足a+b=ab-1，求a+b的最小值。

變式4與變式1不同，用上面的方法全都行不通，但是如果用代入消元就不一樣了，將雙元變量問題轉(zhuǎn)化為單元變量問題之后，一切都迎刃而解了。

在教學(xué)過程中，教師也可以鼓勵學(xué)生自己改編題目，由一個問題進行變式而形成一個問題鏈，這樣可以使學(xué)生通過解一道題而會解一類題，掌握解題的通性通法，也更有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，加深對問題的理解。同時也讓學(xué)生明白不管條件或結(jié)論怎么改變，只要抓住本質(zhì)和核心，同時發(fā)散思維，舉一反三，所有的問題都將不再是問題。

五、注重數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西，同樣也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)的靈魂。常見的數(shù)學(xué)思想包括函數(shù)的思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，方程思想、分類討論的思想等.在教學(xué)過程中，在學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，教師要注重對數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，在例題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想?；镜臄?shù)學(xué)思想方法是學(xué)生運算能力發(fā)展的基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，比如，運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，我們可以實現(xiàn)繁瑣的代數(shù)問題與直觀的幾何問題的轉(zhuǎn)化，使得運算難度降低的同時，也提高了學(xué)生運算的速度和準(zhǔn)確度。例如：對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}=[a，a≤b，b，a>b.]設(shè)函數(shù)f（x）=-x+3，g（x）=log2x，求函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是多少。

解析：直接看這道題目，很多學(xué)生可能會無從下手，但是如果利用函數(shù)圖象問題就會變得非常簡單。如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，依題意，h（x）的圖象如圖實線部分所示.易知點A（2，1）為圖象的最高點，因此h（x）的最大值為h（2）=1。

[O][x][y][A][y=h（x）][3][2][3]

本題若是沒有樹立數(shù)形結(jié)合解題的意識，思維很難打開，因為如果學(xué)生的思路不清晰的話，在解題過程中很容易被題意給繞進去。事實上，圖象一呈現(xiàn)，答案就一目了然了，可見數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想對于解題是非常重要的，尤其是解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍，值域等知識點上，用得特別多，也特別好用。所以教師在課堂教學(xué)中一定要滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生要牢記一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)這幾類基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，促使學(xué)生巧妙地進行數(shù)學(xué)運算，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

六、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、反思

歸納總結(jié)是對解題思路、解題方法、解題技巧的提煉過程，教師在教學(xué)過程中要及時引導(dǎo)學(xué)生歸納解題思路，方法、技巧和解題規(guī)律，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

反思就是學(xué)生在解完題目之后對整個思考過程、解答過程的回顧與分析，反思是一個深入思考、反復(fù)探究、自我調(diào)整的一個過程，也可以達(dá)到檢驗的目的。教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生解完題后，要認(rèn)真回顧自己在解題過程中的每一步思考，有沒有知識點的錯誤、方法是否選對、計算是否正確，也可以與同學(xué)的解題過程和老師的講解進行對比，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，這樣可以加深對知識、解題思路、解題方法的掌握，是一種學(xué)會學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。